基于數(shù)學(xué)問題培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的“U 型”教學(xué)模式*
——以高三數(shù)學(xué)“數(shù)列重構(gòu)”微專題復(fù)習(xí)課為例

廣東省廣州市荔灣區(qū)教育發(fā)展研究院(510375) 蔡 琳

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版)》指出: 數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想,是形成理性思維的重要基礎(chǔ),主要表現(xiàn)為: 獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則, 提出數(shù)學(xué)命題和模型, 形成數(shù)學(xué)方法與思想,認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系.《標(biāo)準(zhǔn)》同時(shí)指出: 數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng),要通過數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)、問題的驅(qū)動(dòng)、過程的展開調(diào)動(dòng)學(xué)生各種認(rèn)知心理活動(dòng)的參與[1]. 顯然,“去情境”、“去過程”、“去反思”的表層教學(xué)模式,是無法促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)達(dá)成的,教師要積極構(gòu)建深度教學(xué)模式,使學(xué)生的學(xué)習(xí)從淺層學(xué)習(xí)向深度學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化,以使數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)落地.

“U 型”[2]是基于深度學(xué)習(xí)理論提出的, 深度學(xué)習(xí)理論認(rèn)為, 學(xué)習(xí)是一個(gè)復(fù)雜的過程, 這個(gè)復(fù)雜的過程包括“下沉”、“潛行”與“上浮”三個(gè)階段,這個(gè)過程像個(gè)“U 型”. 數(shù)學(xué)抽象與“U 型”十分契合,這種契合不僅表現(xiàn)在抽象的過程是一個(gè)“U 型”,更重要的是對(duì)學(xué)習(xí)結(jié)果的訴求都是素養(yǎng). 故此,基于數(shù)學(xué)問題培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),首先要經(jīng)過“下沉”,進(jìn)入知識(shí)內(nèi)部結(jié)構(gòu),接著通過“潛行”經(jīng)歷抽象過程,認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu),體悟?qū)W科思想方法,最后再通過上浮生成意義,如圖1:

圖1

本文以一節(jié)高三數(shù)學(xué)“數(shù)列重構(gòu)”微專題復(fù)習(xí)課為例,談?wù)勅绾温鋵?shí)基于數(shù)學(xué)問題培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的“U 型”教學(xué)模式.

1 下沉：創(chuàng)設(shè)情境,直入知識(shí)內(nèi)部結(jié)構(gòu)

深度學(xué)習(xí)理論認(rèn)為,知識(shí)的結(jié)構(gòu)由內(nèi)部結(jié)構(gòu)和外部結(jié)構(gòu)兩部分組成,外部結(jié)構(gòu)指知識(shí)的符號(hào)表征,內(nèi)部結(jié)構(gòu)包括學(xué)科思想方法和意義系統(tǒng). 基于數(shù)學(xué)問題的“下沉”要以問題情境為載體,以問題為驅(qū)動(dòng),直入知識(shí)內(nèi)部結(jié)構(gòu).

題組1 (1)若數(shù)列{an}滿足a1=1,an-an-1=2n-1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

2 潛行: 認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu),體悟?qū)W科思想方法

“潛行”發(fā)生在“U 型”底部,是一個(gè)“層進(jìn)式”學(xué)習(xí)的過程. 基于數(shù)學(xué)問題培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),教師需要遵循學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)和知識(shí)內(nèi)在結(jié)構(gòu),設(shè)計(jì)逐層深化的問題鏈,學(xué)生圍繞問題經(jīng)歷觀察與類化、抽象與概括、一般化與符號(hào)化等系列化的探究活動(dòng),在獲得結(jié)構(gòu),體驗(yàn)與感悟?qū)W科思想方法的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

題組2 (1)若數(shù)列{an}滿足a1=0,an+an-1=2n-1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

(2)若數(shù)列{an}滿足a1=1,an+an-1=n2+1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

(3)若數(shù)列{an}滿足a1= 1,an+an-1= 3·2n,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

問題2 類比題組1 及其解題方法的獲得,你覺得應(yīng)該怎樣找到題組2 解法的突破口呢?

師生活動(dòng): 學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上作答,師生共同明確: 題組2 解題的切入口需要根據(jù)研究數(shù)列的一般觀念“運(yùn)算”,計(jì)算特殊項(xiàng)找規(guī)律獲得.

[設(shè)計(jì)意圖] 以問題情境題組2 為載體,以問題2 為驅(qū)動(dòng),把學(xué)生的認(rèn)知導(dǎo)向更深層——學(xué)科的“一般觀念”. 章建躍博士指出: 學(xué)生如果能自覺地運(yùn)用一般觀念指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與探究活動(dòng),是學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的標(biāo)志. 同時(shí)通過類比題組1 及其解題方法,引導(dǎo)學(xué)生觀察與類化,這是數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ).

問題3 完成表1,表2,表3,通過運(yùn)算你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

表1

表2

表3

師生活動(dòng): 學(xué)生獨(dú)立完成表格的基礎(chǔ)上,小組交流作答.

隔項(xiàng)作差,奇數(shù)項(xiàng)成公差為2 的等差數(shù)列(后項(xiàng)減前項(xiàng)),偶數(shù)項(xiàng)亦如此.

隔項(xiàng)作差,相鄰奇數(shù)項(xiàng)的差成公差為4 的等差數(shù)列,然后累加(后項(xiàng)減前項(xiàng)),偶數(shù)項(xiàng)亦如此.

隔項(xiàng)作差,相鄰奇數(shù)項(xiàng)的差成公比為4 的等比數(shù)列,然后累加(后項(xiàng)減前項(xiàng)),偶數(shù)項(xiàng)亦如此.

師生共同總結(jié)歸納表格內(nèi)容和規(guī)律: 隔項(xiàng)作差,奇偶分組求通項(xiàng).

追問1 你是通過怎樣的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律的?

師生活動(dòng): 學(xué)生獨(dú)立思考作答. 師生共同明確: 通過運(yùn)算找規(guī)律,可以嘗試相鄰項(xiàng)或隔項(xiàng)作加、減、乘、除四則運(yùn)算.

[設(shè)計(jì)意圖] 問題3 借助表格直觀, 引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)算與思考、探究與交流, 在觀察與類化的基礎(chǔ)上, 進(jìn)行抽象與概括,并用自然語言予以表達(dá),學(xué)生親身經(jīng)歷探究活動(dòng),體驗(yàn)從特殊到一般, 從具體到抽象的數(shù)學(xué)思想和方法, 實(shí)現(xiàn)了“知其然”到“知其所以然”. 追問1 則實(shí)現(xiàn)了“何由以知其所以然”的跨越.

問題4 你能用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表達(dá)隔項(xiàng)作差的結(jié)構(gòu)嗎?并完成題組2 的完整解答.

師生活動(dòng): 學(xué)生獨(dú)立思考作答,師生共同明確: 把n賦為n-1,兩式作差,可得隔項(xiàng)作差的新結(jié)構(gòu)an-an-2=d(d為常數(shù)),或an-an-2=f(n),學(xué)生獨(dú)立完成解答.

(2) 形如an+an-1=pn2+q,p,q為常數(shù), 把n賦為n-1,兩式作差,可得an-an-2=2pn-p,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),

[設(shè)計(jì)意圖] 追問1 把問題一般化、符號(hào)化,不但顯現(xiàn)了一階和式結(jié)構(gòu)an+an-1=f(n)的本質(zhì),也是更高一級(jí)的抽象. 同時(shí),數(shù)學(xué)問題一般化和符號(hào)化表達(dá)是數(shù)學(xué)具有高度抽象性的表現(xiàn)之一,在抽象與概括的基礎(chǔ)上,學(xué)生需要展開一定的數(shù)學(xué)思維才能達(dá)到一般化和符號(hào)化的抽象高度,問題4為實(shí)現(xiàn)這一高度搭了一個(gè)腳手架.

問題5 回憶解決問題的過程,用到了哪些思想方法?

師生活動(dòng): 學(xué)生獨(dú)立思考作答,師生共同總結(jié)歸納: 一階和式結(jié)構(gòu)an+an-1=f(n),需要把n賦為n-1,兩式作差,重構(gòu)新結(jié)構(gòu)an-an-2=d(d為常數(shù)),或an-an-2=f(n),再奇偶分組求通項(xiàng),在這個(gè)過程中,用到了從特殊到一般,從具體到抽象的數(shù)學(xué)思想和方法,積累了代數(shù)中把“運(yùn)算”作為一般觀念指導(dǎo)學(xué)習(xí)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn).

[設(shè)計(jì)意圖] 通過問題5,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系性,結(jié)構(gòu)化的梳理,深化學(xué)生對(duì)新知的理解和認(rèn)知,有利于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改造和重組,形成穩(wěn)定的認(rèn)知圖式. 同時(shí)深刻挖掘知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想方法,有利于核心素養(yǎng)的達(dá)成.

3 上浮: 遷移應(yīng)用,生成意義

上浮是個(gè)體對(duì)學(xué)到的知識(shí)進(jìn)行個(gè)人意義的升華和表達(dá),是一個(gè)反思性思維和批判性思維形成的過程[3],經(jīng)過這一過程,學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行反思,獲得知識(shí)的內(nèi)核,生成意義,從而感受知識(shí)背后的理性思維的力量,這也是數(shù)學(xué)學(xué)科育人的功能之一.

題3 若數(shù)列{an}滿足a1= 1,anan-1= 2n,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

題4 若數(shù)列an=2n,記bm為{an}在區(qū)間(0,m](m ∈N*)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù).

(1)求數(shù)列{bm}的前10 項(xiàng)和S10.

(2)你能提出更一般的問題嗎? 并作答.

[設(shè)計(jì)意圖] 題4(1)檢測學(xué)生是否有意識(shí)能夠在新的情境中選擇和運(yùn)用從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法解決問題,屬于思想方法的遷移,涉及較高級(jí)別的抽象. 題4(2)要求學(xué)生能夠在綜合情境中抽象出問題,并進(jìn)行一般化、符號(hào)化,同時(shí)能用符號(hào)語言予以表達(dá),涉及更高級(jí)別的抽象.

教師點(diǎn)評(píng): 題4(1),從學(xué)生解答可以看出,學(xué)生能夠通過運(yùn)算,運(yùn)用從特殊到一般的思想方法找到解題突破口,基本上能夠做出解答:b1對(duì)應(yīng)的區(qū)間為: (0,1],則b1= 0;b2,b3對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為: (0,2],(0,3],則b2=b3= 1,即有2 個(gè)1;b4,b5,b6,b7對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為: (0,4],(0,5],(0,6],(0,7],b4=b5=b6=b7= 2,即有22個(gè)2;b8,b9,b10對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為: (0,8],(0,9],(0,10],則b8=b9=b10=3,即有3 個(gè)3;所以S10=1×2+2×22+3×3=19.

題4(2)是一個(gè)開放的問題,學(xué)生答案不唯一,下面是一位同學(xué)提出來的問題,并給出的解答.

問題求數(shù)列{bm}的前2t+1-1 項(xiàng)和S2t+1-1(t ∈Z+).

解答由S2t+1-1=1×2+2×22+3×23+···+t×2t,

錯(cuò)位相減,求得S2t+1-1=(t-1)2t+1+2.

從這位學(xué)生提出的問題和解答可以看出,該生不但具備了數(shù)學(xué)思想方法遷移的能力,而且具備了較強(qiáng)的概括能力和抽象水平,數(shù)學(xué)思維品質(zhì)得到發(fā)展,數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)得以落實(shí).

4 結(jié)束語

“U 型”模式是素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)模式,是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)落地的有效路徑. 要注意的是,核心素養(yǎng)水平的達(dá)成不是一蹴而就的,數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)亦是如此,教師要有意識(shí)把“U型”教學(xué)模式滲透到每一節(jié)課,當(dāng)然不是每節(jié)課都只有一個(gè)“U 型”過程,可以是多個(gè)“U 型”循環(huán),若學(xué)習(xí)內(nèi)容不完整,也可以多節(jié)課一個(gè)“U 型”,學(xué)生在經(jīng)歷一個(gè)個(gè)“U 型”的過程中,核心素養(yǎng)特別是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)就潛移默化、潤物細(xì)無聲地得到落實(shí)了.