問題驅(qū)動：一把實(shí)現(xiàn)高效課堂的密鑰
——“用導(dǎo)數(shù)證明不等式”教學(xué)實(shí)錄與反思

◎呂金晶 （浙江省嵊州中學(xué)，浙江 嵊州 312400）

前 言

浙江省教育廳“百人千場”名師送教暨嵊州中學(xué)課堂教學(xué)展示同課異構(gòu)活動于2022年3月4日在浙江嵊州隆重舉行.本次活動以人教版數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第五章“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用——用導(dǎo)數(shù)證明不等式”為同課異構(gòu)教學(xué)內(nèi)容.筆者有幸參加了此次活動，并與各位名師一起上了這堂同課異構(gòu)課.現(xiàn)將本堂課的教學(xué)實(shí)錄與反思一一呈現(xiàn)，以期批評指正.

1 教材解析

導(dǎo)數(shù)是微積分的核心內(nèi)容之一，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念，蘊(yùn)含著微積分的基本思想；導(dǎo)數(shù)定量地刻畫了函數(shù)的局部變化，是研究函數(shù)增減性、變化快慢、最大（?。┲档刃再|(zhì)的基本方法，因而也是解決諸如增長率、膨脹率、效率、密度、速度、加速度等實(shí)際問題的基本工具.本節(jié)課是一節(jié)綜合應(yīng)用課，目的是讓學(xué)生在掌握用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值后，用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識證明不等式.

2 教學(xué)目標(biāo)

2.1 通過具體函數(shù)的圖像，發(fā)現(xiàn)函數(shù)間的不等關(guān)系，體會數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).

2.2 觀察不等式（）≥（）（或（）≤（））的結(jié)構(gòu)，能構(gòu)造輔助函數(shù)（），把不等式證明問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)（）的單調(diào)性和最值等問題.

2.3 結(jié)合信息技術(shù)手段進(jìn)行圖像演示，讓學(xué)生親歷感知和發(fā)現(xiàn)的過程，培養(yǎng)學(xué)生推理演繹的能力，發(fā)展邏輯推理核心素養(yǎng).

3 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：掌握利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本方法——構(gòu)造函數(shù)法.

難點(diǎn)：在證明過程中出現(xiàn)的隱零點(diǎn)問題及函數(shù)的二分法.

4 教學(xué)實(shí)錄

引導(dǎo)語：通過對本章的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的法寶，它定量刻畫了函數(shù)的局部變化，是研究函數(shù)單調(diào)性、變化快慢、最大（?。┲档刃再|(zhì)的基本方法.今天，我們接著來學(xué)習(xí)：用導(dǎo)數(shù)證明不等式.

4.1 教材實(shí)例 引入新課

圖1

①當(dāng)0＜＜1時，（）＞（）＞1，說明（）的圖像比（）的圖像要“陡峭”；

②當(dāng)＞1時，0＜（）＜（）＜1，說明（）的圖像比（）的圖像要“平緩”.

可知，代表（）的圖像、代表（）的圖像.

學(xué)生通過觀察思考分析出函數(shù)所對應(yīng)的圖像，既是對前面所學(xué)知識的應(yīng)用，也可為后續(xù)問題的提出做好鋪墊，起到承上啟下的作用.

請同學(xué)們繼續(xù)觀察這兩個函數(shù)的圖像，是否存在相應(yīng)的不等關(guān)系呢

在學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)后，教師引出本節(jié)課的主題，讓學(xué)生直觀感知函數(shù)間的不等關(guān)系，充分調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，加強(qiáng)學(xué)生對不等關(guān)系進(jìn)行抽象概括的能力，并為后面不等關(guān)系的證明做好鋪墊.

4.2 探索新知 深化課堂

學(xué)生思考并回答，學(xué)生到黑板上板演.

教師再次梳理證明過程，證明（）≥（）?（）-（）≥0，通過作差法構(gòu)造（）＝（）-（），利用導(dǎo)數(shù)研究（）的單調(diào)性和最值，從而證得（）-（）≥0.

對于類似不等式的證明，是否只能通過作差法來構(gòu)造函數(shù)

學(xué)生1：可以用作商法構(gòu)造函數(shù).

學(xué)生2：還可以用換元法構(gòu)造函數(shù).

學(xué)生3：還可以用對數(shù)法構(gòu)造函數(shù).

教師：非常好！根據(jù)不等式本身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，我們可以構(gòu)造一個新的函數(shù)，通過研究該函數(shù)的性質(zhì)證明不等式.

通過一道典型不等式的證明題，一方面溫故知新，夯實(shí)基礎(chǔ)，另一方面通過師生互動總結(jié)出構(gòu)造函數(shù)法是證明不等式的基本方法，落實(shí)本堂課的教學(xué)目標(biāo).

接下來我們回到原來的圖像，兩個函數(shù)圖像都經(jīng)過同一點(diǎn)（1，0），函數(shù)＝ln在點(diǎn)（1，0）處的切線的方程是什么同學(xué)們是否能發(fā)現(xiàn)其中的不等關(guān)系如圖2所示）

圖2

學(xué)生4：切線方程為＝-1，且由圖可知，直線＝-1的圖像恒在＝ln圖像的上方，可知，ln≤-1.

追問1：你會如何證明這個不等式呢？

學(xué)生4：通過構(gòu)造函數(shù)法不難證得.

教師：回答得非常好！我們可以通過對這個重要不等式ln≤-1進(jìn)行適當(dāng)換元，從而得到形形色色的不等式，這也正是對數(shù)不等式的“萬花筒”特性.

通過比較函數(shù)圖像，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，初步培養(yǎng)學(xué)生對超越函數(shù)進(jìn)行切線放縮的意識，同時鞏固用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法.

4.3 推波助瀾 升華課堂

我們再次回到對數(shù)函數(shù)＝ln上，它的反函數(shù)為指數(shù)函數(shù)＝e，可知它們的圖像關(guān)于直線＝對稱，請同學(xué)們觀察它們有怎樣的不等關(guān)系.

學(xué)生觀察，集體回答，有e＞ln，＞0.

如果加大難度，將函數(shù)＝e的圖像向右平移兩個單位長度，得到＝e的圖像＝e與＝ln又有怎樣的不等關(guān)系呢

學(xué)生6：從圖像的角度，不難看出e＞ln，但是如何嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明它，我還要再想想.

請同學(xué)們來談?wù)?，要證明這個不等式：e＞ln我們有哪些方法

學(xué)生7：可以通過作差法構(gòu)造函數(shù).

學(xué)生8：可以通過切線放縮，由e≥-1，ln≤-1，不難得到e＞ln

教師：都非常有想法！

從同一個對數(shù)函數(shù)＝ln入手，引入它的反函數(shù)＝e，再從學(xué)生的原有知識基礎(chǔ)入手，讓學(xué)生親歷動態(tài)的變化過程，將學(xué)生的思維引向深處，引發(fā)其基于問題的思考，為后續(xù)的動手演練打下伏筆.

基于剛才的思考，同學(xué)們是否可以寫出嚴(yán)格的證明過程請動手操作.

全班同學(xué)動筆證明，教師請一位學(xué)生上臺板演證明過程.

教師：請先回到自己的座位.同學(xué)們，讓我們一起來找找問題出在哪里了.

追問1：為什么會出現(xiàn)這個情況呢？

學(xué)生9：隱零點(diǎn)的范圍（1，2）找得太大了.

追問2：有什么辦法可以改進(jìn)范圍？

教師：請同學(xué)們在學(xué)生7的基礎(chǔ)上改進(jìn)他的證法.

教師：回答得非常棒！

讓學(xué)生用構(gòu)造函數(shù)法這一基本方法來證明這個不等式，牽引出隱零點(diǎn)的相關(guān)知識，讓學(xué)生體會隱零點(diǎn)靈活多變的用法，同時滲透二分法來改進(jìn)問題.本環(huán)節(jié)通過不斷追問將問題層層遞進(jìn)，推向高潮，也實(shí)現(xiàn)了知識間的融會貫通.

同學(xué)們是否可以從切線放縮的角度給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明呢

全班學(xué)生動筆證明，教師請一位學(xué)生上臺板演證明過程.

學(xué)生8：設(shè)（）＝e-+1，＞0，那么（）＝e-1，當(dāng)∈（0，2）時，（）＜0，即（）在（0，2）上單調(diào)遞減；當(dāng)∈（2，+∞）時，（）＞0，即（）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，則（）≥（2）＝0，當(dāng)且僅當(dāng)＝2時，等號成立，從而e≥-1.

要證明（）≥（），可以觀察不等式的結(jié)構(gòu)特征，通過構(gòu)造函數(shù)法來證明；也可以通過尋找一個簡單的過渡函數(shù)（），通過證明不等式組（）≥（）≥（），從而證得（）≥（）.尤其是當(dāng)兩個超越函數(shù)同時出現(xiàn)時，更需要對不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，來降低做題的難度，這一方法實(shí)則是切線放縮的思想.

4.4 大道至簡 小結(jié)課堂

一個主題：用導(dǎo)數(shù)證明不等式.

兩種方法：構(gòu)造函數(shù)法和放縮法.

一類思想：數(shù)形結(jié)合思想.

4.5 回歸本質(zhì) 檢測課堂

（1）求，；

（2）證明：（）＞1.

3.已知函數(shù)（）＝e-ln-1.

（1）設(shè)＝2是（）的極值點(diǎn)，求，并求（）的單調(diào)區(qū)間；

5 教學(xué)反思

利用問題驅(qū)動數(shù)學(xué)教學(xué)，是指教師需要深入挖掘知識背后的深刻問題，結(jié)合學(xué)生實(shí)際，創(chuàng)設(shè)真實(shí)高效的問題情境，將問題融入情境讓學(xué)生在探究活動中自然生成概念、性質(zhì)、法則等，并獲得相應(yīng)的思想與方法.

5.1 立足學(xué)生的問題設(shè)計(jì)

問題是數(shù)學(xué)的心臟，立足于學(xué)生主體的問題設(shè)計(jì)，更能起到畫龍點(diǎn)睛的作用.我們知道，學(xué)生是課堂的主體，問題的設(shè)置和推進(jìn)應(yīng)貼近學(xué)生的客觀實(shí)際.在寶貴的課堂時間內(nèi)，教師立足于學(xué)生主體的恰到好處的提問既是提高課堂效率、增強(qiáng)學(xué)生注意力的有效方法之一，也是激發(fā)學(xué)生思維、加速問題解決的催化劑.因此，教師在備課時要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況來設(shè)計(jì)問題串，并因材施教，這樣才能實(shí)現(xiàn)課堂效能最大化.

5.2 立足學(xué)生的教學(xué)設(shè)計(jì)

5.2.1 遵循課堂限定的教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)是課堂教學(xué)活動的根本，只有制定合理的教學(xué)目標(biāo)，才能有序開展教學(xué)活動.教師應(yīng)以課堂教學(xué)目標(biāo)為指導(dǎo)，根據(jù)學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)，精心設(shè)計(jì)問題串，通過階梯式的提問，循循善誘，讓學(xué)生在思考中解決問題，在解決問題中實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的順利達(dá)成.

5.2.2 采擷課堂中的閃光點(diǎn)

數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該是靈動的.在課堂教學(xué)中，處處都會碰撞出思維的火花，時時都可能有學(xué)生的奇思妙想，這或許是與原本的問題設(shè)計(jì)不一致的.此時，教師應(yīng)敏銳地捕捉學(xué)生思維的閃光點(diǎn)，將它變?yōu)榇蜷_學(xué)生思維枷鎖的鑰匙.

6 結(jié)束語

《麥肯錫教我的思考武器：從邏輯思考到真正解決問題》一書中寫道：“用有力的思考去解決工作當(dāng)中的真正的問題.”我們倡導(dǎo)以問題驅(qū)動學(xué)生的學(xué)習(xí)，其實(shí)質(zhì)就是讓問題為學(xué)習(xí)提供源動力，引發(fā)學(xué)生真思考、真探索、真研究，從而促使學(xué)生深度學(xué)習(xí)的發(fā)生，讓學(xué)生的核心素養(yǎng)得以生成.問題驅(qū)動讓學(xué)習(xí)“基于問題、為了問題、在問題中”.通過這堂課，筆者認(rèn)識到：問題驅(qū)動教學(xué)法對教師提出了更高要求，教師必須具備較強(qiáng)的課堂掌控能力，課前，教師既要了解學(xué)科的知識特點(diǎn)，也要關(guān)注學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平，提出針對性的問題；課堂上，教師要關(guān)注學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作探究、討論交流等活動；課后，教師要予以恰當(dāng)評價，著眼長遠(yuǎn)，關(guān)注能力，重視品格，聚焦素養(yǎng).如此，問題驅(qū)動教學(xué)法才能真正成為推動高效課堂生成的有力抓手.