從一道拋物線開放題的多向探究談探究教學(xué)

◎曹 一

(上海市育才中學(xué)，上海 201801)

在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)與學(xué)習(xí)中，發(fā)現(xiàn)和提出問題能有效地激活課堂，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，促進(jìn)學(xué)生對(duì)新問題進(jìn)行有效而且積極的探究，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)注重訓(xùn)練學(xué)生的解題能力，而學(xué)生善于準(zhǔn)確、高效地解決教材和教輔中呈現(xiàn)的問題，善于“學(xué)答”而不善于“學(xué)問”，從而忽視了培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，忽視了培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維、創(chuàng)新性思維

一、原始問題

已知直線=-2與拋物線:=2相交于，兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn)求證：⊥

整理得：-2-4=0，∴+=2，=-4，

∴=(+2)(+2)=+2(+)+4=4，

二、問題提出

上述習(xí)題由直線、拋物線、原點(diǎn)、垂直等基本要件構(gòu)成，如何能改變相關(guān)要件提出新的命題呢？首先，將上述命題推廣，使其成為特例，并做出解答；進(jìn)一步適當(dāng)改變或變換題目條件，提出問題，并進(jìn)行多向探究本文先進(jìn)行一般性探究，再從逆向、縱向、橫向探究，以上探究都能得到滿意的結(jié)論

(一)一般性探究

1已知直線=(-2)與拋物線:=2相交于、兩點(diǎn)求證：⊥

=1，即上述原始問題

設(shè)(,),(,),

得：-2-4=0，∴=-4

2已知直線=(-2)與拋物線:=2相交于，兩點(diǎn)求證：⊥

=1，=1，即上述原始問題

設(shè)(,),(,),

得：-2-4=0,∴=-4

通過上述研究，其中發(fā)生變化的量是斜率，定點(diǎn)(2,0),⊥沒有發(fā)生變化，本題中體現(xiàn)了變與不變的相對(duì)性及辯證性，⊥與無關(guān)，與定點(diǎn)(2,0)相關(guān)這里看似仍停留在傳統(tǒng)教學(xué)層面，但解題思維要靈活得多，要素分析得透徹，為后續(xù)深層挖掘做準(zhǔn)備

(二)逆向探究

3已知,在拋物線:=2(>0)上，且⊥求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)

設(shè)直線方程=(-)

∴=-4

得：-2-2=0,∴=-2

∴=-4=-2,∴=2

∴直線過定點(diǎn)(2,0)

4已知、在拋物線:=2(>0)上，點(diǎn)(,)是拋物線上一定點(diǎn)，且⊥求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)

∵⊥，∴=-1，

設(shè)直線:=(-)代入=2,

得:-2-2=0，

所以，過定點(diǎn)(+2,-)

直線的方程為：

?-(+)+2=0 (2)

即定點(diǎn)(+2,-)

5已知，在拋物線:=2(>0)上，(,)是拋物線上一定點(diǎn)，·=，求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)

上題中斜率乘積等于-1改為即可得證

∵⊥,∴·=

?-(+)+2=0 (2)

這里不僅有逆向思維，顯示了證法的多樣性，更將結(jié)論由特殊問題解決轉(zhuǎn)向一般問題解決促成思維的功能性發(fā)展，使提出問題的層面上升了一個(gè)臺(tái)階

(三)縱向探究

6已知，在拋物線:=2(>0)上，且⊥，⊥，垂足為求點(diǎn)的軌跡方程，并說明它表示什么曲線

由變式3可知，直線經(jīng)過定點(diǎn)(2,0)，又⊥,∴點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓(除去原點(diǎn))，其方程為(-)+=(>0)

7已知、在拋物線:=2(>0)上，點(diǎn)(,)是拋物線上一定點(diǎn)，且⊥⊥，求點(diǎn)的軌跡方程，并說明它表示什么曲線

8已知，在拋物線:=2(>0)上，點(diǎn)(,)是拋物線上一定點(diǎn)，=⊥，求點(diǎn)的軌跡方程，并說明它表示什么曲線

上述探究又轉(zhuǎn)到了另一個(gè)層面，把問題引申到縱向，完全體現(xiàn)問題研究的多樣性，既保持主要元素的不變性，又體現(xiàn)多元性只有把握住可變要素，才能做出精彩的探究，提出更精彩的問題

(四)橫向探究

從拋物線上看，完成證明還是比較容易的，但是變?yōu)闄E圓、雙曲線后，猜想結(jié)論成立，構(gòu)建命題比較容易，證明過于繁雜，只有勇于探究，一定能取得完美證明

設(shè)直線:=(+),

得(+)+2+-=0，

-2(1-)=(+)(+)+-)，(+)(+)

=-2(1-)-(+)(-)(+)(+)

=-(-)(+)

(-，0)，(，)，(，)，

得：(+)+2+-=0，

(+)(+)+=0，

(+)(+)+(+)(+)=0，

(1+)+(+)(+)++=0

(1+)(-)-2(+)

+(+)(+)=0，

(+)-2-(-)=0，

[(+)-(-)](-)=0,

代入直線:=+，得：

以下變式可讓學(xué)生課外小組進(jìn)行研究雖然證明過程、方法更為復(fù)雜，但是能夠吸引學(xué)生做深入研究，使學(xué)生獲得成就感

11過圓錐曲線上的一定點(diǎn)(,)作兩互相垂直的弦、，若非等軸雙曲線，則必過定點(diǎn)；若為等軸雙曲線則直線必有定向

證明可仿上

拋物線:=2，定點(diǎn)(+2,-)

12過圓錐曲線(雙曲線、非等軸雙曲線)上的一定點(diǎn)(,)任作兩互相垂直的弦，，聯(lián)結(jié)，過作的垂足，則點(diǎn)在定圓上

方法略，模仿拋物線可完成

設(shè)(，)，(，)，直線:=+,

得：(+)+2+-=0，

+(+)(+)=0，

(1+)++=0，

(1+)(-)-2+(+)=0

-+--2++=0,

--+=0，

(+)-(1+)=0，

∵||||=||||,

隨著新一輪的課程改革，研究性學(xué)習(xí)已經(jīng)走進(jìn)課堂，研究性試題也開始進(jìn)入高考試題中教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生敢于提出問題，積極構(gòu)建問題場景，創(chuàng)建新的學(xué)習(xí)平臺(tái)、學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)創(chuàng)新型、研究型人才落實(shí)探究教學(xué)，還課堂研究氛圍，活躍學(xué)生思維，提高提出問題、解題問題、探究問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高數(shù)學(xué)研究能力