APOS 理論下幾何畫(huà)板與三角函數(shù)圖象變換整合教學(xué)的實(shí)踐研究

廣東省廣州市從化區(qū)第二中學(xué)(510900) 葉潤(rùn)娟

1 APOS 理論下幾何畫(huà)板與三角函數(shù)圖象變換整合教學(xué)研究的現(xiàn)實(shí)背景及意義

1.1 學(xué)科知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的需要

三角函數(shù)圖象變換是學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的概念及其性質(zhì)后的應(yīng)用知識(shí),根據(jù)APOS 理論中的(Scheme)階段,此時(shí)的三角函數(shù)概念以一種綜合的心理圖式存在于腦海里, 在函數(shù)知識(shí)體系中占有特殊的地位, 由三角函數(shù)圖象到函數(shù)y=Asin(ωx+?)圖象的學(xué)習(xí),是對(duì)三角函數(shù)概念學(xué)習(xí)中與其他概念學(xué)習(xí)的區(qū)別與聯(lián)系的學(xué)習(xí)階段,對(duì)函數(shù)概念模塊的教學(xué)有實(shí)際的指導(dǎo)意義.

1.2 高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)使本實(shí)踐研究成為必然

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版,2020 年修訂)》指出,結(jié)合具體實(shí)例,了解y=Asin(ωx+?)的實(shí)際意義;能借助圖象理解參數(shù)ω,?,A的意義,了解參數(shù)的變化對(duì)函數(shù)圖象的影響. 課標(biāo)對(duì)此教學(xué)內(nèi)容是“掌握”“了解”的要求,同時(shí)為后續(xù)“五點(diǎn)”作圖打好基礎(chǔ),此教學(xué)內(nèi)容是三角函數(shù)模塊中的重要內(nèi)容之一.

1.3 幾何畫(huà)板與三角函數(shù)圖象變換整合有利于培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

幾何畫(huà)板直觀動(dòng)態(tài)展示圖象的變化過(guò)程, 為學(xué)生創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情景, 并在熟悉的數(shù)學(xué)情景中, 借助圖形的性質(zhì)和變換(平移、伸縮) 發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律, 解決參數(shù)ω,?,A對(duì)函數(shù)y=Asin(ωx+?)的圖象影響,以及使學(xué)生更容易地掌握三角函數(shù)圖象“先平移后伸縮(周期)”和“先伸縮(周期)后平移”得到圖象問(wèn)題,從而培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中,學(xué)生直觀想象能力不夠強(qiáng),對(duì)三角函數(shù)圖象“先平移后伸縮(周期)”和“先伸縮(周期)后平移”得到圖象問(wèn)題感到困惑,下面以兩個(gè)例子說(shuō)明:

本題是選自人民教育出版社《普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)第一冊(cè)》第239 頁(yè)練習(xí)的第二題的(2)問(wèn). 按教材的學(xué)習(xí),絕大多數(shù)學(xué)生能選出正確的選項(xiàng)B,但也有小部分的同學(xué)出現(xiàn)錯(cuò)誤的選項(xiàng),其中集中在選項(xiàng)A,課后經(jīng)過(guò)跟學(xué)生面談發(fā)現(xiàn)這部分學(xué)生是不能理解參數(shù)ω對(duì)函數(shù)y=Asin(ωx+?)的圖象影響,認(rèn)為本節(jié)內(nèi)容比較抽象,難以理解并掌握有關(guān)的結(jié)論,并對(duì)此學(xué)習(xí)內(nèi)容產(chǎn)生畏懼的心理.

本題選自2011 年高考全國(guó)理科數(shù)學(xué)Ⅰ卷第6 題,考查三角函數(shù)的圖象變換. 絕大多數(shù)學(xué)生都能選出正確的選項(xiàng),但是其中大部分學(xué)生并不能理解為什么ω需要取到最小值,而不是唯一確切的值,也就是對(duì)于此類綜合性較強(qiáng)的三角函數(shù)圖象變換問(wèn)題,存在不少的數(shù)學(xué)優(yōu)等生也未能完全掌握理解三角函數(shù)的圖象參數(shù)ω,?,A的意義,作圖和讀圖的能力較弱,不能從圖象的角度分析解決圖象變換問(wèn)題,簡(jiǎn)單地從記憶中的結(jié)論解決問(wèn)題,這是不符合課標(biāo)育人的要求.

3 教學(xué)實(shí)踐研究的設(shè)計(jì)、實(shí)施、總結(jié)、反思

3.1 所選內(nèi)容

人民教育出版社《普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)第一冊(cè)》第五章5.6.2 函數(shù)y=Asin(ωx+?)的圖象第一課時(shí).

3.2 方法

選取高一7,8 班兩個(gè)普通班,且7 班為實(shí)驗(yàn)班,8 班為對(duì)照班.

3.3 實(shí)施

(1)高一7 班作為實(shí)驗(yàn)班,使用幾何畫(huà)板進(jìn)行教學(xué),并使用導(dǎo)學(xué)案教學(xué)和小組合作學(xué)習(xí)的教學(xué)管理方式. 目的是通過(guò)幾何畫(huà)板創(chuàng)設(shè)問(wèn)題的情景,直觀動(dòng)態(tài)地展示參數(shù)ω,?,A對(duì)函數(shù)y=Asin(ωx+?)的圖象影響,從而達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo),增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的興趣,培養(yǎng)學(xué)生觀察圖象的,分析圖象,總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律.

(2)高一8 班作為對(duì)照班,請(qǐng)按書(shū)本教學(xué)設(shè)置過(guò)程教學(xué).

(3)通過(guò)課堂練習(xí)和課后作業(yè),對(duì)學(xué)生答題情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì).

(4)課題組成員集體研討,在實(shí)驗(yàn)班教學(xué)過(guò)程中的優(yōu)點(diǎn)與不足之處,從而得出結(jié)論.

有關(guān)教學(xué)探究片段描述如下:

探究一參數(shù)?對(duì)函數(shù)y= sin(x+?)的圖象影響,體會(huì)平移變換

如圖1,圖2 所示,通過(guò)改變?的大小,讓學(xué)生觀察圖象位置關(guān)系變化,若?= 2 弧度時(shí),y= sin(x+2)的圖象是函數(shù)y= sinx的圖象向左平移2 個(gè)單位得到的;若?=-2 弧度時(shí),y= sin(x-2)的圖象是函數(shù)y= sinx的圖象向右平移2 個(gè)單位得到的. 接著動(dòng)態(tài)展示y=sin(x+?)的圖象,改變?的大小,由特殊到一般,并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納出?對(duì)函數(shù)y=sin(x+?)的圖象影響;類似地,按圖3 至圖6 讓學(xué)生總結(jié)出另外兩個(gè)參數(shù)ω,A對(duì)圖象的影響,得出y= sinx圖象通過(guò)平移伸縮得到函數(shù)y=Asin(ωx+?)的圖象. 這樣通過(guò)幾何畫(huà)板創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景,使學(xué)生對(duì)三角函數(shù)圖象變換的知識(shí)形成過(guò)程有著深刻的體會(huì),掌握三角函數(shù)平移和伸縮變換的規(guī)律.

圖1

圖2

圖3

圖6

探究二參數(shù)ω對(duì)函數(shù)y=sin(ωx+?)的圖象影響,體會(huì)伸縮(周期)變換

探究三參數(shù)A對(duì)函數(shù)y=Asin(ωx+?)的圖象影響,體會(huì)振幅變換

圖5

探究四參數(shù)k對(duì)函數(shù)y=Asin(ωx+?)+k圖象的影響. 同樣根據(jù)以上教學(xué)過(guò)程探究,拖動(dòng)k所在線段,可以觀測(cè)到其圖象的動(dòng)態(tài)變化圖象,得到平移的“上加下減”.

探究五難點(diǎn)突破. 采用“試誤法”,區(qū)分“先平移后伸縮(周期)”與“先伸縮(周期)后平移”圖象的差別. 具體如下:

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)“幾何畫(huà)板”與課堂教學(xué)整合的課堂, 讓學(xué)生直觀想象中分析總結(jié),掌握三角函數(shù)圖象變換的平移、伸縮變化的規(guī)律, 能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)討論數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣, 符合APOS理論兩個(gè)階段A-Action(操作活動(dòng)階段)和P-Process(過(guò)程階段),即在活動(dòng)階段通過(guò)幾何畫(huà)板生成動(dòng)態(tài)圖象感知直觀背景,在過(guò)程階段使用幾何畫(huà)板作為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)改變約束條件使學(xué)生獲得三角函數(shù)圖象變換規(guī)律特征,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,讓學(xué)生了解到數(shù)學(xué)也可以通過(guò)做實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證結(jié)論,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 故上述教學(xué)實(shí)踐研究,均能達(dá)到預(yù)設(shè)目的,改善教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).