因式分解在高中數學中的應用
——從2021 年全國乙卷壓軸題談起

江蘇省常州市第五中學(213000) 畢文聯

安徽省黃山市屯溪第一中學(245000) 吳雪縈

2021 年高考已經落下帷幕, 在對全國各類高考題研究時,今年全國乙卷文科的導數壓軸題的解法引起了筆者思考.其實這道題的整體難度并不高,很多學生在平時模擬題中做過類似的題,但是在標準解答中運用的因式分解這部分的知識難倒了很多考生.

因式分解是初中數學非常重要的知識點,通過因式分解可以將復雜計算簡單化,提高學生的解題效率和正確率. 事實上因式分解在各地中考中所占的比例并不大并沒有引起老師和學生足夠的重視,高中階段雖然沒有將因式分解單獨講授,但其在高中數學解題過程中卻屢屢出現. 筆者將從全國乙卷這道壓軸題出發(fā),探索因式分解在高中數學中的應用.

1 試題及解答

題目(2021 年全國乙卷文科第21 題節(jié)選) 已知函數f(x)=x3-x2+ax+1. 求曲線y=f(x)過坐標原點的切線與曲線y=f(x)的公共點的坐標.

2 困難與解惑

從上述給出的標準解答中我們不難發(fā)現反復應用了因式分解去處理解題過程遇到的一元三次方程. 對于此題入手其實并不困難,絕大多數學生都有較為清晰的解題思路,但是在求出第一個一元三次方程后就束手無策了. 很多學生在看到標準答案后更是困惑,高中課本并沒有教授求解一元三次方程的方法,何以想到這樣因式分解呢?

事實上,在高中階段我們所遇到的兩次以上方程大多數都是以一些比較常見的數作為方程的解. 因此對于上題中的兩個三次方程可以這么去求解(以方程2t3-t2-1 = 0為例) : 首先通過代入一些常見的數不難發(fā)現t= 1 滿足方程, 于是原方程可以分解為(t-1)(mt2+nt+q) = 0,其中m,n,q均為常數; 然后展開通過待定系數法可以確定m=2,n=1,q=1.

3 思考與應用

因式分解主要有兩個作用: 一是方便約分化簡;二是可以判斷多項式的正負符號. 作用一是從初中開始我們所一直在用的,作用二的應用從進入高一起一直持續(xù)到高三. 從集合到函數單調性的判斷,從指數運算到基本不等式,從三角函數到數列,從解析幾何中計算的簡化到高中數學中最難的導數部分,因式分解都有著舉足輕重的地位.

既然因式分解在高中數學中有如此基礎和核心的地位,下面我們就一起領略因式分解在高中數學中的應用.

例1 (2020 年全國Ⅰ卷改編) 已知集合A={x|x2-3x-4=0},B={-1,3,4,5},求A ∩B=( ).

解由不等式x2-3x-4=0,有(x-4)(x+1)=0,進一步x1=-1,x2=4,所以A={-1,4},A ∩B={-1,4}.

集合是進入高中后首先學習的內容,也是每年高考必考的基礎性知識,題目設置并不難主要涉及求解結合中的元素,而常見的主要是求解方程以及不等式,這就會不可避免的需要用到因式分解.

例2 (蘇教版必修第一冊習題5.3) 證明函數f(x) =-x3+1 在區(qū)間(-∞,0]上是減函數.

解設x1＜x2≤0,則

解由題意得

本題考察了三角函數公式的應用,首先利用二倍角公式和平方關系配方化簡,這其中便應用了因式分解. 三角函數運算中有很多乘除法和加減法轉換的題目,結合三角函數自身具有的公式就有了一套因式分解的方法,熟練應用因式分解可以降低求解三角函數題目的計算量,進而提高解題效率和正確率.

例6 (2015 年全國Ⅰ卷理科節(jié)選)Sn為數列{an}的前n項和,已知a2n+2an=4Sn+3,an ＞0,求{an}的通項公式.

解由a2n+ 2an= 4Sn+ 3, 可知a2n+1+ 2an+1=4Sn+1+3,兩式相減得a2n+1-a2n+2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an) =a2n+1-a2n= (an+1+an)(an+1-an).因為an ＞0,所以an+1-an=2,又a21+2a1=4a1+3,故a1=-1(舍)或a1=3,則{an}是首項為3,公差d=2 的等差數列. 因此{an}的通項公式an=3+2(n-1)=2n+1.

本題主要考察根據數列的遞推公式求通項公式,題目難度并不大在高考數學中也是基礎題,通過作差法即可求出答案. 教材中主要向學生講授的等差數列與等比數列相關知識,但是學生在解題時常會遇到變形后的數列(如上題),由于看不出數列所具有的特性而束手無策. 而這些題目常常會涉及到因式分解,許多題目只有通過因式分解化簡以后才能看出等差數列或者等比數列,熟練掌握因式分解將會助力學生解決此類問題.

例7 (2021 江蘇南京高三二模節(jié)選) 在平面直角坐標系xoy內,已知拋物線y=x2的焦點為F,P為平面直角坐

本題的難度較高,解題的關鍵在于能否運用因式分解的方法進行計算. 大多數同學都具有由垂直關系列出等式的意識,但在求解方程時就障礙重重,甚至自我懷疑是不是解題角度出錯了. 在每年各地的高考中解析幾何是必考內容之一,也是高中最難的知識點之一,其中的計算量更是讓很多同學折戟沉沙. 在解析幾何復雜且大量的計算中,因式分解是基本解題技巧,合理的使用因式分解往往可以“撥開迷霧乾坤有,又見花香鳥語傳”.

本題考查了導數和函數單調性的關系以及分類討論的思想,考查了運算能力和化歸能力. 筆者通過調查發(fā)現,學生存在的主要問題是沒有因式分解的思維,進而無法進行分類討論.導數對于研究函數的作用是毋庸置疑的,在求導后如何判斷導函數的正負符號是關鍵,因式分解恰恰判斷正負符號的一把“鑰匙”.

思考: 高中數學中大部分知識都由初中基礎發(fā)展而來,在內容上更多、更深、更廣、更抽象[1]. 通過上述應用我們不難發(fā)現因式分解是串起整個高中數學的重要線索,但是在高中數學課本中卻沒有哪一個章節(jié)專門介紹因式分解的做法.筆者認為這就是一種能力的缺失,同時也是初中和高中知識點的一個脫節(jié),這恰恰可能是許多學生進入高中后跟不上的原因之一. 我們作為教育工作者要在時常的教學過程中注意初高中知識點的銜接, 不能僅僅將知識講授停留在教材上,更應當立足教材著眼于解決學生各個階段知識體系銜接的問題.

總之,因式分解是高中數學中知識體系中重要的一部分,做好初、高中知識銜接教學是高中教學的重要環(huán)節(jié),其最終目的是讓學生形成自己的有效知識網絡[2]. 學生只有形成有效的知識網絡,才能在學習和解題上事半功倍.