基于GeoGebra對2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)第21題的分析與思考

◎吳啟霞 （廣東省清遠市華僑中學(xué)，廣東 清遠 511538）

2021年全國新高考Ⅰ卷，進一步深化了對“立德樹人”這一根本任務(wù)的考查要求.2021年全國新高考Ⅰ卷的設(shè)計進一步從“考知識”向“考能力”轉(zhuǎn)化，尤其加強了對創(chuàng)新能力與批判性思維能力的考查.以“一核、四層、四翼”為主體內(nèi)容的高考評價體系，意味著高考命題和評價的新標(biāo)準(zhǔn)已然確立，高考指揮棒的指揮方向發(fā)生了根本性的轉(zhuǎn)變，它將深刻地影響每位考生和一線教師，也必將助推中國基礎(chǔ)教育改革邁向縱深.2021年的全國新高考Ⅰ卷重視數(shù)學(xué)本質(zhì)，突出理性思維，聚焦核心素養(yǎng)，考查關(guān)鍵能力，穩(wěn)步推進改革，倡導(dǎo)理論聯(lián)系實際，科學(xué)地把握了必備知識和關(guān)鍵能力的關(guān)系，利用真實問題情境，加大了開放題的創(chuàng)新力度，科學(xué)地把握了數(shù)學(xué)題型的開放性和數(shù)學(xué)思維的開放性，很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法在解決實際問題中的價值和作用，穩(wěn)中求新，對深化中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革發(fā)揮了積極的導(dǎo)向作用.這既是一份中學(xué)數(shù)學(xué)教師喜聞樂見的“標(biāo)準(zhǔn)卷”，又是一份突出通性通法、落實四基四能的“方向卷”.整份卷子難度適中且保持穩(wěn)定，梯度分布合理.總而言之，這是一份質(zhì)量很高、引導(dǎo)性很好的試卷，它啟發(fā)我們：對于2022年高考備考，要按部就班地培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)，認真抓落實就是最好的方式，“過程”落實了，“結(jié)果”也就瓜熟蒂落了.本文以2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)第21題為例，通過GGB軟件分析解決問題的動態(tài)過程，深入剖析該題.

一、真題再現(xiàn)與賞析

（1）求的方程；

【題型分析】

又，皆為正根，

∴由弦長公式可得：

即（+）（-）＝0，

顯然≠，

∴+＝0，

即直線的斜率與直線的斜率之和為0.

【題目賞析】

本題主要考查雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線和雙曲線之間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查學(xué)生分析問題、解決問題與運算求解的能力，包含著對通性通法的常規(guī)考查，如：聯(lián)立方程組、韋達定理、弦長公式，可謂“一按三連鍵”.

第一問直接用雙曲線的定義和+＝即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

二、GGB動態(tài)實驗探究，追本溯源

（一）對學(xué)生答題的思考

（二）利用GGB進行動態(tài)實驗探究

圖1

結(jié)論：已知，是雙曲線的兩條弦，它們所在直線的斜率分別為，，則，，，四點共圓的充要條件是+＝0.據(jù)此我們在感嘆結(jié)論如此神奇的同時，又欲罷不能地借助GGB軟件繼續(xù)探索任意橢圓、雙曲線、拋物線與圓相交于四點的情況，分別如圖2、圖3、圖4所示.

圖2

實驗探究成果：若橢圓與圓有四個交點，四點兩兩連線，則對應(yīng)邊直線的斜率必互為相反數(shù).

圖3

實驗探究成果：若雙曲線與圓有四個交點，四點兩兩連線，則對應(yīng)邊直線的斜率必互為相反數(shù).

圖4

實驗探究成果：若拋物線與圓有四個交點，四點兩兩連線，則對應(yīng)邊直線的斜率必互為相反數(shù).

根據(jù)探究結(jié)果，我們可以得出一般性結(jié)論，若圓錐曲線與圓相交于，，，四點，則四點構(gòu)成的三組直線（與，與，與）斜率相反（若存在斜率），或者敘述為傾斜角互補.我們可以用八個字將其簡述為“與圓四交，叉連互補”.

（三）追本溯源，高考題背景的研究

（1）求橢圓的方程；

經(jīng)過對比，發(fā)現(xiàn)這兩道高考題如出一轍，都源于人教A版選修4-4第38頁例4“如圖5所示，，是中心為點的橢圓的兩條相交弦，交點為兩弦，與橢圓長軸的夾角分別為∠1，∠2，且∠1＝∠2.求 證：｜｜·｜｜＝｜｜·｜｜”為背景進行命制的，這體現(xiàn)了高考題有源可溯這一特點.四點共圓的知識在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著重要的意義，多年來，四點共圓問題在高考或數(shù)學(xué)競賽中頻繁出現(xiàn)，很多試題都是以“四點共圓”作為解題手段或解題目的，考查學(xué)生對平面幾何知識的掌握與運用情況的.備考過程中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生重視并學(xué)會歸納一些結(jié)論，從而快速解決高考或競賽題目.

圖5

三、運用GGB軟件進行教學(xué)的若干反思

（一）利用GGB軟件，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

高中解析幾何模塊知識是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一，解析幾何知識在歷年高考中具有舉足輕重的地位.然而在教學(xué)過程中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對其概念的理解、軌跡的探索、數(shù)學(xué)結(jié)論的探究總是困難重重，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣很難被激發(fā)，解析幾何的課堂氣氛也不太理想，教學(xué)效率十分低下.一些生源較為薄弱的學(xué)校的數(shù)學(xué)教師，對解析幾何模塊的教學(xué)存在恐懼、茫然、不知所措的心態(tài)，甚至有一些教師認為與其將時間用在“無用”的數(shù)學(xué)解析幾何壓軸題型的教學(xué)上，倒不如給其他知識模塊讓路.但是筆者認為，如果高考回歸基礎(chǔ)和常規(guī)，學(xué)生在此模塊選擇了讓路，如果別的學(xué)校的考生在這個模塊選擇提升分數(shù)，那么這些“讓路的學(xué)生”就相當(dāng)于隱性退步，這一策略可謂得不償失.因而我們一線教師還是要腳踏實地地做好這一模塊的教學(xué)工作.如能立足于功能強大的動態(tài)幾何軟件——GGB軟件，挖掘該軟件在解析幾何高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用功能，就可以改善上述現(xiàn)狀.我們要充分利用GGB軟件的輔助功能，一方面教師在課堂上通過演示，當(dāng)然條件允許的話部分環(huán)節(jié)也可以選擇讓學(xué)生自己操作，讓探究的過程引導(dǎo)學(xué)生體驗GGB動態(tài)教學(xué)軟件本身的趣味性.另一方面，在GGB環(huán)境支持下，以前教學(xué)過程中較為抽象的、學(xué)生難于理解的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)結(jié)論等也會較為容易地被學(xué)生理解.在整個學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生學(xué)習(xí)的成就感油然而生，學(xué)習(xí)解析幾何的積極性自然也會被調(diào)動起來.因此，用GGB軟件整合解析幾何的教學(xué)，是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的一種很好的方式.

（二）讓數(shù)學(xué)變得簡單、直觀，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

高中生普遍認為，解析幾何的學(xué)習(xí)非?？菰铩┈?，很難.難在方法的多樣化、公式的煩瑣、運算的復(fù)雜上.解析幾何涉及的知識深廣，解題方法靈活多變，解題過程中會涉及大量的未知數(shù)設(shè)置、復(fù)雜的動點變換與代數(shù)運算，使得學(xué)生思維受阻，難以正確解題，甚至使學(xué)生望而卻步、見之生畏.從本文的高考題的問題解決過程中，我們發(fā)現(xiàn)壓軸高考題的思維量是相當(dāng)大的，對此在課堂教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)教師如果用GGB軟件去直觀地詮釋問題，鍛煉學(xué)生的思維能力，就會使得這類問題在學(xué)生眼中變得簡單而有趣.用GGB軟件充當(dāng)解題的探究者，可以撥云見日般地助力問題解決，給我們的學(xué)生帶來一種成功的體驗和喜悅.

（三）為數(shù)學(xué)實驗提供了探索的平臺

GGB是國際上非常流行的數(shù)學(xué)教學(xué)平臺，功能十分強大，它能讓數(shù)學(xué)走入實驗室，所提供的動態(tài)的圖形可使數(shù)學(xué)問題可視化.而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)正是在可視化的問題情境中，通過讓學(xué)生進行數(shù)學(xué)問題解決的實踐培育起來的.因而，借助GGB軟件清晰的動態(tài)變化和幾何直觀，可以帶領(lǐng)學(xué)生在數(shù)學(xué)的海洋中實驗探索，幫助學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力，更好地啟迪學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，開啟學(xué)生的智慧，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).透過現(xiàn)象看本質(zhì)，教師在課堂上通過靈活地操作GGB繪制精準(zhǔn)的動態(tài)幾何圖形，可以讓學(xué)生先猜后證，確定問題解決的方向，給學(xué)生提供形象、生動、直觀、靈活的問題情境，推動學(xué)生問題解決能力和創(chuàng)新實踐能力的發(fā)展.教師不僅可以將GGB運用在解析幾何中定點、定值、軌跡等問題的解決上，還可以將其運用到函數(shù)、數(shù)列、概率統(tǒng)計等問題的解決上.用好GGB，以可視化實驗引導(dǎo)學(xué)生，會為我們的教學(xué)帶來極大的方便，能夠啟迪學(xué)生認識數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)特征，構(gòu)建認知情境，讓教與學(xué)更加豐富多彩.

（四）提高教師的教學(xué)效率，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔(dān)

靈活地運用GGB軟件整合教學(xué)不但可以提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效率，還能有效減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔(dān).例如，教師在圓錐曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)的新授課上運用GGB整合教學(xué)，能夠讓學(xué)生親歷整個知識的探究過程，從而將知識的發(fā)生、發(fā)展過程動態(tài)地遷移到腦海里，加深對知識的理解程度.同時，GGB軟件本身易操作，且對知識的詮釋顯而易見.這些特征都能夠加快學(xué)生對知識的深度理解，從而提高學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)效率，減輕學(xué)生的課后學(xué)習(xí)負擔(dān).GGB軟件提供了很多便利的操作，若想快速掌握GGB軟件的基本操作方法，只需要掌握GGB平臺各項功能的“幾何輸入”方法；若想成為GGB軟件的操作高手，就需要掌握“代數(shù)輸入”的方法.另外，軟件本身也提供了豐富的資源，可供教師進行各種數(shù)學(xué)公式的編輯及各種函數(shù)、曲線圖形的構(gòu)造.很多操作教師都可以在課堂上當(dāng)堂完成，這就大大地減輕了教師備課時的課件制作負擔(dān)，讓教師即教即制圖，提高了教師教學(xué)工作的效率，有利于學(xué)生透過現(xiàn)象掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì).

（五）為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)架起了數(shù)形結(jié)合的橋梁

從本文對2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)第21題的探索中可以看出，GGB軟件在探索數(shù)學(xué)問題中，具備早在二十世紀九十年代就廣泛為數(shù)學(xué)教師使用的主流數(shù)學(xué)軟件的幾何畫板、超級畫板的大部分功能，而且與這些軟件相比，它還具備獨到的優(yōu)勢，如數(shù)形同步顯示等.比如，對于本文中的高考題，通過GGB軟件進行展示，學(xué)生不僅能感受到四點共圓的優(yōu)美性質(zhì)，還能加深對問題本質(zhì)的認識.我們用GGB軟件直觀地將幾種圓錐曲線與圓相交于四點的情形呈現(xiàn)給學(xué)生，隨著圓和圓錐曲線的不斷變換，四點構(gòu)成的三組直線的斜率始終互為相反數(shù)，使學(xué)生從心底信服，從而產(chǎn)生非常深刻的印象.這一過程不僅奇妙，而且隱藏了規(guī)律，能夠引導(dǎo)學(xué)生揭開問題的面紗，激活學(xué)生的思維，讓其積極地通過代數(shù)運算探尋真相，從代數(shù)證明的角度對問題進行拓展，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.同一個數(shù)學(xué)對象，在GGB軟件環(huán)境下用數(shù)和形兩種方式同步顯示出來，這一動態(tài)過程實則是深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、思考數(shù)學(xué)，從思維上解決數(shù)學(xué)問題的過程，其中蘊含著數(shù)形結(jié)合的思想、解析幾何的原理.對于學(xué)生來說，借助GGB的教學(xué)可以讓其形成對數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)對象的多元表征.總之，用GGB軟件整合高中數(shù)學(xué)的教學(xué)有利于學(xué)生在心理上建立和強化數(shù)形結(jié)合思想，同時架起數(shù)形結(jié)合的橋梁，實現(xiàn)寓美于教、以美啟智的教學(xué)目標(biāo).