導(dǎo)數(shù)解決雙變量問題的研究

◎付賢民 （安徽省安慶市第一中學(xué)，安徽 安慶 246000）

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決雙變量問題時(shí)，不同的問題情境求解的思路存在較大差別.教師授課中應(yīng)做好教學(xué)規(guī)劃，結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)真收集并匯總雙變量習(xí)題題型，針對(duì)不同題型篩選代表性習(xí)題，與學(xué)生一起分析解題思路，詳細(xì)地書寫解題過程.同時(shí)，教師通過教學(xué)方法的綜合運(yùn)用以及教學(xué)過程中的針對(duì)性引導(dǎo)，加深學(xué)生印象，使學(xué)生把握不同習(xí)題題型的特點(diǎn)，在以后的解題中少走彎路，迅速找到正確思路.

一、等價(jià)轉(zhuǎn)化后運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解答雙變量問題的常用方法為等價(jià)轉(zhuǎn)化.為確保轉(zhuǎn)化前后命題的等價(jià)性，為順利解題奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，高中數(shù)學(xué)教師一方面為學(xué)生講解等價(jià)轉(zhuǎn)化的相關(guān)思路與方法，尤其通過具體例題的講解，使其掌握等價(jià)轉(zhuǎn)化的常用技巧.如，當(dāng)學(xué)生遇到的習(xí)題較為抽象時(shí)，可先畫出相關(guān)草圖輔助分析，真正地吃透題意.另一方面，教師為更好地增強(qiáng)學(xué)生的聽課體驗(yàn)，幫助其把握等價(jià)轉(zhuǎn)化的相關(guān)細(xì)節(jié)，迅速找到解題切入點(diǎn)，應(yīng)注重圍繞具體例題在課堂上與學(xué)生進(jìn)行互動(dòng).通過互動(dòng)激活高中數(shù)學(xué)課堂的同時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，確保學(xué)生向著正確的方向思考，以達(dá)到順利獲取答案的重要目標(biāo).課堂上教師可圍繞以下習(xí)題展開教學(xué).

該習(xí)題是存在性問題，并非恒成立問題，解題的關(guān)鍵在于對(duì)“（）≥（）”的正確理解.教師可以課堂上提出以下問題，采用一問一答的形式與學(xué)生進(jìn)行互動(dòng)：（1）怎樣理解“對(duì)所有的∈［1，2］，存在∈［0，1］使得（）≥（）”.（2）求解最值的方法有哪些？（3）當(dāng)二次函數(shù)的對(duì)稱軸不確定時(shí)，該如何進(jìn)行處理？課堂上教師應(yīng)留給學(xué)生足夠的思考討論時(shí)間，而后提問學(xué)生代表，了解其對(duì)該題題意的理解程度，并通過列舉熟悉的函數(shù)，進(jìn)一步加深學(xué)生的認(rèn)識(shí)與理解.實(shí)際上，根據(jù)等價(jià)轉(zhuǎn)化的結(jié)論可知，該題只需滿足（）≥（）即可，將問題轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間求兩個(gè)函數(shù)的最小值問題.

當(dāng)≤0時(shí)，（）＝（0）＝1，顯然-5≥1不成立，舍去；

二、代換參數(shù)后使用導(dǎo)數(shù)求解

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解雙變量問題是另一種比較重要的思路為通過從已知條件中尋求兩個(gè)參數(shù)之間的相等關(guān)系，從而有效地將另一參數(shù)代換掉，將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)參數(shù)的問題.眾所周知，學(xué)生在解決一個(gè)參數(shù)的問題上積累了相對(duì)較多的經(jīng)驗(yàn)，代換參數(shù)后化陌生為熟悉便不難進(jìn)行作答.但是如何構(gòu)建兩個(gè)參數(shù)的相等關(guān)系，這對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中為使學(xué)生掌握代換參數(shù)的處理方法，避免其在解題中走彎路.一方面，為學(xué)生總結(jié)代換參數(shù)的常用知識(shí)，使其在以后遇到類似問題能夠迅速地聯(lián)想到.如方程的兩根、函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的極值點(diǎn)等，都可以構(gòu)建參數(shù)的相等關(guān)系.另一方面，為給學(xué)生留下更為深刻的印象，親身感受代換參數(shù)的具體過程，在頭腦中形成清晰的認(rèn)識(shí)，應(yīng)做好經(jīng)典例題.教師應(yīng)認(rèn)真設(shè)計(jì)，在課堂上與學(xué)生一起剖析解題思路，而后預(yù)留空白時(shí)間要求學(xué)生書寫詳細(xì)的解題步驟，把握變換參數(shù)的關(guān)鍵.例如，課堂上與學(xué)生一起分析以下習(xí)題的思路：

A.5-3ln 2 B.3-4ln 2

C.3-5ln 2 D.5-5ln 2

題干出給出函數(shù)的極值點(diǎn)，實(shí)際上間接地告知了對(duì)應(yīng)導(dǎo)函數(shù)這兩個(gè)根，即，是（）＝0的兩個(gè)根.但是如何尋找，的相等關(guān)系呢？學(xué)生對(duì)導(dǎo)函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行整理發(fā)現(xiàn)兩個(gè)參數(shù)之積為定值，如此便不難將參數(shù)，轉(zhuǎn)化為一個(gè)參數(shù)，結(jié)合其取值范圍，求（）-（）的最小值.

解題點(diǎn)撥：遇到含有兩個(gè)極值點(diǎn)的問題應(yīng)注重通過對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)將其轉(zhuǎn)化為方程的兩個(gè)根，運(yùn)用韋達(dá)定理，使用其中一根表示出另一根，從而達(dá)到減少參數(shù)個(gè)數(shù)，化陌生為熟悉的目的.當(dāng)轉(zhuǎn)化成熟悉的問題后，學(xué)生便可運(yùn)用以往的解題經(jīng)驗(yàn)，靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求出最終結(jié)果.

三、構(gòu)造函數(shù)后使用導(dǎo)數(shù)求解

構(gòu)造函數(shù)是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決雙變量問題的常用手段.但是大多數(shù)學(xué)生只知道構(gòu)造函數(shù)，究竟如何具體問題具體分析，保證構(gòu)造函數(shù)的合理性，使其更好地為解題服務(wù)，卻抓不住方法.教學(xué)實(shí)踐可更好地增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心，使學(xué)生積累豐富的構(gòu)造函數(shù)經(jīng)驗(yàn).一方面，結(jié)合學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)儲(chǔ)備，從學(xué)生熟悉的知識(shí)點(diǎn)入手列舉相關(guān)案例，使其認(rèn)識(shí)到什么是構(gòu)造函數(shù)以及構(gòu)造函數(shù)的必要性，增強(qiáng)其運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)解決問題的意識(shí).另一方面，教師應(yīng)設(shè)計(jì)合理的專題教學(xué)活動(dòng)，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知以及學(xué)習(xí)規(guī)律，先為學(xué)生講解難度相對(duì)較小的例題，而后逐漸加大難度，提高其聽課的心理體驗(yàn)，更加有信心地克服難度更大的習(xí)題.當(dāng)然為學(xué)生講解相關(guān)例題后，應(yīng)注重預(yù)留專門的時(shí)間供學(xué)生討論、總結(jié)、整理課堂筆記，掌握適合運(yùn)用構(gòu)造方法解題的題型以及常用的構(gòu)造思路.例如，課堂上教師要求學(xué)生認(rèn)真回顧解決過程，對(duì)以下習(xí)題的解題方法進(jìn)行總結(jié)：

∵（）＝e，（）＝ln，（）＝（）＝，

解題點(diǎn)撥：遇到求解指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)雙變量問題時(shí)，通常運(yùn)用指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行相關(guān)的變形，構(gòu)造出新的函數(shù).運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)單調(diào)性，判斷出方程根之間的關(guān)系，而后通過巧妙代換，減少參數(shù)的個(gè)數(shù)，形成新的函數(shù)后再次使用導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析其性質(zhì)，求出其最值.

四、構(gòu)建不等關(guān)系后使用導(dǎo)數(shù)求解

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解答雙變量問題的思路并不唯一，既需要根據(jù)題干創(chuàng)設(shè)的情境進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，又需要運(yùn)用所學(xué)構(gòu)建相等或不等關(guān)系.其中當(dāng)構(gòu)建不等關(guān)系后常用的處理思路有：運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行處理，運(yùn)用基本不等式以及相關(guān)變形進(jìn)行處理.高中數(shù)學(xué)教師為使學(xué)生掌握構(gòu)建不等式以及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解題的方法，一方面，與學(xué)生一起回顧不等式知識(shí)，并通過思維導(dǎo)圖地運(yùn)用，將與之相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來，使學(xué)生切實(shí)打牢基礎(chǔ)，把握運(yùn)用不等式的相關(guān)細(xì)節(jié)以及所注意的條件，避免以考慮不全面而得出錯(cuò)誤的推理結(jié)果.另一方面，教師做好相關(guān)訓(xùn)練習(xí)題的設(shè)計(jì)，給學(xué)生提供親自動(dòng)手解題的機(jī)會(huì)，并要求學(xué)生認(rèn)真審視自身的解題過程，把握解題中的不足，及時(shí)加以改正.教師還要鼓勵(lì)其將習(xí)題收錄到錯(cuò)題本中，定期進(jìn)行復(fù)習(xí)，為以后解題帶來提醒.如課堂上圍繞以下習(xí)題開展訓(xùn)練活動(dòng)：

五、總結(jié)

雙變量問題在高中數(shù)學(xué)中較為常見，相關(guān)習(xí)題難度較大，常作為壓軸題出現(xiàn)在各類測(cè)試中.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決雙變量問題的思路靈活多變，學(xué)生不易掌握.為使學(xué)生更好地掌握不同習(xí)題類型的破題技巧，促進(jìn)其解答雙變量問題能力的提升，教師應(yīng)做好經(jīng)典例題的篩選與講解，尤其鼓勵(lì)學(xué)生做好聽課總結(jié)，總結(jié)用導(dǎo)數(shù)解決雙變量問題的有效思路.本文通過相關(guān)例題的講解，可得出突破雙變量問題的思路有：等價(jià)轉(zhuǎn)化、代換參數(shù)、構(gòu)建函數(shù)、構(gòu)建不等關(guān)系等.另外，為保證解題的正確性，教師還應(yīng)牢固掌握各種函數(shù)的求導(dǎo)法則，尤其把握解題中的相關(guān)細(xì)節(jié)，即在進(jìn)行轉(zhuǎn)化的過程中注意相關(guān)變量的取值范圍，確保其轉(zhuǎn)化前后的一致性.