動(dòng)靜結(jié)合 相得益彰
——以“二次函數(shù)”教學(xué)為例

?廣東省深圳市龍華區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 邱建濤

1 引言

“二次函數(shù)”屬于初中數(shù)學(xué)課程的半壁江山，其不僅考察了學(xué)生的思維能力、邏輯推理能力、建模能力、還有識(shí)圖觀察等能力.由此可見，二次函數(shù)問(wèn)題需要一定的解題技巧，教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)嚴(yán)格解讀動(dòng)靜結(jié)合的思想，引導(dǎo)學(xué)生從動(dòng)、靜的角度思考二次函數(shù)問(wèn)題，從而提高二次函數(shù)的學(xué)習(xí)效率.

2 初中數(shù)學(xué)中二次函數(shù)的特點(diǎn)

2.1 識(shí)圖與觀察

二次函數(shù)突出了數(shù)形結(jié)合的思想.在“二次函數(shù)”的學(xué)習(xí)中，除了概念認(rèn)知，還有圖象解析，學(xué)習(xí)者需要將概念與圖形進(jìn)行辯證對(duì)應(yīng)，才能梳理出正確的解題方向.因此，“二次函數(shù)”的學(xué)習(xí)能夠幫助初中生增強(qiáng)抽象思維與直觀想象能力.除此之外，在識(shí)圖分析時(shí)，學(xué)生需要調(diào)動(dòng)各項(xiàng)感官，通過(guò)自主觀察才能達(dá)成對(duì)知識(shí)的深層理解.

2.2 動(dòng)手與推理

二次函數(shù)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科中的多種思想，精準(zhǔn)作圖與高效用圖是解析二次函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵，所以，學(xué)生在學(xué)習(xí)“二次函數(shù)”時(shí)需要參與到作圖實(shí)踐中，通過(guò)圖象建立模型，這也是動(dòng)靜結(jié)合法的典型體現(xiàn).與此同時(shí)，學(xué)生需要借助已知條件分析圖象，從中獲取有益于解題思路的隱藏條件，這在潛移默化中考察了學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)建模意識(shí)和邏輯推理能力.

2.3 理論與應(yīng)用

眾所周知，數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，且回歸于生活.“二次函數(shù)”作為初中數(shù)學(xué)課程中的一個(gè)重要內(nèi)容，自然與日常生活有著緊密的聯(lián)系.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出，數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的最終目的是將知識(shí)內(nèi)容實(shí)踐于生活中，充分發(fā)揮出數(shù)學(xué)課程的價(jià)值.因此，教師在二次函數(shù)教學(xué)中，需要緊密結(jié)合相關(guān)的實(shí)踐問(wèn)題，促使學(xué)生將靜態(tài)的理論知識(shí)應(yīng)用到動(dòng)態(tài)的生活實(shí)際中，從而促進(jìn)學(xué)生的思維動(dòng)靜交替發(fā)展，為構(gòu)建高效數(shù)學(xué)課堂奠定基礎(chǔ).

綜上所述，教師在利用動(dòng)靜結(jié)合思想開展“二次函數(shù)”教學(xué)時(shí)需要以激活學(xué)生的思維為切入點(diǎn)，并將實(shí)踐應(yīng)用作為出發(fā)點(diǎn)，由此才能促進(jìn)二次函數(shù)學(xué)習(xí)的順利展開[1].

3 動(dòng)靜結(jié)合——“二次函數(shù)”的教學(xué)路徑

3.1 依據(jù)靜態(tài)抽象概念，打造動(dòng)態(tài)生活情境

陶行知先生提出“教育是活的教育”，教育是生活的需要.二次函數(shù)概念具有較強(qiáng)的抽象性，倘若教師以單一的理論講授法展開教學(xué)，不但會(huì)引起學(xué)生的抵觸情緒，而且還會(huì)降低學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用認(rèn)知.因此，教師可以在函數(shù)概念教學(xué)的基礎(chǔ)上引入動(dòng)態(tài)的生活化內(nèi)容，通過(guò)動(dòng)態(tài)的生活情境化解抽象的定義內(nèi)涵，由此有效激活學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)態(tài)思維.

以北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第二章“二次函數(shù)”為例，在課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)，筆者引入生活化動(dòng)態(tài)情境：

農(nóng)機(jī)廠第一個(gè)月水泵的產(chǎn)量為50臺(tái)，第三個(gè)月的產(chǎn)量為y臺(tái)，農(nóng)機(jī)廠水泵產(chǎn)量月平均增長(zhǎng)率為x，那么y與x之間的函數(shù)關(guān)系如何表示呢？

計(jì)算物品產(chǎn)量是生活中十分常見的問(wèn)題，學(xué)生會(huì)主動(dòng)調(diào)取自己的生活經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)基礎(chǔ)思考問(wèn)題.發(fā)現(xiàn)學(xué)生毫無(wú)思路時(shí)，筆者應(yīng)及時(shí)提醒學(xué)生依照正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的列式經(jīng)驗(yàn)推理出本例的關(guān)系式.當(dāng)有學(xué)生列出的關(guān)系式中出現(xiàn)了x2后，借此契機(jī)在黑板上列出

y=50(1+x)2=50x2+100x+50

①

接著，繼續(xù)引出生活化問(wèn)題：將一根長(zhǎng)20 cm的鐵絲折成一個(gè)矩形，設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為xcm，矩形的面積為ycm2，則y與x的關(guān)系式又是什么呢？

通過(guò)上一個(gè)問(wèn)題的鋪墊，學(xué)生迅速列出

y=x(10-x)=10x-x2

②

這時(shí)，再引導(dǎo)學(xué)生觀察①②式的共同點(diǎn)，在學(xué)生發(fā)現(xiàn)自變量的最高次數(shù)是2后，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試運(yùn)用以往的函數(shù)解析式經(jīng)驗(yàn)列出與兩道習(xí)題相關(guān)的一般形式.通過(guò)自主性的動(dòng)態(tài)化探究，學(xué)生順利列出y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c為常數(shù)).

最后，筆者帶領(lǐng)學(xué)生一起學(xué)習(xí)二次函數(shù)的定義與自變量的取值范圍等內(nèi)容.

通過(guò)創(chuàng)設(shè)生活情境，學(xué)生能夠從動(dòng)態(tài)的生活實(shí)際中自主提取出二次函數(shù)的定義，由此有效提升了學(xué)習(xí)質(zhì)量[2].

3.2 引導(dǎo)動(dòng)手作圖分析，深化靜態(tài)圖形認(rèn)知

二次函數(shù)圖象平移問(wèn)題在中考試題中出現(xiàn)的頻次較高，其技巧性較強(qiáng)，平移的過(guò)程完全突出了動(dòng)態(tài)思想.所以，教師在開展相關(guān)內(nèi)容教學(xué)時(shí)可以引領(lǐng)學(xué)生自主作圖，通過(guò)作圖的方式，體會(huì)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，由此深化學(xué)生的作圖能力和數(shù)形結(jié)合思想.

圖1

在學(xué)生經(jīng)歷了運(yùn)用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=ax2的圖象后，筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧一次函數(shù)y=2x與y=2x+1的圖象的關(guān)系，喚起學(xué)生對(duì)“平移”的認(rèn)知.接著，引導(dǎo)學(xué)生利用描點(diǎn)法作出二次函數(shù)y=2x2與y=2x2+2的圖象(如圖1所示)，并根據(jù)圖象分析兩者之間的關(guān)系.

接下來(lái)，要求學(xué)生根據(jù)靜態(tài)圖形分析這兩個(gè)函數(shù)的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)的異同之處，并鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)自身知識(shí)找出y=2x2與y=2x2+2的圖象之間的關(guān)系.

在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)提示學(xué)生從函數(shù)圖象的開口方向、對(duì)稱軸、增減性等角度進(jìn)行思考.

學(xué)生通過(guò)動(dòng)手繪制圖象能夠直觀感受到點(diǎn)、線的平移方法.在問(wèn)題層層解決的過(guò)程中，滲透動(dòng)靜結(jié)合的思想，引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)手作圖的基礎(chǔ)上對(duì)兩個(gè)圖象進(jìn)行對(duì)比分析，由此鞏固學(xué)生動(dòng)靜結(jié)合的學(xué)習(xí)能力，促使學(xué)生深化對(duì)靜態(tài)圖形的平移認(rèn)知[3].

3.3 結(jié)合實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)討論，促進(jìn)函數(shù)靜態(tài)應(yīng)用

動(dòng)靜思維相互轉(zhuǎn)化是二次函數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)的基本要求.二次函數(shù)是初中生今后學(xué)習(xí)函數(shù)的基礎(chǔ)，所以動(dòng)靜結(jié)合思維的培養(yǎng)對(duì)初中生來(lái)說(shuō)更加關(guān)鍵.小組合作模式是新的課程目標(biāo)改革背景下，眾多數(shù)學(xué)教師所倡導(dǎo)的小組合作模式，不僅可以將學(xué)生從被動(dòng)的學(xué)習(xí)模式中解放出來(lái)，而且能夠促使學(xué)生在自主探究中加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的深層理解，從而營(yíng)造良好的教學(xué)氛圍.

在二次函數(shù)習(xí)題教學(xué)中，筆者依照學(xué)生以往的課堂表現(xiàn)、學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)成績(jī)以及性格特點(diǎn)將學(xué)生劃分為水平相當(dāng)?shù)膸讉€(gè)小組，并告訴學(xué)生本節(jié)課以小組競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制展開，最快答對(duì)題目的小組將會(huì)獲得精美小禮品.然后，提出問(wèn)題：

已知二次函數(shù)y=-x2+ax(-1≤x≤1)，分別求下面三種情況下函數(shù)的最小值：

(1)a<-2；(2)-2≤a≤2；(3)a>2.

競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制的提出將會(huì)迅速引起各小組的動(dòng)態(tài)討論.針對(duì)學(xué)生討論中的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生分析自變量的范圍，并且結(jié)合字母系數(shù)a的取值范圍和二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)進(jìn)行分析.各小組在討論中明確了解題方向，很快解決了問(wèn)題.

小組合作的過(guò)程，不僅加強(qiáng)了學(xué)生的動(dòng)態(tài)思維碰撞，而且點(diǎn)燃了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和合作精神，這與素質(zhì)教育的核心理念不謀而合.在本節(jié)課教學(xué)中，筆者通過(guò)組織動(dòng)態(tài)溝通交流，有效增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)靜態(tài)理論的認(rèn)知及應(yīng)用，從而構(gòu)建了高效的二次函數(shù)課堂[4].

3.4 鏈接動(dòng)態(tài)圖象分析，提高靜態(tài)解題能力

隨著我國(guó)現(xiàn)代信息技術(shù)的快速發(fā)展，信息化教學(xué)手段為廣大教育工作者提供了便利.在二次函數(shù)教學(xué)中，不論是數(shù)學(xué)建模，還是圖象分析等，都離不開動(dòng)態(tài)的圖象分析.以往的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師常常采用板書畫圖的方式，不僅會(huì)出現(xiàn)作圖誤差，而且浪費(fèi)了課堂教學(xué)時(shí)間.基于此，教師可以借助電子白板引領(lǐng)學(xué)生對(duì)動(dòng)態(tài)的圖象進(jìn)行分析，這樣不僅可以增強(qiáng)學(xué)生的直觀認(rèn)知，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生的解題思維.二次函數(shù)中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題常常作為中考數(shù)學(xué)的壓軸題出現(xiàn)，所以教師在講解動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)應(yīng)當(dāng)積極融入多媒體技術(shù)，使學(xué)生動(dòng)靜交替地看待問(wèn)題，在思考探究的過(guò)程中逐步掌握以靜制動(dòng)的方式，從而有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

圖2

本題是為后面重點(diǎn)內(nèi)容作鋪墊，筆者借助電子白板出示圖象，引導(dǎo)學(xué)生在分析題目時(shí)熟悉圖象.由于本題涵蓋了銳角三角函數(shù)的性質(zhì)，因此，提醒學(xué)生從拋物線對(duì)稱軸和銳角三角函數(shù)性質(zhì)思考.

通過(guò)自主思考，大多數(shù)學(xué)生有了解題思路.筆者帶領(lǐng)學(xué)生共同梳理解題步驟，最后求出tan∠ACD的值.此時(shí)，學(xué)生的思維已經(jīng)完全被調(diào)動(dòng)起來(lái).接著，引出本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容.

筆者利用電子白板繼續(xù)出示圖象(如圖2)與例1的第(2)問(wèn)：

(2)若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿著線段AB以1個(gè)單位長(zhǎng)度每秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)Q以某一速度從點(diǎn)C出發(fā)沿線段CB勻速運(yùn)動(dòng).請(qǐng)問(wèn)，線段PQ是否能在某一時(shí)刻被直線CD垂直平分？若能，請(qǐng)求出此時(shí)的時(shí)間t(單位：s)和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

該題是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生將動(dòng)靜結(jié)合的思想作為切入點(diǎn)，分析靜點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，使學(xué)生明晰解題思路.通過(guò)分析靜止條件和動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，學(xué)生迅速發(fā)現(xiàn)本題的突破口.之后，利用電子白板依次展示學(xué)生的思路，并從多個(gè)角度動(dòng)態(tài)分析.最后，帶領(lǐng)學(xué)生一起梳理解題步驟：

設(shè)直線CD垂直平分PQ，連接DQ，利用∠PDC=∠QDC，PD=DQ，∠ACD=∠ADC可以得到∠ACD=∠QDC，從而可以得出t=5秒，線段PQ被直線CD垂直平分.再利用時(shí)間、速度、路程之間的關(guān)系便可以求到點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度.

借助動(dòng)態(tài)的圖象幫助學(xué)生一步步地細(xì)致分析，促使學(xué)生明確每一步的含義，由此在無(wú)形中幫助學(xué)生提高了解決問(wèn)題的能力[5].

3.5 利用靜態(tài)問(wèn)題引導(dǎo)，再探動(dòng)態(tài)函數(shù)圖象

二次函數(shù)與初中階段的其他知識(shí)相比，除了表層知識(shí)的擴(kuò)充，更多的是思維難度的上升，所以教師應(yīng)當(dāng)積極貫徹以學(xué)生為主體的教學(xué)理念.問(wèn)題導(dǎo)學(xué)法能夠有效激發(fā)學(xué)生的探究欲望，在問(wèn)題的引導(dǎo)下，學(xué)生將主動(dòng)走進(jìn)數(shù)學(xué)世界，從而逐步提升學(xué)習(xí)效果.因此，在二次函數(shù)教學(xué)中，教師可以利用問(wèn)題導(dǎo)學(xué)法喚起學(xué)生的互動(dòng)意識(shí)，促使學(xué)生在靜態(tài)的問(wèn)題引導(dǎo)下呈現(xiàn)動(dòng)態(tài)思維.

在確定的區(qū)間范圍內(nèi)二次函數(shù)最值問(wèn)題分析的教學(xué)中，筆者采用循序漸進(jìn)的問(wèn)題不斷引導(dǎo)學(xué)生展開分類討論，在分析到區(qū)間范圍限定部分時(shí)，及時(shí)引入二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).

例2求函數(shù)y=x2+2ax+1，在區(qū)間[-1，2]上的最小值.

想要解決本道題目，學(xué)生需要分析出該二次函數(shù)的對(duì)稱軸.因此，筆者提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考：區(qū)間限定的劃分依據(jù)是什么？這樣一來(lái)，學(xué)生便會(huì)和二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸聯(lián)系起來(lái)，并依照現(xiàn)有的知識(shí)基礎(chǔ)迅速得出該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-a.緊接著，繼續(xù)拋出問(wèn)題：當(dāng)函數(shù)y=x2+2ax+1的對(duì)稱軸在區(qū)間[-1，2]時(shí)最小值是什么？明顯的提示使學(xué)生很快計(jì)算出-1≤-a≤2時(shí)，ymin=1-a2.在學(xué)生的思路被打開后，將時(shí)間完全交給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)對(duì)稱軸處于區(qū)間右側(cè)和處于區(qū)間左側(cè)時(shí)的情況進(jìn)行討論，使學(xué)生在辯證分析的過(guò)程中形成分類討論的意識(shí)，明確定區(qū)間的動(dòng)軸問(wèn)題，并加深了對(duì)二次函數(shù)圖象性質(zhì)的認(rèn)知.

在整個(gè)教學(xué)中，始終借助問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生的動(dòng)態(tài)思考，不僅建立了新型的師生互動(dòng)，而且能夠促使學(xué)生感受到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的樂(lè)趣與成就感，從而夯實(shí)了動(dòng)靜結(jié)合課堂的構(gòu)建[6].

4 結(jié)束語(yǔ)

總而言之，動(dòng)靜結(jié)合思想在二次函數(shù)的教學(xué)中起到了非常關(guān)鍵的作用.數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)立足于學(xué)生實(shí)際，積極制定動(dòng)靜結(jié)合的教學(xué)方案，讓學(xué)生在動(dòng)靜交替的學(xué)習(xí)狀態(tài)下高效理解抽象的函數(shù)知識(shí)，從而構(gòu)建高效初中數(shù)學(xué)課堂.