反比例函數(shù)與三等分角的命題思路與推廣

廣東省佛山市三水區(qū)西南街道健力寶中學(xué)(528100) 盧健勛

命制題目是一個數(shù)學(xué)教師的基本教學(xué)技能和必備的專業(yè)能力. 數(shù)學(xué)教師加強(qiáng)數(shù)學(xué)命題的研究,有助提升對數(shù)學(xué)課程的理解能力、教學(xué)過程中對習(xí)題的把控能力. 以教材的例題、習(xí)題為母題進(jìn)行命題改編,是各類各級考試命題的重要方法. 筆者以教材中的一則閱讀材料為藍(lán)本,通過對該閱讀材料進(jìn)行特殊化改造的方式來探究數(shù)學(xué)命題過程中的思路與拓展推廣.

1 命題過程

1.1 試題在教材中的原型

筆者選取了北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊(2014 年6 月版)中,P156 閱讀材料“反比例函數(shù)圖象與三等分角”為藍(lán)本,原材料如下:

我們知道,利用尺規(guī)可以平分任意一個角,從而可以把一個角四等分、八等分……那么,能否用尺規(guī)三等分一個任意角呢? 公元前5 世紀(jì), 古希臘的學(xué)者們就提出了這個問題. 為了解決這個問題,數(shù)學(xué)家們花費了大量的時間和精力.直到1837 年,數(shù)學(xué)家才證明了”三等分任意角”是不能用尺規(guī)完成的. 在研究這個問題的過程中, 希臘數(shù)學(xué)家帕普斯(Pappus,約300-350)給出了一種方法,這種方法用今天的方式表示如下圖所示. 你可以按以下步驟嘗試做一做:

(1)建立平面直角坐標(biāo)系,將已知銳角∠AOB的頂點與原點O重合,角的一邊OB與x軸正方向重合.

1.2 命題的靈感和思路

以上閱讀材料,只給出了“利用反比例函數(shù)三等分角”的操作方法,但并未給出證明過程. 教材的原意應(yīng)該是希望學(xué)生能在課余時間對問題進(jìn)行探究并加以證明. 因此,證明過程的書寫是命題過程中必須要涉及的一個考查點. 在此基礎(chǔ)上,如何讓數(shù)形結(jié)合的思想方法滲透到學(xué)生利用反比例函數(shù)、一次函數(shù)的知識、等腰三角形、矩形的性質(zhì)等相關(guān)知識對題目進(jìn)行證明的過程中,也是筆者在命制試題時需要思考的問題.

1.3 命題的過程

1.3.1第一稿

命題剖析: 本題在教材閱讀材料的基礎(chǔ)上,通過設(shè)計兩個小問,分兩步把利用反比例函數(shù)三等分角的證明過程進(jìn)行引導(dǎo),有利于降低證明的難度. 雖然學(xué)生在解題過程中要運用反比例函數(shù)、矩形等性質(zhì),但考慮到試題題干設(shè)計主要是對作圖過程的敘述,因此問題設(shè)計梯度不明顯,這對基礎(chǔ)較差的學(xué)生不友好,不能較好地考察不同學(xué)生的思維深度,區(qū)分度不足,所以有了第二稿.

圖1

1.3.2第二稿

如圖2, 反比例函數(shù)圖象的一支經(jīng)過點A(1,1)、

圖2

表1 ∠AOM、點A 的坐標(biāo)、點C 的坐標(biāo)三者之間的部分對應(yīng)關(guān)系表

上表選取了部分特殊角或特殊坐標(biāo)進(jìn)行展示. 由上表可以看出,∠AOM是特殊角、點A、C的坐標(biāo)都是特殊值這三個條件想要同時滿足是很難的. 一方面是因為想要找出同時滿足上述三個條件的對應(yīng)關(guān)系難度比較高,第二方面是由于幾何畫板這個軟件對角的度量和對點的坐標(biāo)的表示均以保留2 位小數(shù)的近似值的形式給出,導(dǎo)致點的坐標(biāo)中如果出現(xiàn)無理數(shù),則這個點可能因保留2 位小數(shù)而被遺漏而不被發(fā)現(xiàn).因此,筆者先從滿足其中兩個條件的對應(yīng)關(guān)系入手研究.

圖3

1.4 解題過程

2 命題的拓展與推廣

結(jié)合筆者在命制本題過程中的思考,筆者認(rèn)為本題可以向以下三個方向進(jìn)行拓展與推廣:

(1)∠AOM的度數(shù)、點A的坐標(biāo)、點C的坐標(biāo)三者之間

3 試題評析

本題屬于幾何知識和函數(shù)知識綜合運用題,需運用一次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識、等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等相關(guān)知識對題目進(jìn)行求解和證明, 其題目設(shè)計也具有梯度,適合考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力,能有效地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、直觀想像等核心素養(yǎng).

4 命題過程的思考

作為一線教師,我們應(yīng)當(dāng)注重研究教材. 研究教材,以教材中出現(xiàn)的例題和習(xí)題為藍(lán)本進(jìn)行二次開發(fā),通過對條件進(jìn)行弱化或強(qiáng)化進(jìn)行有目的的改造,使之成為一類問題,讓學(xué)生對這類問題產(chǎn)生一種“既熟悉又不同”的感覺. 這樣做既能使學(xué)生遷移教材中解決問題的基本思想方法,又能引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注教材、重視教材、使用教材、研究教材. 另一方面,對教師來說,以教材中出現(xiàn)的例題和習(xí)題為藍(lán)本命制題目,需要教師在教學(xué)過程中加深對課堂內(nèi)學(xué)生以教材為立足點生成知識過程的理解,進(jìn)一步關(guān)注學(xué)生的思維深度,深入挖掘教材內(nèi)涵,加強(qiáng)教材習(xí)題變式改編實踐,提升此類題目的命題質(zhì)量,使之成為提升學(xué)生核心素養(yǎng)的利器.

最后,在命題完成后,我們可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和考試難度對題目進(jìn)行適當(dāng)向不同方向進(jìn)行拓展或延伸. 這樣既能引導(dǎo)學(xué)生立足教材,強(qiáng)化基本素材積累、基本知識掌握、基本能力培養(yǎng)的落實,又可以考查學(xué)生不同方面的能力. 對教師來說,對命題進(jìn)行適度拓展或延伸,其過程既體現(xiàn)了教師本人進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)的過程, 也體現(xiàn)了命題思路從特殊到一般,由封閉到開放的過程,在這一過程之中教師對教材的把控能力和命制題目的能力也得到了提升.