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    等截面梁純彎曲振動(dòng)時(shí)忽略非線性因素的條件

    2022-09-07 06:38:08高永毅
    科技創(chuàng)新與應(yīng)用 2022年25期
    關(guān)鍵詞:分界線簡(jiǎn)支振型

    唐 果,高永毅,舒 慧,龔 帥

    (1.湖南軟件職業(yè)技術(shù)大學(xué) 人文素質(zhì)教學(xué)部,湖南 湘潭 411201;2.湖南科技大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院,湖南 湘潭 411201;3.中國(guó)電信股份有限公司懷化分公司,湖南 懷化 418000;4.岳陽(yáng)宇翔科技有限公司,湖南 岳陽(yáng) 414012)

    梁的振動(dòng)問(wèn)題是學(xué)者們廣泛關(guān)注的問(wèn)題,其線性振動(dòng)理論,目前已比較成熟[1]。但是,隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,工程機(jī)械系統(tǒng)和精密儀器的精度、復(fù)雜程度及防振要求越來(lái)越高;同時(shí)高強(qiáng)度新型材料不斷使用等原因使得梁的非線性振動(dòng)問(wèn)題越來(lái)越受到廣大科技工作者的重視。許多學(xué)者對(duì)梁的非線性振動(dòng)問(wèn)題做了大量的研究工作,張登博等[2]對(duì)非齊次邊界條件下軸向運(yùn)動(dòng)梁的非線性振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了研究。Evensen[3]對(duì)不同邊界條件下簡(jiǎn)支梁的幾何非線性振動(dòng)進(jìn)行了求解。Chen 等[4]研究了軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性梁的高維非線性動(dòng)。Pillai 等[5]利用諧振子假設(shè)得到了時(shí)域解、伽遼金解和諧波平衡解。Sahoo 等[6]分析了軸向運(yùn)動(dòng)梁的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性、分叉及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。本文作者等[7-9]對(duì)考慮撓度微分方程中高階項(xiàng)所引起的幾何非線性和材料阻尼引起的阻尼非線性的梁進(jìn)行了分析,并對(duì)等截面梁純彎曲振動(dòng)時(shí)產(chǎn)生混沌的參數(shù)條件進(jìn)行了研究。本文將對(duì)等截面梁純彎曲振動(dòng)時(shí)幾何非線性忽略條件進(jìn)行研究。

    1 非線性因素忽略的條件

    高永毅等[7]對(duì)如圖1 所示的理想彈性體,勻質(zhì)等截面,作用有均布載荷q=q0cosωt,微幅振動(dòng)的梁,依據(jù)梁撓度y(x,t)用基礎(chǔ)振型函數(shù)φ(x)近似表示,即y(x,t)=φ(x)a(t)的方法和拉格郎日方程得出了非線性運(yùn)動(dòng)方程:

    圖1 建立的坐標(biāo),X 軸沿梁的軸線。其中:“·”表示對(duì)時(shí)間t 的導(dǎo)數(shù)式中:是梁的單位長(zhǎng)度質(zhì)量)(“,”表示對(duì)x 的導(dǎo)數(shù),E 是彈性模量,I 是截面慣量矩)是粘滯阻尼系數(shù))。

    圖1 梁的撓度分析圖

    高永毅等[7]和許本文等[10]在式(1)和其穩(wěn)態(tài)近似解a(t)=Bcos(ωt+φ)的基礎(chǔ)上,依據(jù)諧波平衡法導(dǎo)出的頻率響應(yīng)方程為

    由(3)式得隱形函數(shù):

    利用隱形函數(shù)(4)式,將B 對(duì)ω 求導(dǎo)得:

    令式(5)的分子部分為零,則幅值B 對(duì)頻率ω 的導(dǎo)數(shù)為零,求出的頻率ω 所對(duì)應(yīng)的幅值Bm為極大值,其頻率ω0為等截面梁的固有頻率。因此得:

    由上式得:

    由式(1)和式(2)可知只有h 或b 十分小的情況下,梁純彎曲振動(dòng)時(shí)非線性因素才能忽略。由此,通過(guò)式(7)可得梁純彎曲振動(dòng)時(shí)非線性因素忽略的條件為

    將式(2)代入式(8)中得:

    當(dāng)式(9)成立時(shí),h 或b 為小值,此時(shí)才能忽略梁純彎曲振動(dòng)時(shí)的非線性因素的影響。所以式(9)是梁純彎曲振動(dòng)時(shí)非線性因素忽略的條件。將式(9)中的不等號(hào)用等號(hào)代替,得梁純彎曲振動(dòng)時(shí)非線性因素忽略的分界線方程。利用MATLAB 軟件,在以頻率ω 為橫坐標(biāo),以幅值B 極大值為縱坐標(biāo)的坐標(biāo)平面上,對(duì)分界線方程畫(huà)曲線,得梁純彎曲振動(dòng)時(shí)非線性因素忽略的參數(shù)分界線。

    由于不同類型等截面梁的基礎(chǔ)振型函數(shù)φ(x)不同,由式(9)可知不同類型和不同材料做成的等截面梁純彎曲振動(dòng)時(shí)非線性因素忽略的條件是不同的。下面以簡(jiǎn)支和懸臂梁為例,利用式(9)研究不同類型等截面梁純彎曲振動(dòng)時(shí)非線性因素忽略條件。

    2 簡(jiǎn)支梁純彎曲振動(dòng)時(shí)非線性因素忽略條件

    2.1 主振動(dòng)的非線性因素忽略條件

    韓強(qiáng)等[11]給出了各階主振動(dòng)對(duì)應(yīng)的振型函數(shù)φ(x)為

    由于是勻質(zhì)等截面梁則ρ、EI 為常數(shù)。將振型函數(shù)φi(x)代入式(9)中得各階主振動(dòng)非線性因素忽略的條件:

    將非線性因素忽略條件(12)式中的不等號(hào)用等號(hào)代替得非線性因素忽略的分界線方程。

    取唐果等[9]中給出的參數(shù):ρ=15.3×103kg/m,I=0.8 m4,l=100 m,E=2.15×1011N/m2,η=0.02。在以Bm為縱坐標(biāo),ω 為橫坐標(biāo)的坐標(biāo)平面內(nèi),利用MATLAB 軟件和式(11)對(duì)分界線方程畫(huà)曲線,得出勻質(zhì)等截面簡(jiǎn)支梁純彎曲振動(dòng)時(shí),不同階主振動(dòng)非線性因素忽略的參數(shù)分界線如圖2 所示。

    圖2 中的3 條曲線分別是i 取2、8、14 和βi取2×0.01×π,8×0.01×π,14×0.01×π 所對(duì)應(yīng)的不同3 階主振動(dòng)的非線性因素忽略的參數(shù)分界線。每條曲線左邊是非線性因素可以忽略的區(qū)域;右邊是考慮非線性因素的區(qū)域。

    圖2 勻質(zhì)等截面簡(jiǎn)支梁純彎曲振動(dòng)時(shí),不同3 階主振動(dòng)對(duì)應(yīng)的非線性因素忽略的參數(shù)分界線

    由圖2 知,固有頻率在分界線與橫坐標(biāo)的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)之間取值的時(shí)候不要考慮非線性因素;并且非線性因素忽略的分界線隨主振動(dòng)的階數(shù)增大向右移動(dòng),說(shuō)明不要考慮非線性因素的區(qū)域增大;等間距的增大主振動(dòng)的階數(shù),其區(qū)域的增大是越來(lái)越大。

    2.2 一般初始條件下的非線性因素忽略條件

    因?yàn)槠渥杂烧駝?dòng)為各階主振動(dòng)的疊加[10],所以當(dāng)振型參數(shù)βi及勻質(zhì)等截面梁參數(shù)ρ、EI、η、l 不滿足式(12)時(shí),所對(duì)應(yīng)的主振動(dòng)都要考慮非線性因素。由于不要考慮非線性因素的區(qū)域隨主振動(dòng)階數(shù)的增大而增大,因此第1 階主振動(dòng)不要考慮非線性因素的區(qū)域最小,所以在一般初始條件下勻質(zhì)等截面簡(jiǎn)支梁純彎曲振動(dòng)時(shí),非線性因素忽略的條件是式(12)給出的第1階,即i 取1 和βi取1×0.01×π 對(duì)應(yīng)的不等式,即:

    將非線性因素忽略條件式(13)中不等號(hào)用等號(hào)代替得一般初始條件下勻質(zhì)等截面簡(jiǎn)支梁純彎曲振動(dòng)時(shí),非線性因素忽略的分界線方程。

    在以Bm為縱坐標(biāo),ω 為橫坐標(biāo)的坐標(biāo)平面內(nèi),利用MATLAB 軟件對(duì)分界線方程畫(huà)曲線,得出一般初始條件下勻質(zhì)等截面簡(jiǎn)支梁純彎曲振動(dòng)時(shí),非線性因素忽略的參數(shù)分界線如圖3 所示。分界線的左邊是非線性因素可以忽略的區(qū)域;右邊是必須考慮非線性因素的區(qū)域。

    由圖3 可知,在一般初始條件下,勻質(zhì)等截面簡(jiǎn)支梁的固有頻率在分界線與橫坐標(biāo)的交點(diǎn)到原點(diǎn)之間取值進(jìn)行純彎曲振動(dòng)時(shí)不要考慮非線性因素;在大于分界線與橫坐標(biāo)的交點(diǎn)取值進(jìn)行純彎曲振動(dòng)時(shí),如果各個(gè)參數(shù)滿足式(13)則可以不考慮非線性因素的影響,否則就不能忽略非線性因素。

    圖3 一般初始條件下勻質(zhì)等截面簡(jiǎn)支梁純彎曲振動(dòng)時(shí),非線性因素忽略的參數(shù)分界線

    3 懸臂梁純彎曲振動(dòng)時(shí)非線性因素忽略條件

    3.1 主振動(dòng)的非線性因素忽略條件

    韓強(qiáng)等[11]給出了懸臂梁純彎曲振動(dòng)時(shí),各階主振動(dòng)的振型函數(shù)φ(x)為

    其中:β1l=1.875 1,β2l=4.694 1,β3l=7.854 8,

    將振型函數(shù)φi(x)代入式(9)中得懸臂梁純彎曲振動(dòng)時(shí)各階主振動(dòng)非線性因素忽略的條件。

    取2.1 節(jié)中唐果等[9]所給的參數(shù),利用MATLAB軟件和式(15)計(jì)算第1、9、18 階振型函數(shù)φ(x)對(duì)應(yīng)的積分得:

    將式(16)和式(17)代入式(9)中得懸臂梁純彎曲振動(dòng)時(shí)第1 階主振動(dòng)非線性因素忽略的條件:

    將第1、9、18 階主振動(dòng)非線性因素忽略的條件式(18)、式(19)和式(20)中的不等號(hào)用等號(hào)代替得第1、9、18階主振動(dòng)非線性因素忽略的分界線方程。在以Bm為縱坐標(biāo),ω 為橫坐標(biāo)的坐標(biāo)平面內(nèi),利用MATLAB 軟件對(duì)分界線方程畫(huà)曲線,得勻質(zhì)等截面懸臂梁純彎曲振動(dòng)時(shí),第1、9、18 階主振動(dòng)非線性因素忽略的參數(shù)分界線如圖4 所示。圖4 中的3 條曲線分別是i 取1、9、18 和βi取0.018 751,π×0.01×17/2,π×0.01×35/2 所對(duì)應(yīng)的不同3 階主振動(dòng)非線性因素忽略的參數(shù)分界線。每條曲線左邊是非線性因素可以忽略的區(qū)域;右邊是考慮非線性因素的區(qū)域。由圖4 可知懸臂梁純彎曲振動(dòng)時(shí),主振動(dòng)非線性因素忽略的參數(shù)分界線變化規(guī)律和簡(jiǎn)支梁相似。

    圖4 勻質(zhì)等截面懸臂梁純彎曲振動(dòng)時(shí),不同3 階主振動(dòng)對(duì)應(yīng)的非線性因素忽略的參數(shù)分界線

    3.2 一般初始條件下的非線性因素忽略條件

    由于不要考慮非線性因素的區(qū)域隨主振動(dòng)階數(shù)的增大而增大,因此第1 階主振動(dòng)不要考慮非線性因素的區(qū)域最小,所以在一般初始條件下勻質(zhì)等截面懸臂梁純彎曲振動(dòng)時(shí),非線性因素忽略的條件是式(18)。將非線性因素忽略條件式(18)中的不等號(hào)用等號(hào)代替得一般初始條件下,非線性因素忽略的分界線方程。利用MATLAB 軟件對(duì)分界線方程畫(huà)曲線,得出一般初始條件下勻質(zhì)等截面懸臂梁純彎曲振動(dòng)時(shí),非線性因素忽略的參數(shù)分界線如圖5 所示。分界線的左邊是非線性因素可以忽略的區(qū)域;右邊是必須考慮非線性因素的區(qū)域。由圖5 可知一般初始條件下,勻質(zhì)等截面懸臂梁純彎曲振動(dòng)時(shí),非線性因素忽略的參數(shù)分界線變化規(guī)律和簡(jiǎn)支梁的類似。

    圖5 一般初始條件下勻質(zhì)等截面懸臂梁純彎曲振動(dòng)時(shí),非線性因素忽略的參數(shù)分界線

    4 結(jié)論

    由以上討論可以得出以下幾點(diǎn)結(jié)論。

    (1)由于不同材料制造的勻質(zhì)等截面梁的固有頻率是不同的,所以在制造均質(zhì)等截面梁時(shí)可以根據(jù)非線性因素忽略條件和工程需要選擇材料。

    (2)不同類型和不同材料制造的均質(zhì)等截面梁純彎曲振動(dòng)時(shí)非線性因素忽略的條件是不同的。

    (3)不同類型勻質(zhì)等截面梁純彎曲振動(dòng)時(shí),各階主振動(dòng)都有一個(gè)固有頻率點(diǎn),各階固有頻率取小于這個(gè)點(diǎn)的值時(shí),不要考慮非線性因素;取大于這個(gè)點(diǎn)的值時(shí),要根據(jù)式(9)分析是否考慮非線性因素。

    (4)同一類型勻質(zhì)等截面梁純彎曲振動(dòng)時(shí),主振動(dòng)不考慮非線性因素的區(qū)域隨主振動(dòng)階數(shù)增大而增大;增大的速度隨主振動(dòng)階數(shù)增大而增大;說(shuō)明高階主振動(dòng)更容易避開(kāi)非線性因素的影響。

    (5)不同類型勻質(zhì)等截面簡(jiǎn)支梁,在一般初始條件下純彎曲振動(dòng)時(shí),非線性因素忽略的條件為第1 階主振動(dòng)忽略的條件。說(shuō)明一般初始條件下純彎曲振動(dòng)比各階主振動(dòng)更難避開(kāi)非線性因素的影響。

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