◎王文妍 (甘肅省天水市甘谷縣大像山鎮(zhèn)柳湖小學(xué),甘肅 天水 741200)
小學(xué)數(shù)學(xué)新課標(biāo)將數(shù)形結(jié)合思想納入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一.數(shù)形結(jié)合思想作為一種輔助“教”與“學(xué)”的重要手段,在教學(xué)實(shí)踐中有非常突出的優(yōu)勢(shì),其有利于將抽象問題直觀化,提高學(xué)生解決問題的效率.數(shù)形結(jié)合思想通過將抽象數(shù)量關(guān)系與直觀空間圖形結(jié)構(gòu)相結(jié)合,巧妙地構(gòu)造豐富、靈動(dòng)的數(shù)學(xué)世界,幫助學(xué)生深刻地理解抽象數(shù)學(xué)知識(shí)、記憶數(shù)學(xué)符號(hào),理解數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì),讓學(xué)生有靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的“資本”,在具體問題面前,也能夠機(jī)智地分析和處理問題,找出更多的解題思路,發(fā)展解題能力,最終促使學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力和核心素養(yǎng)提升.
新課標(biāo)對(duì)數(shù)學(xué)這門課程做出了明確論述,強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)是在對(duì)客觀現(xiàn)象進(jìn)行抽象、概括的基礎(chǔ)上形成的一門學(xué)科,這也就意味著數(shù)學(xué)這門課程具有較強(qiáng)的理論性、抽象性.而小學(xué)高年級(jí)的學(xué)生思維正處于由具象思維向抽象思維過渡的重要階段,想要深入準(zhǔn)確地理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)難度較大.這也就需要數(shù)學(xué)教師在抽象數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生具象思維之間建立一道“橋梁”,而數(shù)形結(jié)合思想就可以充當(dāng)這一“橋梁”角色.數(shù)形結(jié)合思想既是一種數(shù)學(xué)思想,也是一種學(xué)習(xí)工具.“數(shù)”和“形”都是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,二者的有機(jī)結(jié)合是抽象數(shù)量關(guān)系與直觀空間形式的有機(jī)融合.教師借助數(shù)和形的巧妙結(jié)合能夠構(gòu)造出更豐富靈動(dòng)的數(shù)學(xué)世界,便于學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí),結(jié)合個(gè)人教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來看,在小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想具有如下價(jià)值:
一是幫助學(xué)生更好地理解和掌握抽象的數(shù)學(xué)知識(shí).小學(xué)生心智發(fā)育不成熟,對(duì)抽象數(shù)學(xué)知識(shí)的理解不夠透徹,難免會(huì)影響其學(xué)習(xí)效率和解題正確率.而數(shù)與形的結(jié)合能夠?qū)⒊橄髷?shù)學(xué)知識(shí)具體化、直觀化、立體化,進(jìn)而幫助學(xué)生更好地記憶數(shù)學(xué)符號(hào),分析數(shù)量關(guān)系,理解數(shù)學(xué)本質(zhì).
二是有利于提高學(xué)生解決問題的能力.如前文所言,數(shù)形結(jié)合思想其實(shí)也是一種學(xué)習(xí)工具,能夠幫助學(xué)生分析數(shù)學(xué)問題,提供更廣泛的解題思路.從小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容來看,教材中大部分內(nèi)容都離不開數(shù)形結(jié)合,大部分問題的設(shè)計(jì)都包含數(shù)和形兩方面內(nèi)容,解決這些問題實(shí)際上就是將數(shù)和形進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化.因此,從數(shù)學(xué)問題的研究角度而言,加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維,拓寬學(xué)生的解題思路,提高學(xué)生的解題能力.
毋庸置疑,數(shù)形結(jié)合思想滲透于小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中,既能發(fā)揮助學(xué)作用,又有促教功能,但這也是建立在有效應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)上的.從當(dāng)前小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀來看,無論是教師在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想方面還是學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的實(shí)踐中都存在不少問題,典型問題分析如下:
一方面,數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)不夠,不少教師在教學(xué)過程中僅僅簡(jiǎn)單地將數(shù)形結(jié)合思想與解題過程聯(lián)系在一起,忽略了數(shù)形結(jié)合思想還可以應(yīng)用到數(shù)學(xué)概念、公式、定理的教學(xué)之中.這導(dǎo)致數(shù)形結(jié)合思想功能失效,沒有發(fā)揮促教作用,沒有真正地應(yīng)用到概念理解、公式推導(dǎo)、定理分析之中,學(xué)生仍然是通過死記硬背學(xué)習(xí)這些理論知識(shí),制約了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.例如,六年級(jí)數(shù)學(xué)教材中涉及的正方體的表面積以及圓柱的表面積等知識(shí),教師都可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行教學(xué).倘若教師能夠在教學(xué)過程中充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,那么推導(dǎo)公式的過程也會(huì)輕松便捷,學(xué)生在學(xué)習(xí)這一板塊知識(shí)時(shí)“如虎添翼”,效率更高,理解得更透徹,掌握得也會(huì)更扎實(shí).
另一方面,數(shù)學(xué)教師對(duì)于“數(shù)”與“形”的互相轉(zhuǎn)化講解不夠深入.“數(shù)”與“形”是可以互相轉(zhuǎn)化的.但大部分學(xué)生都對(duì)此存在理解偏差,只認(rèn)為“形”可以助數(shù),忽略了“數(shù)”其實(shí)也可以助“形”,學(xué)生沒有從本質(zhì)上理解數(shù)形結(jié)合,自然無法靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想學(xué)習(xí)理論知識(shí)和解決實(shí)際問題,這不僅制約了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率,同時(shí)也限制了學(xué)生解決問題能力的發(fā)展.
此外,一部分?jǐn)?shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中也忽略了對(duì)學(xué)生思維的培養(yǎng).數(shù)形結(jié)合本身就是一種數(shù)學(xué)思想,一種思維體現(xiàn).教師在教學(xué)過程中過分關(guān)注方法講解和應(yīng)用,習(xí)慣將解決問題的全過程傳授給學(xué)生,導(dǎo)致學(xué)生自主思考和應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的機(jī)會(huì)較少.大多數(shù)時(shí)候數(shù)學(xué)教師都是在給學(xué)生講哪些知識(shí)、哪些問題可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,而沒有引導(dǎo)學(xué)生自主思考,影響了學(xué)生獨(dú)立思維的發(fā)展.
如前文分析,“數(shù)”和“形”可相互轉(zhuǎn)化,可互助互利,是相輔相成的.因此,數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中滲透數(shù)形結(jié)合思想就需要從“數(shù)”和“形”兩個(gè)維度進(jìn)行探究,既要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“形”助“數(shù)”,鼓勵(lì)學(xué)生將抽象數(shù)學(xué)知識(shí)用形表現(xiàn)出來,降低抽象知識(shí)的學(xué)習(xí)難度;也要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“數(shù)”解“形”,以更簡(jiǎn)單概括的方式表達(dá)形,促進(jìn)學(xué)生抽象概括思維的發(fā)展;更要鼓勵(lì)學(xué)生巧妙地將“數(shù)”和“形”相互轉(zhuǎn)化,靈活自然地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想推導(dǎo)數(shù)學(xué)公式、定理,解決實(shí)際問題,從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展和學(xué)習(xí)能力提升.
以形助數(shù)是數(shù)形結(jié)合的直接體現(xiàn),也是小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中廣泛應(yīng)用的一種手段,通過“形”的內(nèi)容幫助學(xué)生將抽象知識(shí)變得具象化、直觀化,削弱問題難度,便于學(xué)生更好地理解重難點(diǎn)知識(shí),并且有利于學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)“數(shù)”與“形”的關(guān)系.在小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中,以形助數(shù)主要體現(xiàn)在借助“形”認(rèn)識(shí)數(shù)、借助“形”運(yùn)算數(shù),借助“形”整理數(shù)三個(gè)方面.
借助“形”認(rèn)識(shí)數(shù)主要指學(xué)生通過圖形來認(rèn)識(shí)數(shù)字、數(shù)學(xué)符號(hào)以及生活中的實(shí)物和圖形,加深學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)和理解,幫助學(xué)生厘清數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系,比如“小數(shù)”的學(xué)習(xí),就需要借助“形”認(rèn)識(shí)數(shù).
借助“形”運(yùn)算數(shù)指學(xué)生運(yùn)用圖形知識(shí)來理解和掌握數(shù)的運(yùn)算,熟悉數(shù)的運(yùn)算規(guī)律、方法,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.
借助“形”整理數(shù)強(qiáng)調(diào)的是圖表與數(shù)據(jù)的關(guān)系,需要學(xué)生運(yùn)用圖表內(nèi)容整合雜亂無章的數(shù)據(jù)信息,并且呈現(xiàn)數(shù)據(jù)規(guī)律,比如統(tǒng)計(jì)圖、數(shù)學(xué)表格,都是用“形”整理數(shù)的直接體現(xiàn),引導(dǎo)學(xué)生整理數(shù)有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力,幫助學(xué)生厘清數(shù)的規(guī)律和數(shù)的關(guān)系.
在教學(xué)實(shí)踐中,數(shù)學(xué)教師應(yīng)有意識(shí)地在“數(shù)”的相關(guān)內(nèi)容中滲透“形”的知識(shí),引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用圖形解決“數(shù)”的問題.
線段圖是小學(xué)高年級(jí)解決數(shù)學(xué)問題的常用圖形之一,也是幫助高年級(jí)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的重要手段.此題看似簡(jiǎn)單,實(shí)際上考查了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維、信息提取和分析能力,學(xué)生必須要厘清數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系,找出題中的隱含條件方能解題.
雖然小學(xué)高年級(jí)學(xué)生已經(jīng)具備了一定抽象思維,但發(fā)展尚不成熟,在理解一些復(fù)雜的、表述比較“委婉”的數(shù)量關(guān)系時(shí)也顯得“捉襟見肘”.所以教師在指導(dǎo)學(xué)生解決這一例題時(shí),不妨啟發(fā)學(xué)生畫線段圖(如圖1所示),以線段圖呈現(xiàn)抽象的數(shù)量關(guān)系,幫助學(xué)生厘清解題思路.
圖1
數(shù)形結(jié)合思想除了包含以形助數(shù)之外,也包括以數(shù)解形.從小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容來看,并非所有問題都是可以直接通過圖形來表達(dá)的,也并非畫圖就可以解決所有問題,有些問題本身就是以圖形方式呈現(xiàn)的,或者圖形結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜,小學(xué)生在抽象思維和空間觀念發(fā)展不成熟的情況下,很難快速準(zhǔn)確地把握?qǐng)D形結(jié)構(gòu),無法通過觀察圖形來確立數(shù)學(xué)關(guān)系和數(shù)學(xué)算式,從而容易陷入思維困境.所以,在小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中,數(shù)學(xué)教師也應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)解形,通過數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系、數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)圖形結(jié)構(gòu)進(jìn)行表達(dá)和描述,重新認(rèn)識(shí)圖形結(jié)構(gòu).除此之外,借助數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)關(guān)系來表達(dá)和描述圖形知識(shí),也有利于促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深層認(rèn)知和理解,幫助學(xué)生準(zhǔn)確地表述圖形的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以及位置關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維以及空間思維.
例如,在人教版數(shù)學(xué)教材五年級(jí)下冊(cè)“圖形的變換”這一內(nèi)容教學(xué)中,教師可先出示如圖2所示兩個(gè)三角形,引導(dǎo)學(xué)生描述旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn),請(qǐng)學(xué)生分別說一說三角形圍繞哪一個(gè)點(diǎn),哪個(gè)方向,旋轉(zhuǎn)多少度后能旋轉(zhuǎn)成三角形出示香港區(qū)徽(如圖3所示),請(qǐng)學(xué)生思考可以將香港區(qū)徽看作哪一種基本圖案,通過怎樣旋轉(zhuǎn)才能得來.請(qǐng)學(xué)生用自己的話描述:將香港區(qū)徽看作一個(gè)花瓣,連續(xù)旋轉(zhuǎn)4次.
圖2
圖3
此過程就是以數(shù)解形的過程,學(xué)生用數(shù)學(xué)語言來描述圖形的變換過程,可以更深刻地理解“旋轉(zhuǎn)”這一概念,掌握旋轉(zhuǎn)的幾大要素,同時(shí)充分鍛煉了自身的邏輯思維、語言表達(dá)能力.
為進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用“數(shù)”解“形”的意識(shí),數(shù)學(xué)教師還可以開展專項(xiàng)訓(xùn)練,譬如“線段圖專項(xiàng)訓(xùn)練”,出示如下所示線段圖(如圖4所示),要求學(xué)生看圖列算式.以此引導(dǎo)學(xué)生用“數(shù)”來表示圖形,進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)圖形結(jié)合思想的應(yīng)用.需要注意的是,開展此類專項(xiàng)訓(xùn)練時(shí),教師既要結(jié)合教材內(nèi)容,也要立足于學(xué)生思維發(fā)展現(xiàn)狀和發(fā)展需要,循序漸進(jìn)、步步深入地指導(dǎo)學(xué)生用“數(shù)”解“形”,提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的意識(shí).
圖4
數(shù)形結(jié)合的最高級(jí)表現(xiàn)在于“數(shù)”與“形”相輔相成,通過引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形互助分析數(shù)和形之間的關(guān)系,從而使其更深刻地理解數(shù)與形之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系,更高效地解決數(shù)與形相關(guān)問題.當(dāng)然,這也就需要數(shù)學(xué)教師在數(shù)形互助的相關(guān)題型講解中,有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)和形之間的內(nèi)在關(guān)系,啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)地將數(shù)的問題構(gòu)造成形的問題,將形的問題抽象成數(shù)量關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生讀圖、畫圖、作圖、分析圖,快速解決實(shí)際問題.
某學(xué)校六年級(jí)二班共有50名學(xué)生,學(xué)校將要組織課外興趣活動(dòng)小組,要求每位學(xué)生必須且只能參加一個(gè)興趣小組,其中選擇排球的學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的18%,選擇籃球的學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的16%,選擇乒乓球的學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的32%,選擇足球的學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的24%,請(qǐng)同學(xué)們算一算選擇其他項(xiàng)目的人數(shù)是多少.如果學(xué)校組織乒乓球比賽,預(yù)計(jì)會(huì)有多少人參加.
圖5
在引導(dǎo)學(xué)生解決此題時(shí),數(shù)學(xué)教師不妨從數(shù)形互助的角度出發(fā),鼓勵(lì)學(xué)生先將題中的已知信息用扇形統(tǒng)計(jì)圖的方式呈現(xiàn),繪制出相應(yīng)的圖形(如圖5所示),并且在圖形中標(biāo)注出各個(gè)已知量,進(jìn)一步觀察圖形和思考題目問題,最后結(jié)合圖形和已知條件列算式解決問題.教師通過畫圖,能夠讓學(xué)生充分感受扇形統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)與扇形面積的關(guān)系,同時(shí)讓學(xué)生真正了解數(shù)據(jù)分布的特點(diǎn),啟發(fā)學(xué)生從分析圖形的角度推測(cè)數(shù)量關(guān)系并解決問題,讓學(xué)生真正經(jīng)歷了“感知數(shù)”→“畫圖形”→“整理數(shù)”的過程,培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力、數(shù)據(jù)分析能力以及問題解決能力,不斷促進(jìn)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想發(fā)展.
誠(chéng)然,在小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想有助于提升學(xué)生的解題效率,促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展,但需要強(qiáng)調(diào)的是,數(shù)形結(jié)合思想作為一種輔助教學(xué)的方式,在應(yīng)用實(shí)踐中也應(yīng)當(dāng)遵循一定的原則,方能最大限度地發(fā)揮其助力作用.
第一,要遵循漸進(jìn)性原則,數(shù)形結(jié)合思想包含多方面內(nèi)容,涉及的圖形和數(shù)量關(guān)系也是復(fù)雜多變的,在小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想必須要遵循漸進(jìn)性原則,結(jié)合教材內(nèi)容,由易到難地融入數(shù)形結(jié)合思想,確保學(xué)生能夠步步深入地掌握多種數(shù)形結(jié)合的方法,并且靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決實(shí)際問題.
第二,要遵循過程性原則,所謂過程性就是指數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)該體現(xiàn)在學(xué)生學(xué)習(xí)過程、解決問題的過程之中,而不是教師單純地給學(xué)生講一講什么是數(shù)形結(jié)合,也并非給學(xué)生講解數(shù)學(xué)問題中可能用到哪些數(shù)形結(jié)合方式,而是應(yīng)側(cè)重?cái)?shù)形結(jié)合思想在具體問題情境中的實(shí)際效用,讓學(xué)生置身于問題探索的過程,真正將數(shù)與形建立聯(lián)系,靈活地互相轉(zhuǎn)換,從而提高解題效率.
第三,要遵循等價(jià)性原則.“數(shù)”和“形”本身就是兩個(gè)等價(jià)主體,數(shù)量的特征是精確化,圖形的特征是直觀化,二者是相互可以轉(zhuǎn)化的.圖形除了具有較強(qiáng)的直觀性之外,也附帶抽象性,小學(xué)生難以直接用“數(shù)”進(jìn)行描述,且不同學(xué)生對(duì)于同一題目的理解也會(huì)存在差異,從圖形中獲取的信息也會(huì)不同,因此就容易出現(xiàn)解題錯(cuò)誤和疏漏.但如果將圖形等價(jià)轉(zhuǎn)化為代數(shù)相關(guān)問題,讓數(shù)學(xué)信息更直接、更標(biāo)準(zhǔn),就能夠極大地減少學(xué)生個(gè)體差異帶來的理解偏差,有效提高學(xué)生解題能力.
第四,要遵循雙向性原則.數(shù)學(xué)教師要讓學(xué)生自主地發(fā)現(xiàn)“數(shù)轉(zhuǎn)為形”和“形轉(zhuǎn)為數(shù)”是雙向互換過程,而不是單一通道,在不同的問題情境中,“數(shù)”和“形”基本上都可以相互轉(zhuǎn)化,數(shù)的問題可以借助形具象化,形的問題則可以借助數(shù)抽象化,只有雙向轉(zhuǎn)換,才是真正的數(shù)形結(jié)合.
總而言之,不管在哪個(gè)年級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué),數(shù)形結(jié)合的思想都有著廣泛的應(yīng)用,而教師在高年級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)更應(yīng)該好好落實(shí)“數(shù)形結(jié)合”的思想,才能夠讓學(xué)生在繁雜的知識(shí)鏈條中把握脈絡(luò),我們的課堂效率也將會(huì)有進(jìn)一步的提升.
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究2022年20期