例析“角平分線”在思路探究中的作用

?甘肅省武威市天祝藏族自治縣新華中學(xué) 趙 霞

1 引言

經(jīng)歷了幾何解題思路探究的過程后，人們通常會發(fā)現(xiàn)到找出解題的突破口非常關(guān)鍵[1].基于此，本文中借助幾道例題分析“角平分線”對初中幾何解題思路探究發(fā)揮的作用，希望對一線教師有所啟發(fā).

2 例題引入，思路探究

例1如圖1，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD平分∠BAC，CE平分∠BCA，AD與CE相交于點(diǎn)F，F(xiàn)M⊥AB，F(xiàn)N⊥BC，垂足分別為點(diǎn)M，N.求證：FE=FD.

圖1

分析：本題可根據(jù)題目已知條件及角平分線定理作出點(diǎn)F到AC的距離，如圖2所示.然后，通過FN的“橋梁”作用證明FM=FN.最后，在證明△FME和△FND全等的基礎(chǔ)上得到FE=FD.

證明：如圖2所示，過點(diǎn)F作AC的垂線，垂足為H.

∵AD平分∠BAC，CE平分∠BCA，且FM⊥AB，F(xiàn)N⊥BC，

∴MF=FH=NF.

∵∠ACB=90°，∠B=60°，

∴∠MEF=75°，∠FDN=75°.

∴△FME≌△FND(AAS).

∴FE=FD.

圖2

例2已知：如圖3所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的角平分線.求證：BD=2CD.

圖3

圖4

分析：本題條件不多，對尋找解題突破口最有幫助的是“AD是∠BAC的角平分線”這個條件.這類題和角平分線的性質(zhì)有關(guān)，常結(jié)合等腰三角形、垂直平分線、直角三角形30°角的性質(zhì)定理等知識，相對比較基礎(chǔ).

證明一：∵∠C=90°，∠B=30°，

∴∠BAC=60°.

∵AD是∠BAC的角平分線,

∴∠BAD=∠CAD=30°.

∴BD=AD，AD=2CD.

∴BD=2CD.

證明二：如圖4，過點(diǎn)D作AB的垂線，垂足為點(diǎn)E.

∵AD是∠BAC的角平分線，

∴CD=ED，∠BAD=∠CAD.

∵∠C=90°，∠B=30°，

∴∠BAC=60°.

∴∠BAD=30°.

∴AD=2ED.

∵∠B=∠BAD=30°，

∴BD=2ED.

∴BD=2CD.

例3已知：如圖5所示，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分線分別是BF，CF，且這兩條角平分線相交于點(diǎn)F.求證：點(diǎn)F在∠DAE的角平分線上.

圖5

分析：本題給出的條件非常少，但當(dāng)已知角平分線時，不妨將角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的垂線段作出來，然后結(jié)合“角平分線的判定定理”證明“點(diǎn)F在∠DAE的平分線上”.但是，要注意說明點(diǎn)F在∠DAE的內(nèi)部，這是角平分線判定定理使用的前提.由此可見，抓住“角平分線”這個關(guān)鍵條件并借助它的性質(zhì)解決問題非常重要.

證明：如圖6所示，過點(diǎn)F分別作AD，BC，AE的垂線，垂足分別為點(diǎn)G，H，M，連接AF.

∵BF和FC分別是△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分線，

∴GF=HF=MF.

∵點(diǎn)F在∠DAE的內(nèi)部，

∴點(diǎn)F在∠DAE的角平分線上.

圖6

3 總結(jié)經(jīng)驗，發(fā)揮作用

通過以上三道例題的分析不難發(fā)現(xiàn)，“角平分線”這個條件一旦題中給出，那么常會對解題發(fā)揮如下作用.

首先，引導(dǎo)思路.“角平分線”的出現(xiàn)讓學(xué)生的解題思路不知不覺傾向于與之有關(guān)的性質(zhì)定理和判定定理，而這些都與“點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”有關(guān)[2].所以，這就提醒學(xué)生需要作出與“點(diǎn)到角的兩邊的距離”有關(guān)的輔助線.但是，這里的輔助線通常有兩種情況：第一，題中已經(jīng)給出了“點(diǎn)到角的一邊的距離”，需要再作出與“點(diǎn)到角的另一邊的距離”有關(guān)的垂線段，如例1、例2都是如此；第二，題中只已知角平分線，但這個點(diǎn)到角任何一邊的距離是未知的，此時需要將點(diǎn)到角的兩邊的垂線段都作出，如例3便是如此.

其次，變中有定，訓(xùn)練思維.題中作輔助線的方式雖然有差異，但是證明過程具有相同點(diǎn)，即發(fā)揮等量代換的作用實現(xiàn)三角形全等的證明.這主要表現(xiàn)在以下兩個方面(以上述題目為例)：第一，都利用了“等量代換”.如例1中通過“FM=FH，F(xiàn)H=FN”中的FN起到“橋梁”作用，證明了FM=FN；如例2中可將“BD=2DE”的“DE”根據(jù)“DE=CD”代換，最終得到“BD=2CD”；再如例3中通過“FG=FH，F(xiàn)H=FM”證明了FG=FM.第二，都可用“全等三角形”證明.由此可見，“角平分線”和“全等三角形”具有非常密切的聯(lián)系[3].

最后，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò).角平分線和垂直平分線在初中幾何題中同時出現(xiàn)的可能性非常大，而這“兩線”無論是定義、性質(zhì)、判定，還是尺規(guī)作圖的方法都非常相似，學(xué)生在學(xué)習(xí)時極易混淆.但是，角平分線的出現(xiàn)，常讓學(xué)生聯(lián)想到垂直平分線，從而將二者聯(lián)系起來，從而構(gòu)建更豐富、完善的知識網(wǎng)絡(luò)體系[4].例如，學(xué)生在題中接觸了角平分線后，由角平分線的性質(zhì)、判定聯(lián)想到垂直平分線的性質(zhì)、判定，或者聯(lián)想到它們的尺規(guī)作圖方法，從而衍生出類似的思維導(dǎo)圖.一旦這樣的思維導(dǎo)圖建立，那么學(xué)生就能從一個“點(diǎn)”出發(fā)聯(lián)想到更多的“點(diǎn)”，而點(diǎn)與點(diǎn)之間往往可構(gòu)成知識網(wǎng)絡(luò).所以，作為初中數(shù)學(xué)教師有必要在角平分線出現(xiàn)的同時，將之與垂直平分線聯(lián)系起來，從而給予學(xué)生更多構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)的機(jī)會，讓他們更靈活地掌握和運(yùn)用知識.

4 結(jié)語

總之，若題中給出了“角平分線”這個條件，那么它將對這道題解題思路的探究發(fā)揮積極的作用.學(xué)生要在熟練掌握角平分線性質(zhì)定理和判定定理的基礎(chǔ)上，靈活作出點(diǎn)到角平分線的距離的輔助線，以此找到解決問題的突破口.