培養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象”核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)案例及策略

?湖北省宜昌市夷陵中學(xué)

張園園 楊先進(jìn)

數(shù)學(xué)抽象是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，是指通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng).它是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，它使數(shù)學(xué)成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級(jí)的系統(tǒng).從學(xué)生角度來(lái)看，高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的抽象性是學(xué)習(xí)時(shí)的一大難點(diǎn).本文通過(guò)三個(gè)課堂實(shí)錄，以及相應(yīng)的設(shè)計(jì)意圖，探索培養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象”核心素養(yǎng)的一些基本策略.

1 課堂實(shí)錄及設(shè)計(jì)意圖

案例1 全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

師：我們一起來(lái)欣賞一個(gè)外國(guó)的小故事.外國(guó)小說(shuō)家馬克·吐溫在一次演講中談到國(guó)會(huì)議員，有些激動(dòng)，他說(shuō)：“國(guó)會(huì)議員中有人是混蛋！”一些議員知道后，紛紛要求他公開(kāi)道歉.于是，馬克·吐溫在報(bào)紙上道歉說(shuō)：“上次我說(shuō)‘國(guó)會(huì)議員中有人是混蛋’，這是不對(duì)的，我深表歉意.現(xiàn)在更正為‘國(guó)會(huì)議員中有人不是混蛋’.”同學(xué)們，如果你是國(guó)會(huì)議員，你滿意嗎？

生：不滿意！

師：那該如何道歉呢？

生：所有國(guó)會(huì)議員都不是混蛋.

師：好的，如果我們把故事中的人用x來(lái)表示，國(guó)會(huì)議員所組成的集合用A表示，“是混蛋”用“>0”來(lái)表示，如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述馬克吐溫說(shuō)的第一句話？

生：?x∈A,x>0.①

師：非常好！如果要道歉，就是要否定這句話，那應(yīng)該如何用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)否定呢？

生：?x∈A,x≤0.②

師：①是存在量詞命題，②是全稱量詞命題.由此可見(jiàn)，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.同時(shí)，寫命題的否定時(shí)要注意兩點(diǎn)，即改量詞，否結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖：本片段中，我們用一個(gè)幽默的故事作為載體引入，開(kāi)篇能迅速調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，引發(fā)同學(xué)們的思考.故事中馬克·吐溫說(shuō)的第一句話“國(guó)會(huì)議員中有人是混蛋！”老師讓學(xué)生用集合的語(yǔ)言表述出來(lái)，是引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界的典型.同時(shí)，將生活中的事物賦予數(shù)學(xué)符號(hào)，將生活語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，引導(dǎo)學(xué)生深刻體會(huì)數(shù)學(xué)符號(hào)的精煉與準(zhǔn)確，學(xué)生能很快理解存在量詞命題的概念特征，即存在某個(gè)元素或集合，滿足某種特征.再通過(guò)第二句話“所有國(guó)會(huì)議員都不是混蛋”，讓學(xué)生思考存在量詞命題如何否定，再一次通過(guò)抽象成為符號(hào)語(yǔ)言，順利完成從特殊到一般的存在量詞命題的否定的形式特征，讓學(xué)生在無(wú)形中完成對(duì)本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)的理解.

案例2 函數(shù)的單調(diào)性(第1課時(shí))

生：上升.

師：很好，大家能進(jìn)一步用自然語(yǔ)言來(lái)描述這個(gè)變化趨勢(shì)嗎？

生：y隨著x的增大而增大.

師：非常好！再來(lái)看函數(shù)y=0.000 01x+1的圖象，能看出變化趨勢(shì)嗎？

生：不容易看，感覺(jué)是水平的.

師：那它是否具有前面這幾個(gè)函數(shù)圖象同樣的變化趨勢(shì)呢？

生：具有，也是y隨著x的增大而增大.

師：為什么？

生：因?yàn)?.000 01>0，在初中學(xué)過(guò)“一次函數(shù)中一次項(xiàng)系數(shù)大于零時(shí)，y隨著x的增大而增大”.

師：華羅庚先生曾說(shuō)過(guò)，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微.我們不能只滿足于從形的角度用自然語(yǔ)言來(lái)描述這種規(guī)律，特別是從圖形上反映并不直觀或不準(zhǔn)確時(shí)，還需要進(jìn)一步地用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)描述.請(qǐng)大家思考，如何用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)描述“y隨著x的增大而增大”這一變化趨勢(shì)呢？

生：f(x)

師：大家同不同意他的說(shuō)法？(有的同學(xué)同意，有的同學(xué)不同意.)

生：這樣表示不行.比如高斯函數(shù)，滿足f(x)

師：非常好！那我能否用f(x)

生：也不行，可以構(gòu)造類似高斯函數(shù)的函數(shù)作為反例.

師：這位同學(xué)思維非常敏捷！那我們?cè)撊绾蚊枋瞿兀?/p>

生：要限定兩個(gè)自變量之間的關(guān)系，就用x1,x2來(lái)表示，當(dāng)x1

師：很好，x1,x2是兩個(gè)特定的值嗎？

生：不是，是任意的兩個(gè)數(shù).

師：我們?cè)倩氐胶瘮?shù)y=x2(x≥0) ，若將定義域改成R，我們針對(duì)這個(gè)函數(shù)能說(shuō)對(duì)于定義域內(nèi)的任意的x1

生：不能.

師：那這說(shuō)明我們?cè)诿枋鲞@個(gè)規(guī)律時(shí)應(yīng)加上什么？

生：加上范圍說(shuō)明.

師：好的，也就是說(shuō)要說(shuō)明在什么區(qū)間上具有這個(gè)規(guī)律.那么，這個(gè)區(qū)間和定義域的關(guān)系是怎樣的？

生：區(qū)間包含于定義域.

師：很好.結(jié)合我們剛才的所有分析，我們能把“y隨著x的增大而增大”這個(gè)規(guī)律用符號(hào)語(yǔ)言描述出來(lái)嗎？

生：對(duì)于區(qū)間A(A?D，D為定義域)上的任意x1

師：非常棒！具有這樣規(guī)律的函數(shù)我們稱函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，此區(qū)間為函數(shù)的增區(qū)間.

設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課的設(shè)計(jì)亮點(diǎn)在于，從學(xué)生已有的知識(shí)出發(fā)，步步引導(dǎo)，層層深入，分塊突破，讓學(xué)生經(jīng)歷先從圖形語(yǔ)言開(kāi)始，引導(dǎo)學(xué)生到自然語(yǔ)言，再過(guò)渡到符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)的全過(guò)程，讓學(xué)生充分感受由具體到抽象的全過(guò)程，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.此設(shè)計(jì)的亮點(diǎn)還在于利用函數(shù)y=0.000 01x+1的圖象，讓學(xué)生體會(huì)到用符號(hào)形式化表達(dá)數(shù)學(xué)定義的必要性，加深了對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的理解.

案例3 變化率問(wèn)題(第1課時(shí))

師：小楊和小張都在做生意，小楊掙到10萬(wàn)元，小張掙到2萬(wàn)元，請(qǐng)問(wèn)如何比較小楊和小張兩人誰(shuí)更能掙錢？

生：掙錢多的當(dāng)然好!當(dāng)然是小楊呀！

師：如果小楊是用5年時(shí)間掙到10萬(wàn)元，小張用半年時(shí)間掙到2萬(wàn)元，你們覺(jué)得小楊更能掙錢嗎？

生：不是.小張更能掙錢，小楊每年只能掙2萬(wàn)，小張半年就掙了2萬(wàn).

師：大家認(rèn)為如何判定兩人的經(jīng)營(yíng)成果比較合理？

生：只比較掙到的錢數(shù)，并不能客觀地評(píng)價(jià)兩人的經(jīng)營(yíng)成果，比較兩人的年平均收入更合理.

師：通過(guò)對(duì)以上例子的分析，我們知道，僅僅比較一個(gè)變量的變化有時(shí)候是有局限的，我們往往需要用兩個(gè)或更多個(gè)變量去分析問(wèn)題.

師：我們?cè)賮?lái)看一個(gè)例子：

例1現(xiàn)有宜昌市某年3月18日-4月20日每天氣溫最高溫度統(tǒng)計(jì)圖.(3月18日為第一天，橫坐標(biāo)為1，如圖1.)

圖1

在“4月18日到20日”宜昌市市民普遍感覺(jué)“天氣熱的很快”，而在“3月18日到4月18日”感覺(jué)天氣變化沒(méi)有那么強(qiáng)烈，為什么？怎樣從數(shù)學(xué)的角度描述“氣溫變化的快慢程度”？

生:這一問(wèn)題中，存在兩個(gè)變量，即“時(shí)間”和“氣溫”.當(dāng)時(shí)間從1到32，氣溫從3. 5℃增加到18.6℃,氣溫平均變化率約為0.5℃/d;當(dāng)時(shí)間從32到34,氣溫從18. 6℃增加到33. 4℃,氣溫平均變化約為7.4℃/d.所以，從32日到34日，氣溫變化更快一些.

師:“0.5”表示從“3月18日到4月18日”氣溫的平均變化率，能說(shuō)說(shuō)對(duì)“氣溫平均變化率”的理解嗎？

生：氣溫平均變化率類似于我們的平均速度的概念，是一段時(shí)間氣溫的增加量與這段時(shí)間差的比值.如果同一段時(shí)間氣溫增加量越多，變化率越大，人體的感受就會(huì)越強(qiáng)烈.

師：上面問(wèn)題中的溫度隨時(shí)間的關(guān)系如果用y=f(t)表示，那么問(wèn)題中的平均變化率可以如何表示?

師：很好！平均變化率可以反映變量的變化快慢程度.是否在所有情況下它都能很好地反映一個(gè)變量的變化呢？我們?cè)賮?lái)看一個(gè)例子：

師：平均速度是0，是否說(shuō)明運(yùn)動(dòng)員這段時(shí)間沒(méi)動(dòng)？

生：不是.

師：可見(jiàn)，用平均變化率刻畫變量的變化速度是有局限性的，有時(shí)候我們需要進(jìn)一步研究瞬時(shí)變化率.

設(shè)計(jì)意圖：本片段的亮點(diǎn)一是通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境引導(dǎo)學(xué)生了解“引入平均變化率的必要性”，通過(guò)對(duì)例2的探究引導(dǎo)學(xué)生對(duì)平均變化率進(jìn)行反思，發(fā)現(xiàn)用平均變化率描述運(yùn)動(dòng)和變化狀態(tài)的局限性，從而認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)瞬時(shí)變化率的必要.本片段的亮點(diǎn)二在于通過(guò)對(duì)例1的層層分析，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)概念的過(guò)程，促使學(xué)生加深理解平均變化率的實(shí)際意義.

3 培養(yǎng)策略

通過(guò)以上案例，我們可以總結(jié)出，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，可以有如下策略.

3.1 數(shù)學(xué)符號(hào)情境化，促進(jìn)認(rèn)知升華

在案例1中，教師通過(guò)一個(gè)小故事，把里面的生活語(yǔ)言與數(shù)學(xué)符號(hào)結(jié)合起來(lái)，讓學(xué)生很容易就能接受符號(hào)語(yǔ)言要表達(dá)的意思.數(shù)學(xué)抽象的第一層次就是感性的抽象與經(jīng)驗(yàn)性的抽象，通過(guò)對(duì)生活中的對(duì)象與數(shù)學(xué)對(duì)象相似性的辨析，很容易讓學(xué)生理解概念所要表達(dá)的意思.

3.2 抽象概念具體化，突破教學(xué)難點(diǎn)

有些數(shù)學(xué)概念之所以覺(jué)得抽象，是因?yàn)橛刑嗟姆?hào)語(yǔ)言以及定義，讓學(xué)生眼花繚亂，無(wú)從下手.如果能如案例2那樣，把符號(hào)語(yǔ)言里的每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)通過(guò)層層設(shè)問(wèn)分解分析，或者如案例3那樣，對(duì)每一個(gè)概念引入的必要性做逐步分析，學(xué)生就能深刻體會(huì)到符號(hào)語(yǔ)言的精煉性以及必要性，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，以及增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信心有很大幫助.

3.3 教學(xué)內(nèi)容活動(dòng)化，提升核心素養(yǎng)

抽象經(jīng)驗(yàn)可以在數(shù)學(xué)活動(dòng)中積累，抽象能力可以在抽象活動(dòng)中發(fā)展，抽象素養(yǎng)可以在抽象經(jīng)驗(yàn)的積淀與升華中養(yǎng)成.如在學(xué)習(xí)全概率公式和貝葉斯公式時(shí)，學(xué)生覺(jué)得公式很抽象，不好理解，不好記憶.因此，教師可以借助教材中的閱讀材料里著名的“三門問(wèn)題”，讓學(xué)生按照規(guī)則進(jìn)行抽獎(jiǎng)的對(duì)比實(shí)驗(yàn)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，分小組討論、闡述觀點(diǎn)，進(jìn)一步按照貝葉斯公式分析結(jié)果產(chǎn)生的原因，以及公式的具體意義，這樣學(xué)生對(duì)貝葉斯公式的結(jié)構(gòu)就會(huì)有全新的認(rèn)識(shí)，也會(huì)認(rèn)識(shí)到它的巨大威力.

總之，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是在不斷解決問(wèn)題的過(guò)程中逐步孕育的，只有精心設(shè)計(jì)完整的抽象過(guò)程才能培養(yǎng)出完整的抽象能力和抽象素養(yǎng).