基于核心素養(yǎng)的“銳角三角函數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)

顧 勇, 尹 平

(1.正余初級(jí)中學(xué)，江蘇 南通 226153；2.海門中學(xué)附屬學(xué)校，江蘇 南通 226150)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》)這樣描述：數(shù)學(xué)課程能使學(xué)生掌握必備的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，促進(jìn)學(xué)生在情感、態(tài)度與價(jià)值觀等方面的發(fā)展.而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含數(shù)學(xué)思維品格和關(guān)鍵能力，是數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想、經(jīng)驗(yàn)及情感、態(tài)度、價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)[1]．由此可見，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是對(duì)《課標(biāo)》的繼承和發(fā)揚(yáng)．而擺在一線數(shù)學(xué)教師面前的一個(gè)非?，F(xiàn)實(shí)的問題，就是如何在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中落實(shí)對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng).筆者以人教版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)第二十八章“銳角三角函數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，依學(xué)定教，合理設(shè)計(jì)探究問題，發(fā)掘知識(shí)的承載和育人功能，將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落到實(shí)處.

1 學(xué)情分析

學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”一課之前，學(xué)生已經(jīng)具備了“函數(shù)”概念和相似三角形的性質(zhì)(相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等)的知識(shí)儲(chǔ)備.而銳角三角函數(shù)源于對(duì)直角三角形邊角關(guān)系的研究，初時(shí)只研究三角比，后受函數(shù)思想的影響才發(fā)展成三角函數(shù)，這也是學(xué)生在探究“銳角三角函數(shù)”概念時(shí)的一個(gè)難點(diǎn).因此,在教學(xué)時(shí)要著重引導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)直角三角形中一個(gè)銳角與兩邊比值之間的函數(shù)關(guān)系：1)當(dāng)直角三角形的一個(gè)銳角確定時(shí)，任意兩邊的比值是一定的,即相似三角形的性質(zhì)可以保證兩個(gè)直角三角形的大小不同，只要銳角一定，任意兩邊的比值就不會(huì)變(即唯一確定);2)當(dāng)直角三角形的銳角度數(shù)改變，其所對(duì)應(yīng)兩邊的比值就會(huì)隨之而改變，從而確定銳角和兩邊的比值為函數(shù)關(guān)系，并理解銳角是自變量，兩邊的比值是銳角的函數(shù)．故本課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)定為：1)經(jīng)歷正弦函數(shù)概念的探究過(guò)程，掌握基本的研究方法；2)理解銳角三角函數(shù)的概念并進(jìn)行相關(guān)計(jì)算；3)獲得探究數(shù)學(xué)的成功體驗(yàn)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心.

圖1

2 學(xué)習(xí)過(guò)程

2.1 復(fù)習(xí)回顧，導(dǎo)入新課

問題1根據(jù)圖1所示的直角三角形，借助其要素間的關(guān)系,你可以回顧哪些知識(shí)？章前圖中比薩斜塔問題是直角三角形中哪些要素關(guān)系的繼續(xù)研究？

設(shè)計(jì)說(shuō)明借助直角三角形的直觀形象復(fù)習(xí)回顧已學(xué)知識(shí).這時(shí)如果單純對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行“散點(diǎn)式”歸納整理，那么學(xué)生最多只能回顧勾股定理和∠A+∠B=90°.而培養(yǎng)學(xué)生抓住要素關(guān)系分析整理，學(xué)生知識(shí)整理的完整性就會(huì)好很多：邊邊關(guān)系即三邊關(guān)系(兩邊之和大于第三邊、勾股定理)、角角關(guān)系即兩個(gè)銳角關(guān)系(互余)、邊角關(guān)系(大邊對(duì)大角).再通過(guò)教師的結(jié)構(gòu)性板書展示，學(xué)生的腦海中就會(huì)形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，使零散的知識(shí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，從而將多個(gè)概念的聯(lián)系串珠成鏈.斜塔問題是已知兩條直角邊求其銳角，學(xué)生會(huì)意識(shí)到之前建構(gòu)的邊角關(guān)系(大邊對(duì)大角，小角對(duì)小邊)，只能起到定性分析問題的作用.當(dāng)我們需要定量分析問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)手中的知識(shí)工具不夠了，從而形成批判性思維，產(chǎn)生深入探究新知的沖動(dòng)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到知識(shí)學(xué)習(xí)是螺旋上升、從“定性”走向“定量”的，引導(dǎo)學(xué)生在思維層次上更進(jìn)一步.

2.2 運(yùn)用史料，增“興”強(qiáng)“思”

圖2

問題2公元前3世紀(jì)，古希臘著名天文學(xué)家阿利斯塔克開創(chuàng)了太陽(yáng)、月亮與地球距離之比以及太陽(yáng)、月亮、地球三者大小之比的測(cè)量.阿里斯塔克在月亮半圓的時(shí)刻，測(cè)得日、地、月的中心S，E和M恰為一個(gè)直角三角形的3個(gè)頂點(diǎn)(如圖2)，并且測(cè)得∠ESM=3°.你認(rèn)為結(jié)合以上條件，阿里斯塔克能計(jì)算出地球到太陽(yáng)的距離(ES)是地球到月亮距離(EM)的幾倍嗎?

設(shè)計(jì)說(shuō)明重視數(shù)學(xué)史,筆者的想法是比薩斜塔問題所涉及的是兩條直角邊和銳角的關(guān)系，雖說(shuō)正弦、余弦和正切是3個(gè)獨(dú)立的概念，但在邊角關(guān)系中，30°的直角邊與斜邊的關(guān)系更深入學(xué)生的腦海.這樣的安排有兩個(gè)目標(biāo)：一是尊重人教社的教材編排意圖；二是尊重學(xué)生的經(jīng)驗(yàn).同時(shí)閱讀興趣廣泛的學(xué)生早已知曉答案是395倍，這樣更能激起其他學(xué)生的好奇心，但好奇之后仍無(wú)法想通395倍是怎么來(lái)的，如此就形成了“最近發(fā)展區(qū)”的“第二發(fā)展水平”.

2.3 依托特殊，完善猜想

問題3如果把問題2中的“∠ESM=3°”改為“∠ESM=30°”，那么你能求出ES是EM的幾倍嗎？改變?nèi)切蔚拇笮?，這個(gè)結(jié)論還成立嗎？再換一個(gè)度數(shù)試試，你還能求出ES是EM的幾倍嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(小組討論.)

設(shè)計(jì)說(shuō)明問題3對(duì)問題2起“支架”作用，就如布魯納等人所說(shuō)“以最近發(fā)展區(qū)作為教師介入的空間，為學(xué)生提供支持，促使學(xué)生主動(dòng)而有效的學(xué)習(xí)”.“含有30°的直角三角形的斜邊是30°角所對(duì)直角邊的2倍”這一結(jié)論在學(xué)生腦海中根深蒂固，而且學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)這一結(jié)論不會(huì)因?yàn)槿切未笮〉母淖兌淖?其實(shí)理解能力強(qiáng)的學(xué)生已經(jīng)有了解決問題的最初想法(在草稿紙上畫一個(gè)含有30°角的直角三角形，量一下直角邊和斜邊算出倍數(shù))，為了增加他們對(duì)自己猜想的信心和繼續(xù)啟發(fā)還沒有捅破那層窗戶紙的學(xué)生，設(shè)置了繼續(xù)舉例(如45°,60°)，再借助小組討論，進(jìn)一步堅(jiān)定了把三角形縮小的想法.如華羅庚先生所說(shuō)：復(fù)雜的問題要善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅．這樣引導(dǎo)下的問題探究可以促進(jìn)課堂生長(zhǎng)、學(xué)生發(fā)展，形成從“已知區(qū)”到“最近發(fā)展區(qū)”的自然過(guò)渡，揭示從特殊到一般、從有限到無(wú)限的數(shù)學(xué)思想.

2.4 證明猜想，形成概念

問題4結(jié)合上面3個(gè)問題的研究，在Rt△ABC中，∠C=90°，當(dāng)∠A取定一個(gè)度數(shù)的銳角時(shí)，它的對(duì)邊和斜邊的比值是否會(huì)因?yàn)槿切未笮〉母淖兌淖?？?qǐng)說(shuō)明理由.當(dāng)∠A的度數(shù)發(fā)生變化時(shí)，這個(gè)比值會(huì)變化嗎？

設(shè)計(jì)說(shuō)明問題4是對(duì)上面猜想的合理性給予的邏輯證明.為了三角函數(shù)概念的規(guī)范性，問題4中加入了數(shù)學(xué)的規(guī)定，把“幾倍”轉(zhuǎn)換成“比值”.這樣就可以把新問題的研究納入已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中來(lái)，學(xué)生自然而然就能想到可以用三角形相似的知識(shí)來(lái)解決問題，形成知識(shí)之間的聯(lián)系.找到相似三角形的性質(zhì)是學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)概念的基礎(chǔ).事實(shí)上，也只有借助“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例”才能證明銳角三角函數(shù)概念的合理性，但教師不能只告訴學(xué)生正弦就是一個(gè)銳角所對(duì)的直角邊與斜邊的比值，這樣其函數(shù)的味道就淡了.同時(shí)還要讓學(xué)生的思維層次再進(jìn)一步，要能清晰地認(rèn)識(shí)到“這個(gè)比值只與傾斜角有關(guān),與直角三角形的大小無(wú)關(guān)”．因此，在后面馬上跟進(jìn)了追問“當(dāng)∠A的度數(shù)變化時(shí)，這個(gè)比值變化嗎”.因?yàn)閺摹熬€段比”定義正弦到“函數(shù)觀點(diǎn)”認(rèn)識(shí)正弦、到用符號(hào)表示正弦是正弦函數(shù)的成長(zhǎng)蛻變史，所以今天所學(xué)是對(duì)初三學(xué)生的又一次認(rèn)知發(fā)展．將直角三角形從“30°,45°和60°”到3°再到任意度(大于0°小于90°)，蘊(yùn)涵著從特殊到一般、從有限到無(wú)限的數(shù)學(xué)思想.

2.5 類比遷移，再探新知

問題5在Rt△ABC中，∠C=90°，類比正弦函數(shù)的研究思路，∠A的鄰邊與斜邊的比值是否也可以表示為∠A的另一種三角函數(shù)？∠A的對(duì)邊和鄰邊的比值是否又可以表示為∠A的又一種三角函數(shù)？

設(shè)計(jì)說(shuō)明許多數(shù)學(xué)對(duì)象的研究都是有“通法”的，掌握其中一個(gè)對(duì)象的研究套路(程序、原理等)，就能自主并有效地探究其他對(duì)象，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)力．類比是一種常用的教學(xué)方法，也是一種重要的思維方式.在正弦函數(shù)概念的形成過(guò)程中，可以幫助學(xué)生再次利用“相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等”，探究得到∠A的另外兩個(gè)三角函數(shù)(余弦函數(shù)和正切函數(shù)).這樣教學(xué)內(nèi)容就能從“單線呈現(xiàn)”轉(zhuǎn)向“結(jié)構(gòu)化生長(zhǎng)”.數(shù)學(xué)學(xué)科本就是結(jié)構(gòu)性很強(qiáng)的一門科學(xué)，知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系不應(yīng)該被割裂.在結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系統(tǒng)攝下學(xué)習(xí)，學(xué)生非但不會(huì)因?yàn)槎鄬W(xué)了余弦和正切概念而對(duì)正弦函數(shù)概念產(chǎn)生干擾，反而很好地突出了數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性、結(jié)構(gòu)性和聯(lián)系性.引領(lǐng)學(xué)生在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行相近知識(shí)的主動(dòng)建構(gòu)，可以實(shí)現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中數(shù)學(xué)知識(shí)的自然結(jié)構(gòu)化生長(zhǎng)，有助于知識(shí)串線結(jié)網(wǎng)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.6 例題講解，理解概念

圖3

例1如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，求sinA,cosB,tanA的值.

設(shè)計(jì)說(shuō)明因?yàn)槭切率谡n，教師要規(guī)范書寫格式，但前提還是學(xué)生的獨(dú)立完成.通過(guò)對(duì)例題的思考與解答，可以幫助學(xué)生進(jìn)一步理解和熟悉概念；通過(guò)問題的刻意設(shè)置，還能有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)∠A與∠B互余時(shí)，相關(guān)三角函數(shù)之間會(huì)存在一定的規(guī)律，如sinA和cosB相等，tanA與tanB互為倒數(shù)等.

2.7 反思小結(jié)，能力提升

師生共同反思：

1)通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對(duì)直角三角形的性質(zhì)又有了哪些新的認(rèn)識(shí)？

2)在銳角三角函數(shù)中，誰(shuí)是誰(shuí)的函數(shù)？

3)通過(guò)本課學(xué)習(xí)，你感受到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

4)你對(duì)課堂上哪個(gè)問題的研究還有遺憾？

設(shè)計(jì)說(shuō)明前3個(gè)問題是幫助學(xué)生系統(tǒng)全面認(rèn)識(shí)課堂中所學(xué)知識(shí)、技能和方法的過(guò)程.實(shí)踐證明:課堂小結(jié)是課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)之一，是在分析和解決問題之后的思維提煉，它不僅有助于學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，掌握學(xué)科思想方法，還能促進(jìn)學(xué)生良好思維習(xí)慣、認(rèn)知方式的形成和批判性思維的發(fā)展.問題4能夠培養(yǎng)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)和提出問題”的能力，例題的解決還可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)3個(gè)三角函數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，為下節(jié)課的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

3 核心素養(yǎng)要求下的設(shè)計(jì)思考

3.1 在數(shù)學(xué)情境中培養(yǎng)學(xué)生的人格素養(yǎng)

數(shù)學(xué)情境是指在科技、人類和社會(huì)的進(jìn)步與發(fā)展中有杰出貢獻(xiàn)和積極意義的數(shù)學(xué)人文活動(dòng).羅增儒教授這樣定義數(shù)學(xué)情境，即數(shù)學(xué)情境具有抽象數(shù)學(xué)模型的必要因素和必要形式，是數(shù)學(xué)概念的原型、故鄉(xiāng)和源泉，是學(xué)生認(rèn)識(shí)抽象數(shù)學(xué)模型的“認(rèn)知基礎(chǔ)”，它能生動(dòng)地顯示相關(guān)概念的基本性質(zhì)，呈現(xiàn)相關(guān)法則的基本結(jié)構(gòu)[5].因此，要用好數(shù)學(xué)情境，幫助學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀念、思想和方法；從情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)求真、求善和求美的理性精神.本文選擇了比薩斜塔和阿利斯塔克測(cè)量地球到太陽(yáng)的距離與地球到月亮距離的倍數(shù)關(guān)系，兩個(gè)情境都體現(xiàn)了創(chuàng)新、創(chuàng)造的科學(xué)精神和理性思維、質(zhì)疑批判、勇于探究的數(shù)學(xué)精神.阿利斯塔克問題的解決展示了數(shù)學(xué)總喜歡將特殊向一般“推廣”,創(chuàng)造出更一般的“數(shù)學(xué)”,從而擴(kuò)展數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

3.2 在探究中培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力

在問題的探究中，學(xué)生可以運(yùn)用實(shí)驗(yàn)、操作、歸納、猜想、類比等合情化手段多角度地探索和嘗試，這有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維方法的調(diào)整與優(yōu)化，不只局限于單一性的數(shù)學(xué)邏輯推理和模仿，還會(huì)調(diào)動(dòng)學(xué)生的抽象思維、邏輯推理的積極性，使得學(xué)生在注重?cái)?shù)學(xué)邏輯思考的同時(shí)，又能發(fā)展逆向思維能力.在數(shù)學(xué)問題探究動(dòng)力的牽引下，學(xué)生更容易進(jìn)入一種思維情境并因此更加主動(dòng)、清晰、深入、系統(tǒng)地思考，從而讓學(xué)生的思維從低階走向高階，追求更有價(jià)值的數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)探索.

3.3 在歸納和小結(jié)中培養(yǎng)學(xué)生的思維方式

教學(xué)設(shè)計(jì)不應(yīng)過(guò)于偏重知識(shí)內(nèi)容的呈現(xiàn)，學(xué)生要真正掌握數(shù)學(xué)的概念和定理，首先就要領(lǐng)悟知識(shí)內(nèi)容背后所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)思維方式(即邏輯推理).這時(shí)歸納和小結(jié)的作用就尤為重要，這一環(huán)節(jié)既能幫助學(xué)生厘清數(shù)學(xué)概念“從哪里來(lái)，往哪里去”；又能讓學(xué)生學(xué)會(huì)“如何觀察”“如何發(fā)現(xiàn)”，還能培養(yǎng)學(xué)生按照“是什么”“為什么”“如何做”等進(jìn)行邏輯思考，使知識(shí)內(nèi)容在學(xué)生腦海中以循序漸進(jìn)、層次分明的思維框架呈現(xiàn)[6].因此，歸納和小結(jié)是學(xué)生思維活動(dòng)的動(dòng)力與核心，是形成形象思維、直覺思維、抽象思維、正向思維、逆向思維、邏輯思維以及創(chuàng)造性思維的有效途徑.

4 后記

數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要基礎(chǔ)，教學(xué)設(shè)計(jì)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié).只有設(shè)計(jì)出有價(jià)值的問題，配合科學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì)，才能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法的積累和生長(zhǎng)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)才會(huì)落地生根.核心素養(yǎng)強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生養(yǎng)成適應(yīng)社會(huì)發(fā)展與終身發(fā)展的必備品格與關(guān)鍵能力.學(xué)生的主體地位是關(guān)鍵，設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)問題必須關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展的水平、已有數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)問題探索的經(jīng)驗(yàn)，始終把促進(jìn)學(xué)生終身發(fā)展放在首位[4].

問題1幫助學(xué)生學(xué)會(huì)“有邏輯地思考”問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性.問題2中的數(shù)學(xué)史能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的好奇心，補(bǔ)充三角函數(shù)的發(fā)展史.學(xué)生在得知“395倍關(guān)系”后更會(huì)激起求知欲．思考問題最樸素、最常用的方法就是“利用已知來(lái)研究未知”，如果不能在正向思維(從已知到未知)下求出，那就從逆向思維(從未知到已知)著手，尋找一個(gè)適當(dāng)?shù)呐c其有關(guān)聯(lián)的問題，引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，經(jīng)歷實(shí)踐、猜想、驗(yàn)證等思維過(guò)程，將“四基”“四能”落到實(shí)處.優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，精心設(shè)計(jì)關(guān)鍵教學(xué)問題，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式、數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力、人格素養(yǎng)得到更好的發(fā)展.