為2022年高考數(shù)學(xué)北京卷點贊
——試題的鮮明特色是“一題多解、樸實自然”

甘志國(正高級教師 特級教師)

(北京豐臺二中)

1 試題的鮮明特色是“一題多解、樸實自然”

2022年是北京新教材高考元年,也被稱為“四新高考”——新高考方案、新課程標準、新課程方案、新高考教材.2022年高考數(shù)學(xué)北京卷(以下簡稱試卷)堅持“以德為先、能力為重、全面發(fā)展”的命題理念,穩(wěn)妥推進新高考改革,堅持“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的命題原則,堅持“有利于高校選拔人才、有利于高中數(shù)學(xué)教學(xué)、有利于學(xué)生展示才華”的命題方向.

試題的鮮明特色是“一題多解、樸實自然”,絕大部分試題都是學(xué)生通過高中三年學(xué)習(xí)后應(yīng)知應(yīng)會的數(shù)學(xué)知識方法:面孔熟悉、解法常規(guī),都有簡捷基礎(chǔ)、直達本質(zhì)且是自然流露的多種解法.選填題可用直接法、排除法、估算法、極端原理、數(shù)形結(jié)合思想等求解;解答題容易上手、思路自然、運算量不大,比如概率統(tǒng)計題(第18題)情境真實,但解答時要設(shè)事件,并用所設(shè)事件表示要研究的事件.解答第19題時容易因為不嚴謹而出現(xiàn)錯誤;第20題第(3)問是二元函數(shù)問題,學(xué)生略感陌生.

試卷基于《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017 年版2020年修訂)》(以下簡稱課程標準),突出考查八大主干知識:函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、平面向量、數(shù)列、立體幾何、解析幾何、概率統(tǒng)計.試卷頻繁考查估算法(第4,7,15題)、反證法(第4,5,6,14,15,21題)、極限思想與極端化原理(第4,6,9,10,14,15題)等基本思想方法.

1.1 “一題多解、樸實自然”試題欣賞

例1(2022 年北京卷4)已知函數(shù)f(x)＝則對任意實數(shù)x,有( ).

解析方法1直接驗證f(－x)＋f(x)＝1成立,故選C.

方法2可驗證函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),因而可排除選項A,B.再由f(0)＝,可排除選項D,故選C.

方法3因為,所以排除選項A,B,D,故選C.

例2(2022年北京卷10)在△ABC中,AC＝3,BC＝4,∠C＝90°.P為△ABC所在平面內(nèi)的動點,且PC＝1,則的取值范圍是( ).

解析方法1(建系、減元、導(dǎo)數(shù))由題設(shè)知,可建立如圖1所示的平面直角坐標系xCy,則A(3,0),B(0,4).再由題設(shè)可求得動點P(x,y)的軌跡是單位圓x2＋y2＝1,所以

圖1

設(shè)z＝3x＋4y(其中x,y滿足x2＋y2＝1),則z＝3x±,則z的取值范圍是[－5,5],所以,6],故選D.

方法2 (用平面向量基本定理及平面向量數(shù)量積的定義)如圖2 所示,設(shè)Rt△ABC的斜邊AB_的中點是D,可得2|CD|＝|AB|＝5.

圖2

點評1)本題源于普通高中教科書《數(shù)學(xué)·選擇性必修·第一冊·A 版》(人民教育出版社,2020)98頁第12題.

2)極化恒等式“4a·b＝(a＋b)2－(a－b)2”是解決向量數(shù)量積問題的利器,2017 年全國Ⅱ卷理科第12題、2017年北京卷文科第12題、2016年江蘇卷第13題、2013年浙江卷理科第7題、2013年天津卷理科第12題、2011年上海卷理科第11題以及2010年福建卷文科第10題均可利用極化恒等式來簡捷求解.

例3(2022年北京卷15)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),其前n項和Sn滿足an·Sn＝9(n＝1,2,…).給出下列四個結(jié)論:

①{an}的第2項小于3;

②{an}為等比數(shù)列;

③{an}為遞減數(shù)列;

④{an}中存在小于的項.

其中所有正確結(jié)論的序號是________.

解析逐項分析①正確:在所給遞推式中令n＝1,可求得a1＝3,再令n＝2,可得

③正確:由數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),可得{Sn}是正項遞增數(shù)列.再由an·Sn＝9(n＝1,2,…),可得

②錯誤:

若{an}為等比數(shù)列,則是常數(shù).再由數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),可得an＋1(n＝1,2,…)也是常數(shù).又由an·Sn＝9(n＝1,2,…),可得Sn＋1(n＝1,2,…)也是常數(shù),所以a3＝S3－S2＝0,這與a3＞0矛盾,所以{an}不是等比數(shù)列.

方法4方 法3 已 得2,…),所以若{an}為等比數(shù)列,則是常數(shù).再由數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),可得an＋1(n＝1,2,…)也是常數(shù).但這與③正確相矛盾,所以{an}不是等比數(shù)列.

④正確:

方法2由結(jié)論③及數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)、結(jié)論“單調(diào)有界數(shù)列存在極限”可得存在.

整體分析由數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),可得{Sn}是正項遞增數(shù)列.再由an·Sn＝9(n＝1,2,…),可直觀感知出{an}為正項遞減數(shù)列,③正確.

在所給遞推式中令n＝1,可求得a1＝3,又由結(jié)論③可得a2＜a1＝3,①正確.

由所給遞推式得Sn＋1an＋1＝Sn＋1(Sn＋1－Sn)＝9(n＝1,2,…).若正項遞增數(shù)列{Sn}有上界,則由結(jié)論“單調(diào)有界數(shù)列存在極限”可得存在.

例4(2022 年北京卷17,節(jié)選)如圖3所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面BCC1B1為正方形,平面BCC1B1⊥平面ABB1A1,AB＝BC＝2,M,N分別為A1B1,AC的中點.

圖3

從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知,求直線AB與平面BMN所成角的正弦值.

條件①:AB⊥MN;條件②:BM＝MN.

注:如果選擇條件①和條件②分別解答,按第一個解答計分.

解析選條件①,容易證得三條直線BB1,BC,BA兩兩互相垂直,進而可建系求解.

選條件②:

方法1如圖3 所示,由平面BCC1B1⊥平面ABB1A1,CB?平面BCC1B1,平面BCC1B1∩平面ABB1A1＝B1B,CB⊥B1B,可 得CB⊥平 面ABB1A1,所以BC⊥BA.

如圖4 所示,設(shè)棱BC的中點是D,連接DN,DB1,可證得MN＝B1D.再由題設(shè)可得

圖4

由勾股定理的逆定理,可得BB1⊥B1M,因為B1M∥BA,所以BB1⊥BA.從而BB1,BC,BA兩兩互相垂直,進而可建立空間直角坐標系后求得答案是

方法2同方法1可得CB⊥平面ABB1A1,所以BC⊥BA,可建立如圖5 所示的空間直角坐標系B-xyz,則A(0,2,0),B(0,0,0),N(1,1,0),C(2,0).

圖5

設(shè)點B1(x,y,z)(z＞0),由

可得x＝0,所以點B1(0,y,z).

由BM＝MN及兩點的距離公式可得(y＋1)2＋z2＝1＋y2＋z2,所以y＝0,點B1(0,0,z)(z＞0),得直線BB1⊥平面ABC,則直線BB1,BC,BA兩兩互相垂直,進而可利用空間直角坐標系求得答案.

點評對于這道立體幾何劣構(gòu)題,若選擇“條件②”,則難度較大(這就是出現(xiàn)劣構(gòu)題的緣由:考查學(xué)生選擇簡單問題求解的能力),難在不能直接建立空間直角坐標系,需要先證明三條直線兩兩互相垂直.學(xué)生要重視平面幾何在立體幾何解題中的應(yīng)用,隨著新高考的變化,平面幾何知識不會再作為一道選考解答題出現(xiàn),但平面幾何知識在解三角形、平面向量、立體幾何、平面解析幾何中有重要應(yīng)用.

例5(2022 年北京卷19)已知橢圓的一個頂點為A(0,1),焦距為2 3.

(1)求橢圓E的方程;

(2)過點P(－2,1)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B,C,直線AB,AC分別與x軸交于點M,N,當|MN|＝2時,求k的值.

解析(1)橢圓E的方程為(求解過程略).

(2)方法1由題設(shè)可得直線BC的方程為y＝k(x＋2)＋1,設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),聯(lián) 立

這個關(guān)于x的一元二次方程的判別式

若x1＝0,可求得點B(0,－1),再求得直線PB:y＝－x－1與橢圓E的另一個交點是直線與x軸交于點N(－4,0),則直線AB:x＝0與x軸交于點M(0,0).因而|MN|＝4,不滿足題設(shè)“|MN|＝2”,所以x1≠0,再得y1≠1,可求得直線

又由題設(shè)|MN|＝2,可解得k＝－4.

當k＝－4時,可求得直線PB:y＝－4x－7與橢圓E交于不同的兩點不妨設(shè).再求得直線AB:y＝x＋1與x軸交于點M(－1,0),直線與x軸交于點N(－3,0),滿足題設(shè)“|MN|＝2”,且1－y1≠0,1－y2≠0,所以以上解答中的點均存在.

綜上,k的值是－4.

方法2由題設(shè)可求得直線BC的方程為y＝k(x＋2)＋1(k＜0),設(shè)M(m,0),N(n,0).

檢驗當k＝－4時滿足題設(shè),所以k＝－4.

點評1)請注意方法1中的檢驗是必需的:若把題設(shè)中的“|MN|＝2”改成“|MN|＝4”,可求得點B,C的坐標是(0,－1)(或互換),點M,N的坐標是(0,0),(－4,0)(或互換),但不滿足“點及點(x2≠0)”.2)方法1是“設(shè)斜率”,運算量較大;方法2設(shè)點,運算量要小一些.

例6(2022 年北京卷20)已知函數(shù)f(x)＝exln(1＋x).

(1)求曲線y＝f(x)在點(0,f(0))的切線方程;

(2)設(shè)g(x)＝f′(x),討論函數(shù)g(x)在[0,＋∞)上的單調(diào)性;

(3)證明:對任意的s,t∈(0,＋∞),有

解析(1)切線方程為y＝x(求解過程略).

當x≥0時,ex＞0,ln(x＋1)≥0,,所以g′(x)＞0,g(x)在[0,＋∞)上是增函數(shù).

(3)方法1設(shè)函數(shù)h(s)＝f(s＋t)－f(s)－f(t)(s≥0),由(2)的結(jié)論可得h′(s)＝f′(s＋t)－f′(s)≥0(s＞0,t＞0),h(s)是增函數(shù),則h(s)＞h(0)＝－f(0)＝0(s＞0),進而可得欲證結(jié)論成立.

方法2不妨設(shè)0＜s≤t,A(0,f(0)),B(s,f(s)),C(t,f(t)),D(s＋t,f(s＋t)),即證

由題設(shè)及拉格朗日中值定理,可得?ξ∈(0,s),f′(ξ)＝kAB;?η∈(t,s＋t),f′(η)＝kCD.

由0＜ξ＜s≤t＜η＜s＋t及第(2)問的結(jié)論“f′(x)在[0,＋∞)上是增函數(shù)”,可得f′(ξ)＜f′(η),即kCD＞kAB,所以欲證結(jié)論成立.

點評由數(shù)學(xué)歸納法還可證明本題第(3)問結(jié)論的推廣:若可導(dǎo)函數(shù)f(x)(x≥0)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)是增函數(shù)且f(0)≤0,則

1.2 部分創(chuàng)新試題的解法

例7(2022年北京卷6)設(shè){an}是公差不為0的無窮等差數(shù)列,則“{an}為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)N0,當n＞N0時,an＞0”的( ).

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

解析由題設(shè)可得無窮等差數(shù)列{an}的公差d＜0或d＞0,因而在平面直角坐標系nOan中,點列(n,an)(n∈N*)均在同一條直線an＝dn＋(a1－d)上,進而{an}為遞增數(shù)列?d＞0?存在正整數(shù)N0,當n＞N0時,an＞0.其中“存在正整數(shù)N0,當n＞N0時,an＞0?d＞0”可用反證法證:假設(shè)d＜0,由點列(n,an)(n∈N*)均在同一條直線an＝dn＋(a1－d)(d＜0)上,可得當n→＋∞時,an＜0,與題設(shè)“存在正整數(shù)N0,當n＞N0時,an＞0”矛盾,所以欲證結(jié)論成立,故選C.

例8(2022 年北京卷14)設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(x)存在最小值,則a的一個取值為_________;a的最大值為_________.

解析第一空的答案可以是區(qū)間[0,1]中的任意一個數(shù).

若a＜0,則所以函數(shù)f(x)沒有最小值,不滿足題設(shè).

若a＝0,則函數(shù)進而可得fmin(x)＝f(2)＝0,滿足題設(shè).

若a＞0,注意到函數(shù)f(x)在x＜0時的解析式f(x)＝－ax＋1(減函數(shù))中自變量x的取值范圍是開區(qū)間(－∞,a),此時函數(shù)f(x)沒有最小值;函數(shù)f(x)在x≥0時的解析式f(x)＝(x－2)2中自變量x的取值范圍是區(qū)間[a,＋∞),此時函數(shù)f(x)有最小值.由f(x)的最小值是這兩部分函數(shù)值中最小的,因而若f(x)存在最小值,則最小值一定是當x≥0時函數(shù)值中最小的,可分下面兩種情況來討論:

1)若0＜a≤2,則fmin(x)＝f(2)＝0,且－a2＋1≥0,得a∈(0,1].

2)若a＞2,則fmin(x)＝(a－2)2,且－a2＋1≥(a－2)2,得a∈?.

綜上,a的取值范圍是[0,1],最大值是1.

2 高考復(fù)習(xí)備考建議

關(guān)于高三復(fù)習(xí)備考,筆者在發(fā)表的相關(guān)文獻中已闡述了一些有益的建議,下面再強調(diào)七點.

1)第一輪復(fù)習(xí)要夯實基礎(chǔ),堅決丟掉“偏、難、怪”.教師不可深一腳淺一腳地教學(xué)(包括解題教學(xué)),否則會導(dǎo)致“學(xué)生很怕數(shù)學(xué)”.

2)要注重回歸課本,不要過多地依賴于教輔資料,更不能迷戀于題海戰(zhàn)術(shù).

3)學(xué)生在復(fù)習(xí)備考時要讓自己感到心里有底,這是高效復(fù)習(xí)和減輕學(xué)習(xí)負擔(dān)的重要途徑和必由之路.比如,對于試卷第17題,學(xué)生自己要明白:從理論上來說,所有的立體幾何試題都可建立空間直角坐標系來求解(相當于所有的平面幾何試題都可建立平面直角坐標系來求解),但如何建系更方便,平時要多訓(xùn)練、總結(jié)、提升.

4)注重主干知識、聚焦核心考點、重視高頻考點,適當加大運算能力的培養(yǎng).要知道梨子的味道一定要親口嘗一嘗,問題難不難、會不會解決,一定要親自動筆認真做.

5)關(guān)注北京特色的試題,比如對三道壓軸題,平時要有針對性地訓(xùn)練,即使第21題也不可全然放棄,要做到分分必爭;多關(guān)注新高考中的劣構(gòu)題、數(shù)學(xué)文化試題以及多選題等,并盡可能地做到學(xué)以致用、欣賞數(shù)學(xué),還要盡可能地做到見多識廣.

6)盡可能地減少非智力因素對考試成績的影響,答題要做到落筆有據(jù)、書寫規(guī)范.表述規(guī)范是能力、實力的體現(xiàn),不僅僅是態(tài)度,其最高境界是“不多一個字也不少一個字”,可以把自己的表述訓(xùn)練成比參考答案還要好.

7)高中數(shù)學(xué)教與學(xué)要永遠做好四個關(guān)鍵:夯實基礎(chǔ)、激發(fā)興趣、著眼高考、適當提高.學(xué)生在復(fù)習(xí)備考時要有自己的想法,比如對于解三角形問題要能熟練求解三角形中的三種重要線段(角平分線、中線、高).要掌握課本之外的數(shù)學(xué)方法、知識,比如數(shù)學(xué)歸納法、反證法、同一法、合情推理、極限概念、極端化原理等.

(完)