尋找同型，同構(gòu)函數(shù)，利用共性

孟美金

(山東省青島西海岸新區(qū)第二高級中學(xué))

同構(gòu)意識是破解數(shù)學(xué)問題比較常見的一種解題意識,特別是在解決一些比較復(fù)雜的等式或不等式問題時,可以結(jié)合關(guān)系式結(jié)構(gòu)特征對等式或不等式進行變形與轉(zhuǎn)化,合理同構(gòu)函數(shù),再利用函數(shù)的基本性質(zhì)解題.

1 地位同等要同構(gòu)

含有地位同等的兩個變量x1,x2或x,y的等式或不等式,如果進行恒等變形與整理后,等式或不等式兩邊具有關(guān)系式結(jié)構(gòu)特征的一致性,往往可以巧妙同構(gòu)函數(shù),應(yīng)用函數(shù)的基本性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性等)分析與解決.

例1若cos5θ－sin5θ＜7(sin3θ－cos3θ),θ∈[0,2π),則θ的取值范圍是_________.

根據(jù)題目條件,結(jié)合三角不等式進行“同名”變形、合理移項處理,找到不等號兩邊的同型結(jié)構(gòu),進而構(gòu)造函數(shù),利用所構(gòu)造函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,巧妙轉(zhuǎn)化三角不等式,再利用三角函數(shù)中的輔助角公式以及三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)確定θ的取值范圍.

因為cos5θ＋7cos3θ＜sin5θ＋7sin3θ,設(shè)f(x)＝x5＋7x3,則f(x)是R 上的奇函數(shù)且單調(diào)遞增,所以不等式f(cosθ)＜f(sinθ)等價于cosθ＜sinθ,即sinθ－cosθ＞0,整理可得,解得,結(jié)合θ∈[0,2π),可得

利用地位同等策略構(gòu)造函數(shù)時,往往需要對題目條件中的等式或不等式以同名、同次、同級別、同類型等形式加以恒等變形轉(zhuǎn)化,使得等號或不等號兩邊關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征相一致,進而合理構(gòu)造函數(shù),借助同一函數(shù)的共性分析與處理問題.

變式若2x－2y＜3－x－3－y,則( ).

對2x－2y＜3－x－3－y移項變形得2x－3－x＜2y－3－y,設(shè)f(x)＝2x－3－x,因為y＝2x,y＝－3－x單調(diào)遞增,所以f(x)是定義在R 上的增函數(shù),故由2x－3－x＜2y－3－y,得x＜y,所以yx＞0,即y－x＋1＞1,從而ln(y－x＋1)＞0,故選A.

2 指對(數(shù))跨階同構(gòu)

涉及指數(shù)式與對數(shù)式混合的等式或不等式,往往需要跨階轉(zhuǎn)化與處理,均轉(zhuǎn)化為類指數(shù)函數(shù)型或類對數(shù)函數(shù)型,進而巧妙同構(gòu)一個函數(shù),這個函數(shù)需要滿足指對跨階、單調(diào)性和最值易求等,從而實現(xiàn)跨階同構(gòu)解決問題.

例2若實數(shù)x1,x2滿足x1ex1＝e3,x2(lnx2－2)＝e5,那么x1x2＝_____.

根據(jù)題目條件,要求解x1x2,就要考慮將兩個等式加以統(tǒng)一結(jié)構(gòu)化處理,可以化對數(shù)式為指數(shù)式,也可以化指數(shù)式為對數(shù)式,進而巧妙同構(gòu)函數(shù)求解.

方法1由實數(shù)x1,x2滿足x1ex1＝e3,x2(lnx2－2)＝e5,可得x1＞0,x2＞e2.

設(shè)lnx2－2＝t＞0,則有l(wèi)nx2＝t＋2,將對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式可得x2＝et＋2,代入x2(lnx2－2)＝e5,并整理可得tet＝e3.

設(shè)f(x)＝xex(x＞0),則f′(x)＝(x＋1)ex＞0(x＞0),所以f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,而f(x1)＝f(t)＝e3,可得x1＝t＝lnx2－2,所以

方法2對x1ex1＝e3兩邊同時取自然對數(shù),可得lnx1＋x1＝3,對x2(lnx2－2)＝e5兩邊同時取自然對數(shù)得

為使兩式結(jié)構(gòu)特征相同,將①進一步變形為

設(shè)f(x)＝lnx＋x(x＞0),則0,所以f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,則方程f(x)＝3的解只有一個,可得x1＝lnx2－2,所以x1x2＝(lnx2－2)x2＝e5.

在解決一些涉及指數(shù)、對數(shù)三階的綜合問題時,往往可以通過等式或不等式的恒等變形轉(zhuǎn)化,借助指對(數(shù))跨階函數(shù)的同構(gòu),將原問題轉(zhuǎn)化為同一個函數(shù)背景下的問題進行求解.

變式已知x0是方程x3ex－4＋2lnx－4＝0的一個根,那么的值是( ).

由x3ex－4＋2lnx－4＝0,配湊可得

設(shè)f(x)＝ex＋x,則f′(x)＝ex＋1＞0恒成立,故函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增.

由f(3lnx＋x－4)＝f(lnx),可得

故選B.

3 無中生有去同構(gòu)

若題目條件中的一些相關(guān)式子無法直接進行變形與巧妙同構(gòu),往往需要通過配湊常數(shù)、參數(shù)或變量(如同時乘x或同時加x)等,構(gòu)建指對(數(shù))跨階形式,進而巧妙解決問題.

例3若2a＋log2a＝4b＋2log4b,則( ).

根據(jù)題目條件,對等式中等號兩邊相應(yīng)的關(guān)系式進行結(jié)構(gòu)特征一致化變形處理.借助常數(shù)進行“無中生有”,從而巧妙放縮處理,化等式為不等式,借助同構(gòu)函數(shù)的單調(diào)性確定相關(guān)函數(shù)所對應(yīng)變量間的大小關(guān)系.

設(shè)f(x)＝2x＋log2x(x＞0),則函數(shù)f(x)在(0,＋∞)上為增函數(shù),所以由f(a)＜f(2b),可得a＜2b.而

當(dāng)b＝1時,f(a)－f(b2)＝2＞0,此時f(a)＞f(b2),則a＞b2.

當(dāng)b＝2時,f(a)－f(b2)＝－1＜0,此時f(a)＜f(b2),則a＜b2,故選B.

為了利用地位同等或指對(數(shù))跨階策略同構(gòu)函數(shù),進而利用同構(gòu)函數(shù)的共性求解問題,經(jīng)常采用放縮變形,通過配湊常數(shù)、參數(shù)或變量等方式進行結(jié)構(gòu)特征一致化處理,從而使等號或不等號兩邊函數(shù)類型相同.

變式若asina－4bsinbcosb＝4b2－a2＋1,則( ).

由asina－2bsin 2b＝4b2－a2＋1,可得asina＋a2＝4b2＋2bsin2b＋1,則有asina＋a2＝(2b)2＋2bsin2b＋1＞(2b)2＋2bsin2b.

設(shè)f(x)＝xsinx＋x2,因為f(－x)＝－xsin(－x)＋(－x)2＝f(x),所以f(x)為偶函數(shù),求導(dǎo)可得

所以當(dāng)x≥0時,f′(x)＞0,函數(shù)f(x)在[0,＋∞)上為增函數(shù),由asina＋a2＞(2b)2＋2bsin2b,可得f(a)＞f(2b).

又由于f(x)為偶函數(shù),則f(|a|)≥f(|2b|),所以|a|＞|2b|,故選C.

在破解一些數(shù)學(xué)問題時,“尋同型找共性”,需借助我們的慧眼去識別問題中的代數(shù)式或不等式等結(jié)構(gòu)特征的相似之處,通過不斷感知、抽象、認(rèn)同、同構(gòu)、建模等過程,鏈接題中涉及知識與所學(xué)知識的密切聯(lián)系,將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題處理,不斷增強創(chuàng)新意識、同構(gòu)意識與創(chuàng)新應(yīng)用.

(完)