基于小學(xué)生數(shù)學(xué)有序思維建構(gòu)途徑探析

文∣陳荔青

思維是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心，思維是有邏輯的而非隨意的、是貫通的而非孤立的。培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維是增強其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的關(guān)鍵。對于小學(xué)生而言，思維的有序性是較為重要的一種思維品質(zhì)，它是促進思維發(fā)展和終身學(xué)習(xí)的重要基石。在教學(xué)實踐中，教師發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏興趣，甚至產(chǎn)生恐懼心理。原因雖多，但主要原因還是學(xué)生數(shù)學(xué)思維缺乏有序性，對數(shù)學(xué)概念的形成及性質(zhì)、定理的獲取過程不清晰，對數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展過程一知半解，缺乏對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認識。有鑒于此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)重視學(xué)生對數(shù)學(xué)的體驗與感悟，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)有序思維，讓學(xué)生積極主動地思考、連貫條理地表達、有序操作，實現(xiàn)有序解題，思路清晰；最終達成數(shù)學(xué)綜合能力和素養(yǎng)有效提升。

一、有序思維的內(nèi)涵、價值和特征

有序思維是指在解決各種數(shù)學(xué)問題時，學(xué)生的思維能按照一定的規(guī)則與順序按線索步步向前推進，直到完成任務(wù)、實現(xiàn)目標。它是學(xué)生成長與發(fā)展所必備的能力，也是協(xié)助學(xué)生提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有力抓手。

2022年，教育部頒布的數(shù)學(xué)課程標準對小學(xué)生有序思維高度重視，要求學(xué)生“能進行有條理的思考”。學(xué)生通過對數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)應(yīng)能清晰地表達自己的思考過程，而且還能對結(jié)論的合理性作出有說服力的說明。由此可見，培養(yǎng)學(xué)生有序思維具有重要價值，具體體現(xiàn)在以下幾個方面。

第一，建構(gòu)知識體系的必然要求。數(shù)學(xué)是一門具有系統(tǒng)性及理性特質(zhì)的學(xué)科，其知識的形成與發(fā)展過程具有較強的順序性。在教學(xué)時，教師不僅要創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識的形成與發(fā)展過程，還要始終關(guān)注小學(xué)數(shù)學(xué)知識的邏輯順序和知識點的前后聯(lián)系，為教學(xué)注入清新劑。

第二，兒童認知思維發(fā)展的必然要求。數(shù)學(xué)教學(xué)對訓(xùn)練、建構(gòu)小學(xué)生有序思維具有極其重要的作用。有序思維的形成及習(xí)慣的養(yǎng)成有助于小學(xué)生夯實思維品質(zhì)，有利于其真正掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，有益于其在解決問題過程中不重復(fù)、不遺漏、循序漸進地列出答案。[1]

第三，發(fā)展數(shù)學(xué)高階思維的必然要求。小學(xué)生只有在建構(gòu)快速有序思維基礎(chǔ)上，才能進行多元化與復(fù)雜性思維，進行推理、分析、鑒別、評價和創(chuàng)造等高級思維活動，進入數(shù)學(xué)知識的深處去解決更為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。

作為一種綜合性思維方式，小學(xué)生數(shù)學(xué)有序思維主要有以下四個基本特征。

一是程序性。小學(xué)數(shù)學(xué)思維方法有對應(yīng)、假設(shè)、比較、類比、轉(zhuǎn)化、分類、集合、演繹、歸納、統(tǒng)計、極限、代換、可逆、化歸、模型、系統(tǒng)等16種最常用思維方式。而這些思維方式的深刻內(nèi)涵和內(nèi)生邏輯無不蘊含著思維的程序性，比如“比較”與“類比”，根據(jù)不同的標準或不同的角度對事物進行比較、分類，往往會得出不同的結(jié)論。所以，采用什么樣的標準和從何種角度進行比較或類比，需要學(xué)生親歷有序思維這一過程才能辨別，這就體現(xiàn)了有序思維的程序性特征。

二是邏輯性。主要體現(xiàn)在知識與知識間、解決問題的各個環(huán)節(jié)間的邏輯關(guān)系。比如，人教版數(shù)學(xué)五年級下冊“解決問題的策略”中，無論是“從條件想起”，還是“從問題想起”，這兩種解決問題的策略所引發(fā)的思維邏輯都是在分析數(shù)量關(guān)系，都有其實際應(yīng)用價值。它們都是基于有序思維的邏輯性。

三是合理性。解決和處理數(shù)學(xué)問題或許有多種思路，但經(jīng)過對比、分析和鑒別優(yōu)劣后，應(yīng)當選擇較為合理的解題思路，盡可能避開比較復(fù)雜、煩瑣、難度較大的解題方法和策略，而有序思維則可以為提高解題效率和質(zhì)量的“合理性”找到便捷方法。比如，在運用“四則運算”解決問題時，教師采用有序思維中的分析與綜合方法，把各個要素整合起來，使之成為一個整體在思維中合理性地展示出來。

二、小學(xué)生數(shù)學(xué)有序思維發(fā)展的現(xiàn)狀

基于教學(xué)實踐與課堂觀察，我們發(fā)現(xiàn)大多數(shù)教師致力于轉(zhuǎn)變陳舊的教育觀念、改變落后的教學(xué)理念，不遺余力地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)有序思維，取得了一定的成效。但是，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生有序思維并非一蹴而就、一朝見果，因而，直到今天還存在一些亟待解決的問題，而且這些問題貫穿于小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程。

(一)聽得懂但不會靈活運用

在課堂教學(xué)過程中，許多學(xué)生跟著教師的思維能夠明白如何解題，對一些數(shù)學(xué)易錯、重難點知識，在教師的重復(fù)和強化下不但能夠理解，還有一定的感受。但仍有學(xué)生在做練習(xí)或獨自表達時，條理不清，邏輯混亂，不能很好地運用課堂上教師傳授的解題方法去做題。這主要是由于在課堂教學(xué)時，教師沒有突出學(xué)生的主體性，沒有給學(xué)生留下充分感知、感悟和體驗的時間，導(dǎo)致他們在學(xué)習(xí)上對教師具有一定的依賴性，自主學(xué)習(xí)過程感悟能力較弱，思維沒有從“無序”走向“有序”。

(二)知答案但難以正確表達

許多學(xué)生在解數(shù)學(xué)題時，絞盡腦汁才得到答案。在書寫解題過程時，常常會出現(xiàn)重復(fù)、遺漏和邏輯混亂等現(xiàn)象，不能把自己的思路和想法用精煉的語言準確地表達出來，在有序思維上有一定盲區(qū)或漏洞。對于一些比較簡單或常見的問題，學(xué)生還能勉強提出解決問題的方案；而對于有一定難度或稍加復(fù)雜的問題，學(xué)生便會感到束手無策、容易出現(xiàn)思維障礙。

(三)個體差異使思維不同步

數(shù)學(xué)是一門隨著年級的提升而難度越來越大的學(xué)科。小學(xué)數(shù)學(xué)相對簡單，難度不大。但在具體教學(xué)過程中，由于學(xué)生個體差異較大，他們的思維并不同步，學(xué)困生經(jīng)常出現(xiàn)學(xué)習(xí)障礙。許多學(xué)生因跟不上教師的思維節(jié)奏，對數(shù)學(xué)課的興趣逐步降低，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有畏難情緒，甚至產(chǎn)生厭惡感，久而久之就形成了惰性思維，有序思維發(fā)展受限、受損。有鑒于此，教師在教學(xué)時，應(yīng)當遵循循序漸進、層層推進原則；通過引導(dǎo)、點撥加強學(xué)生有序思維的培養(yǎng)，使每一個學(xué)生都能融入數(shù)學(xué)課堂，并獲得相應(yīng)的學(xué)習(xí)效果。

三、小學(xué)生數(shù)學(xué)有序思維建構(gòu)途徑

小學(xué)生受生理年齡和認知水平制約，在數(shù)學(xué)思考過程中表現(xiàn)出隨意和無序，往往是想到哪寫到哪。且教師在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)有序思維過程中存在著一些亟待解決的問題，這使得教師培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)有序思維迫在眉睫。有鑒于此，筆者通過長時間的教學(xué)實踐，體會到只有從觀察、表達、操作以及實踐等環(huán)節(jié)，加強學(xué)生數(shù)學(xué)有序思維的培養(yǎng)，才能使學(xué)生既有效地掌握知識、形成技能，又播下有序思維的種子，促進數(shù)學(xué)素養(yǎng)持續(xù)生長。

(一)基于觀察與比較，引導(dǎo)學(xué)生有序地看

觀察與比較作為思維的前置條件，能夠幫助學(xué)生更確切、更全面、更有效地了解事物的本質(zhì)特征。對于低年級小學(xué)生而言，觀察與比較更是他們認識事物最常用、最有效的方法之一。在教學(xué)過程中，教師通過引導(dǎo)學(xué)生進行有序的觀察與比較，讓他們反復(fù)感知，形成充分的感性認識，積累豐富的知識，為日后進入更高層次的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定堅實的認知基礎(chǔ)。在低年級數(shù)學(xué)教材中，情境圖中的物體數(shù)量較多，而且有的既隱蔽又分散，這就需要教師加強對學(xué)生觀察的有序性指導(dǎo)，使學(xué)生學(xué)會按由宏觀到微觀、由整體到局部、由主要到次要的順序進行觀察，逐步養(yǎng)成先上后下、從左往右、由外及內(nèi)的觀察習(xí)慣；讓學(xué)生用眼睛觀察、用手指點數(shù)、用嘴巴讀圖等方式去感知物品的特征，比較物品的數(shù)量關(guān)系，做到不漏、不重、不錯，進而在觀察與比較中培養(yǎng)學(xué)生有序整理數(shù)學(xué)知識和有序處理數(shù)學(xué)問題的能力。

例如，在教學(xué)“認識鐘表”一節(jié)時，為了讓學(xué)生更積極地參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，以及更有效地認識鐘表的外部構(gòu)成，解讀鐘表相關(guān)知識，回答鐘表相關(guān)問題。在進入正課學(xué)習(xí)前，筆者準備了電腦課件和一個實物鐘以及多個畫于紙上的鐘面，讓學(xué)生從鐘的外形開始觀察，指出鐘面上都有什么，分針與時針如何區(qū)分，鐘面上除了分針與時針還有些什么，等等。再讓學(xué)生說說時針和分針的運動軌跡與運轉(zhuǎn)規(guī)律。為了讓學(xué)生更有序、有趣地學(xué)習(xí)，筆者將學(xué)生劃分為學(xué)習(xí)小組，向每個小組發(fā)一個紙鐘，采用搶答的方式讓學(xué)生在紙鐘上撥出時間，最先完成的小組獲得一份獎勵。讓學(xué)生在激烈的比拼和歡快的氛圍中學(xué)習(xí)鐘表知識，有效地提高其觀察與比較能力，尤其是使其真切地體驗有序觀察與比較的重要性和必要性。

(二)基于梳理與表達，指導(dǎo)學(xué)生有序地說

小學(xué)生尤其是低年級學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，常常會出現(xiàn)語義重復(fù)、前后矛盾、詞序顛倒以及不合事理等情況，雖然這在小學(xué)生學(xué)習(xí)成長過程中難以避免，但語言對一個人智力的發(fā)展和有序思維的養(yǎng)成有重要影響。因此，教師應(yīng)有意識地強化學(xué)生數(shù)學(xué)語言表達能力，使他們將思維與語言融合起來，做到“話經(jīng)大腦加工”后再進行作答。教學(xué)時，教師要合理安排課堂教學(xué)時間，為學(xué)生創(chuàng)造更多的表達機會，對發(fā)言的學(xué)生耐心引導(dǎo)、點撥，指導(dǎo)學(xué)生規(guī)范發(fā)言，訓(xùn)練有序思維，讓他們學(xué)會用“首先……其次……再次……最后……”等表述自己的思維過程。此外，還可以設(shè)計一些“扶—半扶—半放—放”的提示方式，引導(dǎo)學(xué)生在不斷地模仿、梳理、補充、矯正中，循序漸進地學(xué)會有序表達。

例如，在教學(xué)“分類與整理”一節(jié)時，為了讓學(xué)生經(jīng)歷分類的過程，并體會分類的內(nèi)涵和方法，感受分類在生活中的作用；筆者通過網(wǎng)絡(luò)搜集，準備了學(xué)生熟悉的分類素材，讓學(xué)生學(xué)習(xí)分類。在展示人群圖片時，許多學(xué)生基于過去由左及右看圖說話的思維習(xí)慣進行分類，條理不清，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果很不理想。為此，筆者著重指導(dǎo)學(xué)生按一定的特點和規(guī)律對人群進行分類。

師:請同學(xué)們發(fā)揮自己的眼力，看一看圖片中有幾個人。

生:共有10個人。

師:如果將人群依照成年人和兒童的規(guī)律分為兩大類，每一類分別有多少人？

學(xué)生在筆者的引領(lǐng)下，逐一說出答案。此時，筆者趁勢繼續(xù)追問:“人群除了可以根據(jù)年齡的規(guī)律分類，還可以進行哪些分類？請組織好語言后再回答。”

學(xué)生經(jīng)過一番觀察和思考后，發(fā)現(xiàn)除了可以依照年齡分類外，還可以依照性別、身高等進行分類。這樣的教學(xué)既培養(yǎng)了學(xué)生觀察的有序性和思考的條理性，又鍛煉了學(xué)生數(shù)學(xué)語言表達的周密性和準確性。

(三)基于操作與探究，幫助學(xué)生有序地做

操作既是思維的起點又是思維的結(jié)果，一旦切斷操作與思維的聯(lián)系，思維就失去了發(fā)展的原動力。作為探究新知的一種重要方式，動手操作有具體、直觀、形象等特性，與小學(xué)生的思維特點、心理發(fā)展特征高度契合，是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識、強化數(shù)學(xué)技能的重要推手。雖然小學(xué)生的思維源于動作，但忽視方法指導(dǎo)的動手操作往往效果不佳，難以達到預(yù)期的目的。有鑒于此，在教學(xué)過程中，教師要時刻發(fā)揮引導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生操作探究這一動態(tài)過程，在學(xué)生的操作順序、操作行為、操作細節(jié)等方面給予點撥和評價，保障操作的有序性、流暢性和嚴謹性。對于低年級的小學(xué)生，教師更要基于學(xué)情，圍繞操作探究的有序性這一主線，將操作活動進行合理解構(gòu)，使操作程序更加符合學(xué)生的學(xué)情和認知水平，讓學(xué)生在親歷數(shù)學(xué)知識的形成過程中建立清晰的數(shù)學(xué)概念。

例如，在教學(xué)“長度單位”一節(jié)時，為使學(xué)生能夠夯實后續(xù)的解應(yīng)用題基礎(chǔ)，筆者由易到難分層設(shè)計有關(guān)測量問題。首先，不向?qū)W生提供工具，讓學(xué)生測量書桌的長度。在測量過程中，許多學(xué)生用自己手掌沿書桌角邊緣線進行測量，最終獲得書桌的長度。其次，讓學(xué)生借助尺子測量書桌的長度，單位精確到“厘米”。讓學(xué)生對“厘米”“米”等長度單位有更加直觀的感受，使其直觀理解長度單位。最后，為培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的能力，筆者鼓勵學(xué)生用自己的方法測量黑板的長度。有的學(xué)生用書桌來測量黑板的長度，黑板的長度大約是兩張書桌的長度，只要知道書桌的長度，就可計算出黑板的長度。有的學(xué)生用文具盒作為基本測量工具，只要知道文具盒的長度，測出黑板大約有幾個文具盒長，就可以確定黑板的長度。還有的學(xué)生從家里帶來米尺、卷尺進行測量。不管學(xué)生用何種測量方法，都是其動手操作、有序探究得到的結(jié)果。這種將操作與思維融合起來的探究過程不僅使學(xué)生對長度單位有更清晰、更明確的認知，而且還培養(yǎng)了學(xué)生的抽象能力。

(四)基于實踐與練習(xí)，推進學(xué)生有序地練

練習(xí)是師生交流的一個窗口，是幫助學(xué)生消化舊知識、掌握新技能的重要手段。數(shù)學(xué)的每個知識點都相互聯(lián)系且環(huán)環(huán)相扣，教師只有精心準備形式多樣的練習(xí)素材，突出練習(xí)的有序性、層次化，才能避免無效訓(xùn)練，尤其是避免加重學(xué)生和家長的負擔。有序練習(xí)要充分考慮學(xué)生數(shù)學(xué)能力和認知的差異，遵循“量力而行、區(qū)別對待、面向全體學(xué)生”的練習(xí)原則，不一視同仁和“一刀切”。練習(xí)可以從“低起點、小目標、緩坡度、給拐杖”開始，通過有序的練習(xí)活動，增強學(xué)生完成練習(xí)的內(nèi)在動力和自信心。同時，練習(xí)還要基于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、知識經(jīng)驗和思維層面，適時、適度、適切地引入一些貼近生活、富有情趣的數(shù)學(xué)問題，讓每一個學(xué)生都能通過有序的數(shù)學(xué)活動逐步發(fā)現(xiàn)解決問題的內(nèi)在規(guī)律[2]，讓學(xué)生在有序練習(xí)與實踐中建立解決問題的策略庫，使其在最適宜的發(fā)展區(qū)內(nèi)得到充分發(fā)展。

例如，在教學(xué)“認識人民幣”一節(jié)時，為培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性及解決問題的能力，筆者在課堂上策劃了這樣一道練習(xí)題:“小明想買一支1元8角錢的圓珠筆，他可以怎樣付錢？”學(xué)生踴躍回答。有的說1張一元、1張五角和3張一角，有的說3張五角和3張一角，也有的說支付2張一元再找回兩角錢，等等。筆者進一步要求:付錢方法有多種多樣，請你有序地將其描述出來。學(xué)生在選擇不同面值的人民幣進行有序練習(xí)與實踐后，學(xué)生的思考及語言表達也明顯有條理了。同時，也有學(xué)生提出，拿一元的面值在操作時更為方便、簡單。由此可見，有序思考具有少走彎路、寫全答案的作用，尤其是還能打破學(xué)生思維的桎梏，培養(yǎng)其另辟蹊徑的能力，優(yōu)化了其思維品質(zhì)。

總之，培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生有序思維，不僅是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)不可逾越越的重要環(huán)節(jié)，也是促進學(xué)生成長和發(fā)展的必要途徑?；诙嗄甑膶嵺`與研究，筆者驚喜地發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)學(xué)生在訓(xùn)練有序思維后，都能夠深刻地認識到有序思維的價值和意義，在學(xué)習(xí)過程中自覺養(yǎng)成有序思維、有序?qū)W習(xí)的良好習(xí)慣。但是，學(xué)生的數(shù)學(xué)有序思維培養(yǎng)和發(fā)展是一個較為緩慢的過程，我們的探索永遠在路上。因而，還需要教師始終把目光聚焦到小學(xué)數(shù)學(xué)有序思維上來[3]，讓學(xué)生從小體驗有序思維、內(nèi)化有序思維、累積有序思維，最終形成解決問題的有序思維能力[4]。