幾何畫板在初中動態(tài)幾何教學中的應用研究
——以“平行線的性質(zhì)”為例

廣東省深圳市人大附中深圳學校(518119) 吳羅麗 黃敏祺

1 初中幾何學習存在的問題

初中幾何學習存在如下問題: 一是概念、公式、性質(zhì)、定理多,邏輯推理難度大;二是學生只能就題解題,無法提煉本質(zhì)規(guī)律,無法建構(gòu)圖式結(jié)構(gòu);三是圖形結(jié)構(gòu)復雜,學生無法抽象基本模型,找不到關(guān)鍵要素,理不清推理思路;四是圖形結(jié)構(gòu)過于簡單,學生無法鏈接基本模型,不知從何下手;五是不知如何做輔助線進行圖形分解. 第一個問題的成因是知識網(wǎng)絡(luò)未建構(gòu),建議讓學生經(jīng)歷概念、公式、性質(zhì)、定理的探究過程,理清知識的來龍去脈. 后四個問題的成因是幾何圖形結(jié)構(gòu)的碎片化,建議借助幾何畫板,強化圖形的生成和生長過程,動態(tài)呈現(xiàn)圖形的演變,建立圖形間的內(nèi)在聯(lián)系,使抽象的幾何圖形化繁為簡,使學生感悟解題要道,實現(xiàn)“以一敵百”.

下面筆者以“平行線的性質(zhì)”為例,探索幾何畫板在初中動態(tài)幾何教學中的應用. 嘗試探索如何借助幾何畫板驗證初中現(xiàn)階段學生無法證明的性質(zhì),探索如何借助幾何畫板凸顯圖形的動態(tài)演變過程,建立基本圖形與復雜圖形間的內(nèi)在聯(lián)系,強化圖形的動態(tài)生成過程,幫助學生構(gòu)建圖形結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò),實現(xiàn)深度學習,最終達到華羅庚先生的“把書讀薄”之境界[1].

2 平行線的性質(zhì)的教學想法

平行線的性質(zhì)教學難點在于讓學生經(jīng)歷平行線的性質(zhì)的探究過程,理解并歸納出平行線的性質(zhì)和“井字模型”的梯度式練習. 平行線的性質(zhì)與判定的區(qū)別及綜合練習放到第二課時進行解決. 為突破這兩個教學難點,首先我們應該將講課的重點放在揭示平行線的性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程及其驗證過程上[2]. 具體做法是借助幾何畫板實現(xiàn)從一般三線八角模型到特殊三線八角模型,再從特殊截線到一般化截線,驗證平行線的性質(zhì). 其次借助幾何畫板呈現(xiàn)“井字模型”的動態(tài)變化過程,學生才能感悟基本圖形與復雜圖形間的內(nèi)在聯(lián)系.

2.1 創(chuàng)設(shè)平行線的性質(zhì)引入的問題情境

問題一如圖1,“三線八角”模型中有哪八角? 不同角之間有何關(guān)系?

圖1

教師運用幾何畫板帶領(lǐng)學生復習舊知,并通過分解同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角功能[3]動態(tài)呈現(xiàn)三種角的位置關(guān)系(如圖2),理清不同角之間的關(guān)系,為“特殊三線八角”模型的建構(gòu)奠基.

圖2

問題二如圖3,當直線CD位置發(fā)生變化時,同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角有何變化? 有何不變?

圖3

通過幾何畫板“線段—追蹤”功能, 呈現(xiàn)CD直線位置的動態(tài)變化,引導學生觀察同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的變化過程,并從變化中發(fā)現(xiàn)不變——三種角的位置不變. 深化學生對“三線八角”模型的理解.

問題三當直線CD運動到圖4 位置時,同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角有何特殊關(guān)系? 你用什么方法驗證猜想?

圖4

當直線CD運動到與直線AB平行時,構(gòu)成“特殊三線八角”模型, 此時三種角具有特殊的數(shù)量關(guān)系. 這一探究過程,讓學生通過視覺直觀經(jīng)歷邊、角及邊角關(guān)系由一般到特殊的變化過程. 讓學生感悟兩直線平行是“三線八角”中“兩線”的特殊情況,而不是新模型.

學生通過直觀觀察,容易猜想兩直線平行時,同位角相等,內(nèi)錯角相等,同旁內(nèi)角互補. 如何驗證猜想呢? 學生可能會想到用量角器進行測量[4]或?qū)⒔羌粝逻M行比較大小,即測量法和重疊法.

問題四任意畫一條截線,猜想仍成立嗎? 如何驗證?

若僅從上述探究過程馬上得出平行線的性質(zhì),這是一種不完全歸納法. 僅從一個特例就得出結(jié)論,也不符合數(shù)學的嚴謹性和科學性. 此外學生容易陷入思維定勢,認為只有出現(xiàn)和上述一樣的截線,才能得出相同的結(jié)論. 通過問題四,就能很好的消除學生的認知障礙和思維定勢.

教師可通過幾何畫板改變點F在圓中的位置實現(xiàn)截線一般化,如圖5. 從而也實現(xiàn)了兩直線平行時同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角的一般化. 學生通過仔細觀察三種角的數(shù)量關(guān)系,可得出平行線的性質(zhì). 教師還可通過移動點P,運用平移的方法實現(xiàn)同位角的重疊,得出結(jié)論. 從而培養(yǎng)學生從多種角度進行數(shù)據(jù)分析的能力.

圖5

在這個過程之中, 學生經(jīng)歷了“猜想—驗證—質(zhì)疑—反思—超越”、從特殊到一般的探究過程,直觀體驗了特殊邊角所具有的特殊數(shù)量關(guān)系,通過幾何畫板感受完全歸納法在性質(zhì)定理中的運用.

2.2 呈現(xiàn)“井字模型”的動態(tài)生成及生長過程

格式塔理論認為,對事物的把握和學習過程中問題解決的基本點,在于將情境看作一個有組織的整體.“整體”并不是指“所有元素”,而是哪些在結(jié)構(gòu)上有著本質(zhì)聯(lián)系的細節(jié)[5].皮亞杰則認為要將重點放在結(jié)構(gòu)的構(gòu)建上:“整體只是系統(tǒng)的組成規(guī)律的結(jié)果,首要的事情是使整體得以形成的邏輯程序或者自然過程,而不是整體本身或者元素”[6]. 二者的有機結(jié)合才能使得學生獲得長足發(fā)展. 運用幾何畫板動態(tài)呈現(xiàn)“井字模型”的生成和生長過程, 既能使學生在結(jié)構(gòu)上把握“井字模型”間的本質(zhì)聯(lián)系,構(gòu)建幾何圖形認知結(jié)構(gòu)和圖式結(jié)構(gòu); 又能讓學生親身經(jīng)歷“井字模型”的自然生成和生長過程.

問題五若在圖4 的基礎(chǔ)上增加一條截線GH,如圖6所示. 探究: 隨著截線GH位置發(fā)生變化,你能找到哪些邊的關(guān)系? 角的關(guān)系? 有哪些變化或不變?

圖6

增加截線GH,使特殊的“三線八角”模型轉(zhuǎn)化為一般的“井字模型”,特殊“井字模型”,從而出現(xiàn)邊、角的特殊關(guān)系.運用幾何畫板的“線段—追蹤”功能實現(xiàn)特殊“井字模型”的動態(tài)演變,讓學生經(jīng)歷特殊到一般再到特殊的變化過程,培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化與化歸、特殊到一般、一般到特殊的數(shù)學素養(yǎng).

問題六若在圖6 中再增加一條平行線JK,如圖7 所示.探究: 隨著“井字模型”的生長,你能找到哪些邊的關(guān)系? 角的關(guān)系?

圖7

運用幾何畫板的“顯示與隱藏”功能,演示“井字模型”的生長過程,幫助學生從復雜圖形中抽象基本模型,自主建構(gòu)“井字模型”圖式,完善幾何圖形認知結(jié)構(gòu),培養(yǎng)學生空間想象力.

練習1: 如圖7(4) , 已知PQ//RY,MN//RY, 求證:∠4=∠13.

練習2: 如圖7(4) , 已知PQ//RY,MN//RY, ∠8 =120°,求∠QPM的度數(shù).

練習3:如圖7(4),已知PQ//RY,MN//RY,∠QPM=120°,求∠6 的度數(shù).

綜合練習1: 如圖7(4) , 已知∠QPM= ∠8, 求證:∠11+∠QNM=180°.

綜合練習2: 如圖7(4),已知PQ//RY,∠4=∠13,求證:MN//RY.

綜合練習3: 如圖7(4),已知∠6=∠R,∠4=∠13,求證:PQ//RY.

綜合練習4: 如圖7(4) , 已知∠R+ ∠QPM= 180°,∠R+∠8=180°,求證PQ//MN.

問題七如圖8,觀察“井字模型”的退化,你能找到哪些邊的關(guān)系? 角的關(guān)系?

圖8

運用幾何畫板的“顯示與隱藏”功能將“井字模型”退化為平行四邊形,三角形. 為之后學習平行四邊形、三角形和相似三角形打下圖形結(jié)構(gòu)基礎(chǔ),幫助學生從整體上構(gòu)建圖形結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò),使學生能更好地運用模型解決問題.

練習1: 如圖8(3) , 已知PQ//MN,PM//QN, 求證:∠4=∠13,∠6=∠11.

練習2: 如圖8(4) , 已知PQ//MN,PM//QN, 求證:∠2=∠14.

綜合練習1: 如圖8(4),∠4+∠6 = 180°,∠4 = ∠13,求證:PM//QN.

綜合練習2: 如圖8(4),已知PM//QN,∠6 = ∠11,求證:PQ//MN.

問題八如圖9 和10,觀察“井字模型”的退化,你能找到哪些邊的關(guān)系? 角的關(guān)系?

通過隱藏“井字模型”的部分線段, 可得到上述兩個圖形. 實現(xiàn)將“井字模型”退化成“兩邊互相平行的兩個角”,可得出特殊結(jié)論——兩邊互相平行的兩個角相等或互補.

練習1: 如圖9(3) ,EP//GQ,PD//BQ, 求證: ∠2 =∠14.

圖9

練習2: 如圖10(3) ,EP//GQ,PD//AQ, 求證: ∠2 +∠13=180°.

圖10

練習3: 若兩個角的兩邊互相平行,則這兩個角.

3 總結(jié)

幾何畫板在初中幾何教學中的作用之一在于用以驗證學生難以證明或現(xiàn)階段無法證明的性質(zhì)定理. 學生難以證明或現(xiàn)階段無法證明的性質(zhì)定理是學生理解的難點. 若采用特殊法進行驗證,雖能暫時消除學生疑惑,但無法留下深刻印象,不利于知識的運用與遷移. 通過幾何畫板將情境從特殊變?yōu)橐话?讓學生經(jīng)歷性質(zhì)定理的探究與驗證過程,從而深化學生對性質(zhì)定理的認知.

幾何畫板在初中幾何教學中的作用之二在于使圖形的生成和生長過程可視化,讓學生通過視覺直觀經(jīng)歷以基礎(chǔ)圖形為生長點,生長或退化為結(jié)構(gòu)復雜的圖形的過程. 在這個過程之中,潛移默化地培養(yǎng)了學生抽象基本模型的能力,發(fā)掘復雜圖形的“根”,將抽象的幾何圖形化繁為簡,實現(xiàn)邏輯推理的簡單有序,滲透數(shù)學抽象的數(shù)學思想方法.

幾何畫板在初中幾何教學中的作用之三在于幫助學生透過幾何圖形的生成和生長過程,構(gòu)建良好的幾何圖形認知結(jié)構(gòu)和圖式結(jié)構(gòu). 圖形的生成和生長過程蘊含著轉(zhuǎn)化與化歸、特殊到一般、一般到特殊、類比、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學抽象等數(shù)學思想方法,其核心為對基本模型的抽象、分析與運用,使學生從根本上把握圖形變化規(guī)律及方向,由上至下構(gòu)建良好的認知結(jié)構(gòu)和圖式結(jié)構(gòu),形成圖式結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò).

幾何畫板在初中幾何教學中的作用之四在于使數(shù)學課堂上升為思考型的數(shù)學實驗課堂. 幾何畫板走入課堂,讓晦澀難懂、枯燥無味、抽象的幾何知識變得靈動、有趣和簡單.教師能充分發(fā)揮主導作用,突出學生的主體地位,激發(fā)生生互動和學生的學習興趣,使得課堂由靜態(tài)變?yōu)閯討B(tài),學生由沉靜變?yōu)榛顫?