四基為本與時俱進(jìn)，素養(yǎng)為魂穩(wěn)中求進(jìn)
——全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題評析

陳選明

(江西師范大學(xué)附屬中學(xué))

2022年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題,體現(xiàn)高考內(nèi)容改革的總體要求,符合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》理念,聚焦數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng),突出關(guān)鍵能力的考查,體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)的選拔功能和育人導(dǎo)向.試題突出數(shù)學(xué)本質(zhì),重視以理性思維能力為主的命題原則,發(fā)揮選拔人才的功能,絕對摒棄刷題就能得高分的理念,從而引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)要遵循教學(xué)規(guī)律,提高課堂的時效性,讓學(xué)生成為課堂的主人,杜絕學(xué)生“死讀書”和教師“教死書”的陳舊教學(xué)模式,培養(yǎng)創(chuàng)新性人才是中學(xué)教學(xué)的真正目標(biāo).

1 注重基礎(chǔ)知識，考查數(shù)學(xué)本質(zhì)

試題重視考查數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本方法,重點(diǎn)考查主干知識與核心概念,更加突出考查數(shù)學(xué)的學(xué)科本質(zhì),注重考查本源性方法.試題不是通過新情境、新背景、陌生的數(shù)學(xué)文化等來增加難度,而是單純地通過對數(shù)學(xué)主干知識的考查,讓學(xué)生對基本定義、基本方法、基本運(yùn)算達(dá)到靈活應(yīng)用的水平,也是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)要求學(xué)生必須要具備的基本能力.

和以往不同的是第20題概率統(tǒng)計試題第(2)問考查了條件概率的證明,學(xué)生必須非常熟悉條件概率公式才能順利證明.這一方面考查了學(xué)生的推理論證能力,另一方面也體現(xiàn)出要加強(qiáng)對概念的教學(xué),重視知識的生成過程.

2022年新高考Ⅰ卷第20題在考查獨(dú)立性檢驗的基礎(chǔ)上,又側(cè)重于條件概率的推導(dǎo),是一道理論聯(lián)系實際、讓學(xué)生認(rèn)識到概率統(tǒng)計的廣泛應(yīng)用的好題,難度不大,不以計算作為唯一考點(diǎn),客觀上服務(wù)了“雙減”政策實施,而且題目立意新穎,具有創(chuàng)新性,突出了關(guān)鍵能力和“數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理”核心素養(yǎng),對一線教師的教學(xué)有導(dǎo)向功能,也能夠有效區(qū)分,不為題海戰(zhàn)術(shù)開方便之門.這類題目以后在高考中會越來越多,因為這種新題可以反套路,反題海戰(zhàn)術(shù).

例1(2022 年新高考Ⅰ卷16)已知橢圓C:,C的上頂點(diǎn)為A,兩個焦點(diǎn)為F1,F2,離心率為.過F1且垂直于AF2的直線與C交于D,E兩點(diǎn),|DE|＝6,則△ADE的周長是_________.

解析方法1(定義法)因為橢圓的離心率為e＝,所以a＝2c,則b2＝a2－c2＝3c2,故橢圓的方程為,即3x2＋4y2－12c2＝0,不妨設(shè)左焦點(diǎn)為F1,右焦點(diǎn)為F2.

如圖1所示,因為|AF2|＝a,|OF2|＝c,a＝2c,所 以∠AF2O＝,所以△AF1F2為正三角形,因為過F1且垂直于AF2的直線與C交于D,E兩點(diǎn),所以DE為線段AF2的垂直平分線,所以直線DE的斜率為,則直線DE的方程為,代入橢圓方程3x2＋4y2－12c2＝0,得,則

圖1

因為DE為線段AF2的垂直平分線,根據(jù)對稱性可得AD＝DF2,AE＝EF2,所以△ADE的周長等于△F2DE的周長,利用橢圓的定義得△F2DE周長為

故△ADE的周長為13.

方法2(利用焦半徑公式)因為△AF1F2為等邊三角形,DE為線段EF1的中垂線,所以EA＝EF2,DA＝DF2,△ADE的周長等于△DF2E的周長,即4a,因為

2 創(chuàng)新問題情境，堅持素養(yǎng)導(dǎo)向

素養(yǎng)導(dǎo)向下的命題在試題的情境和設(shè)問上,適度變化,強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展,試題關(guān)注數(shù)學(xué)知識和方法的靈活應(yīng)用.實際問題情境關(guān)注學(xué)生的身邊事,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于生活且高于生活,以及數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的應(yīng)用價值.

2.1 數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)應(yīng)用齊飛

試題背景素材緊密聯(lián)系國家社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展、生產(chǎn)生活實際.如第4題以我國的重大建設(shè)成就“南水北調(diào)”工程為素材考查臺體的體積計算,但并沒有直接考查,而是將此知識融入實際生活情境中,考查學(xué)生的空間想象能力、數(shù)學(xué)閱讀理解能力、運(yùn)算求解能力,對數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也提出了相應(yīng)的要求,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會主義建設(shè)的偉大成果,增強(qiáng)社會責(zé)任感.第20題以地方疾病與衛(wèi)生習(xí)慣為背景,讓考生體驗從特殊到一般的數(shù)學(xué)問題探索過程,重點(diǎn)考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題的能力.

例2(2022年新高考Ⅰ卷4)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5 m 時,相應(yīng)水面的面積為140.0km2;水位為海拔157.5 m 時,相應(yīng)水面的面積為180.0km2,將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺,則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5 m 時,增加的水量約為2.65)( ).

解析依題意可知棱臺的高為h＝157.5－148.5＝9m.棱臺上底面積為S＝140.0km2＝1.4×108m2,下底面積為S′＝180.0km2＝1.8×108m2,所以

2.2 數(shù)學(xué)思想與核心素養(yǎng)并舉

為了實現(xiàn)對學(xué)生素養(yǎng)的考查,高考命題加強(qiáng)對數(shù)學(xué)思想方法的考查,今年的新高考Ⅰ卷體現(xiàn)得較為充分.蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合思想的試題:第3,6,11,12,14,15,16,21,22題;蘊(yùn)含轉(zhuǎn)化與化歸思想的試題:第10,17,18題;考查直觀想象素養(yǎng)的試題:第4,8,9,19題;考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的試題:第1,2,5,7,13,17,18,20題;考查邏輯推理素養(yǎng)的試題:第8,12,22題.命題從知識立意到能力立意,再到學(xué)科素養(yǎng)立意,都是以數(shù)學(xué)知識為載體,考查學(xué)生理性思維的廣度與深度,體現(xiàn)了“雙基”、數(shù)學(xué)思想的重要性.

例3(2022年新高考Ⅰ卷8)已知正四棱錐的側(cè)棱長為l,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36π,且則該正四棱錐體積的取值范圍是( ).

解析方法1因為球的體積為36π,所以球的半徑R＝3,設(shè)正四棱錐的底面邊長為2a,高為h,則l2＝2a2＋h2,32＝2a2＋(h－3)2,所以6h＝l2,2a2＝l2－h(huán)2,所以正四棱錐的體積為

方法2設(shè)正四棱錐的高與側(cè)棱夾角為θ,高為h,底面中心到各頂點(diǎn)的距離為m,則

3 突出理性思維，彰顯選拔功能

高考試題強(qiáng)調(diào)對能力的考查,今年的試題更加強(qiáng)化對數(shù)學(xué)運(yùn)算、推理論證以及抽象概括能力的考查,整份試題對學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力要求較高.

例4(2022年新高考Ⅰ卷7)設(shè)a＝0.1e0.1,b＝,c＝－ln0.9,則( ).

解析方法1(利用放縮工具快速求解)

放縮工具:

2)ex≥x＋1,當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時等號成立;

由1)可知

綜上,c＜a＜b,故選C.

方法2(利用放縮工具+構(gòu)造函數(shù))

放縮工具:

綜上,c＜a＜b,故選C.

方法3(同構(gòu)法)

要比較a,b的大小,根據(jù)作商比較法只需比較(1－0.1)e0.1與1的大小,構(gòu)造函數(shù)h(x)＝(1－x)ex(0≤x≤1),則h′(x)＝－xex,易知h(x)在[0,1)上單調(diào)遞減,所以h(0.1)＜h(0)＝1,即a＜b.

要比較a,c的大小,同方法2可知c＜a.

綜上,c＜a＜b,故選C.

4 加強(qiáng)教考銜接，發(fā)揮引導(dǎo)作用

“立意新穎,不為題海戰(zhàn)術(shù)開方便之門;界定明確,對一線教師的教學(xué)有導(dǎo)向功能;有效區(qū)分,讓不同水平的學(xué)生高低立顯.”這是對2022全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)的總體感知.旨在引導(dǎo)我們認(rèn)識到,教師的“教”要遵循教學(xué)規(guī)律,學(xué)生的“學(xué)”更多的是要將知識和方法內(nèi)化成自身的知識結(jié)構(gòu),低效的學(xué)習(xí)方式只會徒增師生的壓力和負(fù)擔(dān).知識的獲取與素養(yǎng)的形成都要遵循基本規(guī)律,才能創(chuàng)新,打牢知識功底.

例5(2022年新高考Ⅰ卷22)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－lnx有相同的最小值.

(1)求a;

(2)證明:存在直線y＝b,其與兩條曲線y＝f(x)和y＝g(x)共有三個不同的交點(diǎn),并且從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

解析(1)a＝1(求解過程略).

(2)方法1由(1)可得f(x)＝ex－x和g(x)＝x－lnx的最小值均為1.

當(dāng)b＞1時,分別考慮ex－x＝b和x－lnx＝b的解的個數(shù).

設(shè)S(x)＝ex－x－b,S′(x)＝ex－1,當(dāng)x＜0時,S′(x)＜0,當(dāng)x＞0 時,S′(x)＞0,故S(x)在(－∞,0)上為減函數(shù),在(0,＋∞)上為增函數(shù),所以Smin(x)＝S(0)＝1－b＜0.而S(－b)＝e－b＞0,S(b)＝eb－2b,設(shè)u(b)＝eb－2b,其中b＞1,則u′(b)＝eb－2＞0,故u(b)在(1,＋∞)上為增函數(shù),所以u(b)＞u(1)＝e－2＞0,故S(b)＞0,所以S(x)＝ex－x－b有兩個不同的零點(diǎn),即ex－x＝b的解的個數(shù)為2.

設(shè)T(x)＝x－lnx－b,則

當(dāng)0＜x＜1時,T′(x)＜0,當(dāng)x＞1時,T′(x)＞0,故T(x)在(0,1)上為減函數(shù),在(1,＋∞)上為增函數(shù),所以Tmin(x)＝T(1)＝1－b＜0.而T(e－b)＝e－b＞0,T(eb)＝eb－2b＞0,T(x)＝x－lnx－b有兩個不同的零點(diǎn),即x－lnx＝b的解的個數(shù)為2.

當(dāng)b＝1,由(1)可得x－lnx＝b,ex－x＝b均有一個零點(diǎn).

當(dāng)b＜1時,由(1)可得x－lnx＝b,ex－x＝b均無零點(diǎn),故若存在直線y＝b與曲線y＝f(x),y＝g(x)有三個不同的交點(diǎn),則b＞1.

設(shè)h(x)＝ex＋lnx－2x,其中x＞0,故h′(x)＝

設(shè)s(x)＝ex－x－1,x＞0,則s′(x)＝ex－1＞0,故s(x)在(0,＋∞)上為增函數(shù),故s(x)＞s(0)＝0,即ex＞x＋1,所以,所以h(x)在(0,＋∞)上為增函數(shù),而h(1)＝e－2＞0,,故h(x)在(0,＋∞)上有且只有一個零點(diǎn)x0,且

當(dāng)0＜x＜x0時,h(x)＜0,則ex－x＜x－lnx,即f(x)＜g(x).

當(dāng)x＞x0時,h(x)＞0,則ex－x＞x－lnx,即f(x)＞g(x),因此若存在直線y＝b與曲線y＝f(x),y＝g(x)有三個不同的交點(diǎn),故b＝f(x0)＝g(x0)＞1,此時ex－x＝b有兩個不同的零點(diǎn)x1,x0(x1＜0＜x0),x－lnx＝b有兩個不同的零點(diǎn)x0,x4(0＜x0＜1＜x4),故ex1－x1＝b,ex0－x0＝b,x4－lnx4－b＝0,x0－lnx0－b＝0,所以x4－b＝lnx4,即ex4－b＝x4,即ex4－b－(x4－b)－b＝0,故x4－b為方程ex－x＝b的解,同理x0－b也為方程ex－x＝b的解.

又ex1－x1＝b可化為ex1＝x1＋b,即x1－ln(x1＋b)＝0,即(x1＋b)－ln(x1＋b)－b＝0,故x1＋b為方程x－lnx＝b的解,同理x0＋b也為方程x－lnx＝b的解,所以{x1,x0}＝{x0－b,x4－b}.而即x1＋x4＝2x0,x1,x0,x2成等差數(shù)列.

方法2設(shè)F(x)＝f(x)－g(x)＝ex－2x＋lnx,有

則F(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,且F(1)＝e－2＞0,,所以F(x)在上有唯一的零點(diǎn)x0,使得F(x0)＝0,即f(x)與g(x)有唯一交點(diǎn)P(x0,y0).當(dāng)y＝b經(jīng)過點(diǎn)P時,y＝b與f(x),g(x)的三個交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為x1,x0,x2(x1＜0＜x0＜1＜x2),在y＝f(x)上有ex1－x1＝ex0－x0＝b,即f(x1)＝f(x0),在y＝g(x)上有

則elnx0－lnx0＝elnx2－lnx2＝b,即f(lnx0)＝f(lnx2)＝b,故必定有x1＝lnx0,x0＝lnx2?x2＝ex0,且f(x0)＝g(x0),即ex0－x0＝x0－lnx0,則x1＋x2＝2x0,即x1,x0,x2成等差數(shù)列.

本題第(1)問是大部分學(xué)生能夠得到分?jǐn)?shù)的.時間來不及的學(xué)生,也可以通過猜想和驗證,得到一點(diǎn)分?jǐn)?shù).但第(1)問,要拿滿分,需要分類討論.第(2)問,則需要嚴(yán)謹(jǐn)證明.在全卷多題把關(guān)的情況下,第22題取得滿分,實屬鳳毛麟角了.本題要求學(xué)生在面對綜合性較強(qiáng)且情境較為復(fù)雜、新穎的問題時,要具有探究能力與創(chuàng)新精神.本題中考查了分類討論、函數(shù)與方程的思想,體現(xiàn)了一般與特殊的轉(zhuǎn)化思想.

2022年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題從高考數(shù)學(xué)評價體系出發(fā),秉承重基礎(chǔ)、重本質(zhì),貼近中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一貫命題思路.試題背景熟悉,梯度設(shè)置合理,符合在新高考背景下一線師生的預(yù)期.試題簡約而不簡單,深刻而不深奧.試題大氣、大道,題干簡潔明了,同時還充分吸取了前兩年新高考試卷在數(shù)學(xué)命題上的經(jīng)驗,實現(xiàn)了穩(wěn)中有變,變中有新.試題取材源于教材、生活,考查的終極目標(biāo)服務(wù)于學(xué)生未來的可持續(xù)發(fā)展,能力立意,素養(yǎng)導(dǎo)航,對推進(jìn)新高考改革、引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有著積極的作用,打造了數(shù)學(xué)高考試題新形態(tài).

(完)