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    “玩轉(zhuǎn)”數(shù)學(xué)語言 解題不再困難

    2022-08-18 09:56:04首都師范大學(xué)教師教育學(xué)院
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年15期
    關(guān)鍵詞:玩轉(zhuǎn)符號(hào)語言三視圖

    ?首都師范大學(xué)教師教育學(xué)院

    郭鑫培 閆瑞敏

    1 引言

    文字語言是數(shù)學(xué)問題最基本的表達(dá)形式,其特點(diǎn)是通俗,有助于理解題意,但有時(shí)敘述較為冗長、繁瑣.圖形語言的特點(diǎn)是直觀,便于觀察和聯(lián)想,但受制于學(xué)生的空間想象能力和圖形本身的復(fù)雜程度,有時(shí)難以理解.符號(hào)語言簡潔精煉,表述方便,有助于運(yùn)算,但它的抽象性、概括性較強(qiáng),對(duì)學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題造成了一定的困難.三種數(shù)學(xué)語言各有所長,因此我們在解題時(shí)要善于靈活地轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言,高效解決問題.

    2 數(shù)學(xué)語言之間的轉(zhuǎn)換

    2.1文字語言向圖形語言、符號(hào)語言的轉(zhuǎn)換

    文字語言轉(zhuǎn)換為圖形語言可以更加直觀地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)問題,轉(zhuǎn)換為符號(hào)語言可以使數(shù)學(xué)問題量化、符號(hào)化,從而通過代數(shù)運(yùn)算解決問題.

    圖1

    分析:首先我們通過文字語言理解題意,明確其中的幾何條件,然后將文字語言轉(zhuǎn)換為圖形語言,從而更加直觀地呈現(xiàn)問題,如圖1所示.再將其中的幾何條件轉(zhuǎn)換為符號(hào)語言,如斜率、垂直關(guān)系、相交關(guān)系等,最終要求證的是三角形面積之比,只需找到圖形中的有關(guān)三角形,利用三角形面積公式(符號(hào)語言)即可求證.

    又直線BN的方程為

    聯(lián)立方程①②,解得點(diǎn)E縱坐標(biāo)為

    故△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.

    點(diǎn)評(píng):解析幾何的核心思想是通過代數(shù)方法來解決幾何問題,但我們首先要做的是將題目中的文字語言轉(zhuǎn)換為圖形語言,即先將幾何問題呈現(xiàn)出來,否則后續(xù)的所有處理都是空談.

    例2如圖2所示,北京天壇的圜丘壇分上、中、下三層,上層中心有一塊圓形石板(天心石),環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán),向外每環(huán)依次增加9塊,下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊,向外每環(huán)依次也增加9塊,已知每層環(huán)數(shù)相同,且下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板(不含天心石) ( ).

    圖2

    A.3 699塊 B.3 474塊

    C.3 402塊 D.3 309塊

    分析:首先我們要對(duì)題目中的文字語言進(jìn)行分析、轉(zhuǎn)換,借助示意圖理解題意,利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型解決問題.如果將上、中、下三層看作一個(gè)整體,仍滿足每一環(huán)比上一環(huán)多9塊,則這三層每一環(huán)石板數(shù)符合等差數(shù)列模型.再畫出示意圖理解各層石板數(shù)的關(guān)系,最后將“下層比中層多729塊”轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的符號(hào)語言進(jìn)行求解即可.

    圖3

    解析:由題意可設(shè)每環(huán)中扇面形石板塊數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列為{an},則a1=9,d=9.由每層環(huán)數(shù)相同,設(shè)每層有n環(huán),每層之間石板數(shù)的關(guān)系如右圖3.

    由下層比中層多729塊,結(jié)合示意圖轉(zhuǎn)換為符號(hào)語言,有(S3n-S2n)-(S2n-Sn)=729,即S3n-2S2n+Sn=729,利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,可得9n2=729,解得n=9.則三層共有扇面形石板S3n=3 402(塊).故選:C.

    點(diǎn)評(píng):面對(duì)文字量較大的題目,要仔細(xì)審題,從中提取關(guān)鍵信息,抓關(guān)鍵點(diǎn);要善于畫示意圖來理解題意,同時(shí)檢索頭腦中相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)語言之間的轉(zhuǎn)換.

    2.2 圖形語言向文字語言、符號(hào)語言的轉(zhuǎn)換

    圖形語言轉(zhuǎn)換為文字語言有助于對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解與分析,轉(zhuǎn)換為符號(hào)語言有助于數(shù)學(xué)問題的解決,以“數(shù)”解“形”.

    例3如圖4,牛牛從公園E處出發(fā),先到F處與麗麗會(huì)合,再一起到位于G處的少年宮參加活動(dòng),那么牛牛到少年宮可以選擇的最短路徑有多少條[1]?

    圖4

    分析:本題是一個(gè)計(jì)數(shù)問題,要“完成的一件事”是從E處到G處,分兩步完成,即先從E處到F處,再從F處到G處,因此應(yīng)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理.我們先將其中的圖形語言轉(zhuǎn)換為文字語言,即將路線圖中的信息明確化,可以發(fā)現(xiàn)E到F處的最短路徑長度為以EF為對(duì)角線的矩形周長的一半,F(xiàn)到G處的最短路徑長度為以FG為對(duì)角線的矩形周長的一半,進(jìn)而可以找出每一步的最短路徑條數(shù),根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算公式(符號(hào)語言)求解即可.

    解析:由題意可以知道第一步由E到F處共6條最短路徑,第二步由F到G處,共4條最短路徑.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,可知牛牛從E處到G處可以選擇的最短路徑條數(shù)共6×4=24.

    例4:如圖5是一個(gè)獎(jiǎng)杯的三視圖,試通過獎(jiǎng)杯的三視圖計(jì)算它的體積和表面積.(尺寸如圖,單位:cm,π取3.14,結(jié)果取整數(shù).)

    圖5

    分析:本題是三視圖問題,信息全部蘊(yùn)含在圖形之中,因此將圖形語言轉(zhuǎn)換為文字語言,是理解、分析問題的必要環(huán)節(jié).觀察三視圖,可知該幾何體的上部是一個(gè)直徑為4 cm的球,中部是一個(gè)長、寬、高分別為8 cm,4 cm,20 cm的長方體,下部是一個(gè)棱臺(tái),其中上底面是邊長分別為10 cm,8 cm的矩形,下底面是邊長分別為20 cm,16 cm的矩形,棱臺(tái)的高為2 cm.利用球、長方體、棱臺(tái)的體積公式(符號(hào)語言)即可求出體積.對(duì)于表面積,可以發(fā)現(xiàn)長方體和四棱臺(tái)有重合部分,因此計(jì)算表面積時(shí),不要重復(fù)計(jì)算.

    由球、矩形、梯形的面積公式,可得S球=4πR2=16π (cm2),通過計(jì)算可知,

    點(diǎn)評(píng):圖形語言向文字語言的轉(zhuǎn)換,是解決幾何圖形問題的第一步,但往往我們意識(shí)不到.這是因?yàn)樵诮忸}時(shí),我們常常直接借助符號(hào)語言來定量計(jì)算,忽視了第一步轉(zhuǎn)換對(duì)理解問題的重要性.

    2.3 符號(hào)語言向文字語言、圖形語言的轉(zhuǎn)換

    符號(hào)語言轉(zhuǎn)換為文字語言可以使問題更加簡明,轉(zhuǎn)換為圖形語言可以使問題更加直觀、具體,以“形”助“數(shù)”.

    圖6

    當(dāng)k<0時(shí),不滿足不等式的解集區(qū)間長度為2;

    當(dāng)k=0時(shí),也不滿足題意.

    因此,k>0.

    例6已知集合

    A={(x,y)|y2=x+1,x,y∈R},

    B={(x,y)|4x2+2x-2y+5=0,x,y∈R},

    C={(x,y)|y=kx+b,x,y∈R},

    是否存在正整數(shù)k和b使得(A∪B)∩C=??若存在,求出k和b的值;若不存在,請說明理由.

    分析:先將題目中的符號(hào)語言轉(zhuǎn)換為文字語言,來理解題意.集合A和B所表示的都是拋物線,集合C表示一條直線,而(A∪B)∩C=?表示這條直線和兩條拋物線均不相交,還要注意k和b只取正整數(shù).由此我們根據(jù)題意,將其中的符號(hào)語言轉(zhuǎn)換為圖形語言,如圖7所示.

    圖7

    由b∈N*得b=2,則直線方程為y=kx+2.將直線方程分別和兩拋物線方程聯(lián)立,可得兩個(gè)方程組,

    綜上所述,存在正整數(shù)k=1和b=2滿足題意.

    3 總結(jié)

    事實(shí)上,在解題的過程中,往往需要不止一次地進(jìn)行數(shù)學(xué)語言之間的轉(zhuǎn)換,我們要知道每一次轉(zhuǎn)換都是為了更好地理解題目,從而有助于解決問題.因此在解題時(shí),靈活地進(jìn)行數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換,可以大幅提高解題效率.這就需要我們在平時(shí)的學(xué)習(xí)中,深入理解與把握對(duì)“同一件事”的不同數(shù)學(xué)語言的表達(dá)形式,鍛煉數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換能力,“玩轉(zhuǎn)”數(shù)學(xué)語言,使解題不再困難.

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