基于時間序列預(yù)測模型的基坑監(jiān)測數(shù)據(jù)處理

楊月恒,左帥

(1.華北理工大學 礦業(yè)工程學院，河北 唐山 063210；2.華北理工大學 機械工程學院，河北 唐山 063210)

在基坑項目的基礎(chǔ)工作過程中，基坑被毀的事故時有發(fā)生，造成了一定的經(jīng)濟損失和人員傷亡，對基坑坍塌事故作出合理的解釋成為必不可少的環(huán)節(jié)?；幼冃问瞧毡榇嬖诘默F(xiàn)象，由于不同的隨機因素的影響，決定發(fā)展趨勢的變形是不定向的[1-2]。

基坑的理論研究[3-4]表明，理論、經(jīng)驗和監(jiān)測結(jié)合只是指導基坑工程設(shè)計和施工的重要途徑。一方面受復(fù)雜的地理條件、大幅度地開挖以及長時間地暴露等不可控性因素的影響，通過對基坑工程的動態(tài)監(jiān)測以及對工程建筑物結(jié)構(gòu)的牢固性進行檢測，分析各項監(jiān)測數(shù)據(jù)，判斷基坑的現(xiàn)狀以及未來的發(fā)展趨勢，依照情況及時對設(shè)計方案進行商討和調(diào)整，確?；又苓吔ㄖ陌踩?。另一方面，基坑工程的設(shè)計理論還不成熟，隨著監(jiān)測分析資料不斷豐富，能對一些假說進行驗證，為建立合適且實用的變形預(yù)測模型做好鋪墊。在基坑開挖過程中，理想值與監(jiān)測值之間往往存在差值，設(shè)計專家組要對基坑工程的動態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)進行綜合分析，檢查設(shè)置參數(shù)是否滿足要求，如果發(fā)現(xiàn)問題及時作出相應(yīng)的措施，為設(shè)計整改提供可靠的數(shù)據(jù)支撐；施工方根據(jù)每段時期的監(jiān)測數(shù)據(jù)，預(yù)測基坑變形未來發(fā)展狀況，針對基坑進行更準確的指導施工，以便積累不同階段的基坑施工的經(jīng)驗[5]。

1 時間序列預(yù)測模型

1.1 時間序列預(yù)測模型原理

時間序列分析法[5]是一種對數(shù)據(jù)進行處理的方法，它認為觀測所得到的數(shù)據(jù)值并不是單獨存在的，而是在這些觀測值數(shù)據(jù)之間隱藏著一種相互影響的關(guān)系，該關(guān)系能夠應(yīng)用時間序列分析來對系統(tǒng)所存在的發(fā)展趨勢以及動態(tài)變化作出解釋，利用觀測數(shù)據(jù)之間的這種自相關(guān)關(guān)系建立起預(yù)測模型，從而利用現(xiàn)存的觀測數(shù)據(jù)來預(yù)測未來發(fā)展趨勢。倘若時間序列數(shù)據(jù)量特別多時，該方法處理的效果會越好。時間序列分析模型分自回歸模型、滑動平均模型、自回歸滑動平均模型，其原理為：

設(shè)一組平穩(wěn)的數(shù)據(jù){Xt}，考慮Xt的取值和之前各個取值Xt-1，Xt-2…，Xt-n存在一定關(guān)系，此外還和干擾成分εt-1，εt-2，…，εt-m有著關(guān)聯(lián)(n,m=1,2,…)，一般根據(jù)多元線性回歸思想，取得模型表達式：

xt=a1xt-1+a2xt-2+…+anxt-n-β1εt-1-β2εt-2-…-βmεt-m+εt

(1)

(2)

式中，at(t=1,2,…,n)，為自回歸參數(shù)，βj(j=1,2,…,n)為滑動參數(shù)，{εt}為異常值序列。該式作為Xt的自回歸滑動平均模型，記為ARMA(n,m)模型。

且當βj=0時，也就是說明滑動參數(shù)等于0，式中只含有自回歸參數(shù)，則上式可化為

xt=a1xt-1+a2xt-2+…+anxt-n+εt

(3)

該公式稱為n階自回歸模型，記為AR(n)模型。

當at=0時，也就是說明自回歸參事等于0，式中只含有滑動參數(shù)，則上式可簡化為：

xt=εt-β1εt-1-β2εt-2-…-βmεt-m

(4)

本公式稱為m階滑動平均模型，記為MA(m)模型。

1.2 建模方法

時間序列模型的建模過程主要包括數(shù)據(jù)采集與預(yù)處理、模型識別、模型參數(shù)估計、模型檢驗和模型預(yù)測等幾大步驟[6-7]。通常情況下一次完整的建模過程需要多次重復(fù)實驗，不能以一次結(jié)果就作為最終結(jié)果，需要經(jīng)過多次模擬，才能得到合適的預(yù)測模型。

研究采用兩種方法，一是移動平均法，二是指數(shù)平滑法。

1)移動平均法。移動平均法[8]是以原始數(shù)據(jù)值為發(fā)展基礎(chǔ)，通過建立好的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)，對未來值進行補充。中心思想是在數(shù)據(jù)中找到時間序列的信息，計算平均值，從而找到數(shù)據(jù)發(fā)展的趨勢。當受主觀和客觀因素的影響時，數(shù)據(jù)之間存在落差較大，無法正確地呈現(xiàn)出事件發(fā)展。移動平均法可以解決這一難題，進而準確地表現(xiàn)出事件的新進展。

計算過程為：

(5)

式中：ft為第t期的預(yù)測值；Xt為第t期的實際值；n為分段平均中數(shù)據(jù)的個數(shù)。

移動平均法容易上手，容易被學者接受，但也存在著一些不足：它要求保留充足的先前數(shù)據(jù)，且每個數(shù)據(jù)分配到的權(quán)重是相同的，還不需要考慮數(shù)據(jù)距離現(xiàn)在時間的長短，通常默認時間長短并不影響預(yù)測結(jié)果；第t+1期的預(yù)測值就是第t期的數(shù)據(jù)應(yīng)用一次移動平均法計算出來的數(shù)據(jù)，當時間序列呈現(xiàn)出了明顯的線性趨勢時，該預(yù)測趨勢比原始數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的趨勢有一定的延遲。

2)指數(shù)平滑法。指數(shù)平滑法[9-10]是一種特殊的改變權(quán)重的移動平均法。主要差別是對于過去的觀測值的態(tài)度，指數(shù)平滑法給予數(shù)據(jù)不一樣的權(quán)重，近期數(shù)據(jù)的權(quán)重數(shù)比早期數(shù)據(jù)的權(quán)重數(shù)要大，最后處理得到的預(yù)測值就是之前所有觀測值的加權(quán)和。該方法是通過平滑系數(shù)的大小來呈現(xiàn)近期和遠期的數(shù)據(jù)對預(yù)測結(jié)果的影響效果，只要簡單地改變α的值便可改變指數(shù)平滑預(yù)測模型的敏感程度和預(yù)測的能力[11]。

隨著起始時間的距離越來越遠，一組數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出按照指數(shù)的方式減少的權(quán)數(shù)序列，此序列可定義為：

α+α(1-α)+α(1-α)2+α(1-α)3+…+

α(1-α)n

顯然，上式是一個幾何級數(shù)，當0 <α< 1，n→∞時，此級數(shù)收斂，收斂于1，序列只是無限接近于單位和1，卻永遠取不到單位和1，隨著時間的推移，序列開始遞減。

設(shè)用指數(shù)加權(quán)序列來求解其平均數(shù)μt：

μt=αdt+α(1-α)dt-1+α(1-α)2dt-2+

α(1-α)3dt-3+…

(6)

式中：dt為第t期的實際值；μt為第t期對下一期的預(yù)測。

對于式(6)進行變形可得(7)式：

μt=αdt+(1-α)[αdt-1+α(1-α)dt-2+

α(1-α)2dt-3+…]

(7)

將式(6)中μt用μt-1代替，把式中每個下標減1，可以得到下面的加權(quán)平均數(shù)：

μt-1=αdt-1+α(1-α)dt-2+α(1-α)2dt-3+

α(1-α)3dt-4…

(8)

μt-1為式(7)方括號中內(nèi)容，將其代入式(7)，得到指數(shù)加權(quán)平均基本式：

μt=αdt+(1-α)μt-1

(9)

應(yīng)用式(9)時注意：μt-1為上期的平滑值(預(yù)測值)；μt為本期的平滑值(預(yù)測值)；dt為本期的實際值。

常以第1期的實際值d1作為第2期的預(yù)測值μ1，即令μt=d1。

只要簡單地改變α的值便可改變指數(shù)平滑預(yù)測模型的敏感程度以預(yù)測的能力，α值越高，預(yù)測值的靈敏度就越高，α值越低則越平穩(wěn)。實踐中很少采用過低或者過高的值。

根據(jù)平滑次數(shù)的不同分為：一次、二次及三次指數(shù)平滑等。但是其基本思想不會隨著平滑次數(shù)的改變而發(fā)生改變，不同數(shù)值在整個過程中所享有的比重不同，預(yù)測值是所有值的加權(quán)和。

一次指數(shù)平滑法其預(yù)測模型為：

μt+1=αdt+(1-α)μt

(10)

式中：α為平滑系數(shù)(指數(shù)平滑系數(shù)與阻尼系數(shù)的“平滑系數(shù)+阻尼系數(shù)=1”)；dt為原始數(shù)據(jù)序列，以第t周期的一次指數(shù)平滑值作為第t+1周期的預(yù)測值。

二次指數(shù)平滑法：根據(jù)一次指數(shù)平滑值，再進行一次指數(shù)平滑，最后建立預(yù)測模型。

二次指數(shù)平滑的預(yù)測模型為：

y=at+btT,T=1,2,…

(11)

三次指數(shù)平滑法：利用二次指數(shù)平滑值，在其上再進行一次平滑。

三次指數(shù)平滑法的預(yù)測模型為：

y=at+btT+ctT2

(12)

其中，at=3μt-3st+vt，

(4-3α)vt]，

2 工程實例概況

某工程的布設(shè)觀測點總共22個點，從2019年6月13日到10月7日，間隔兩天采集一次數(shù)據(jù)，總共54期數(shù)據(jù)。點4在8月19號受到破壞，在8月25日進行了重置；點8在8月14日被柱埋，在8月25日進行了重置；點10在7月30日被墻埋，在8月16日進行了重置；點13、14在8月6日被墻埋，從8月14日正常測量；其中點20、21、22從8月6日開始測量。本文所使用的的數(shù)據(jù)主要源于基坑周圍環(huán)境的沉降數(shù)據(jù)。利用本文介紹的移動平均法和指數(shù)平滑法兩種方法對基坑變形監(jiān)測數(shù)據(jù)進行預(yù)測，通過預(yù)測結(jié)果比較出更具可靠性的方法。

3 基坑變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理

3.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

變形監(jiān)測數(shù)據(jù)預(yù)處理使用小波去噪的方法?？梢酝ㄟ^MATLAB軟件中自帶的小波工具箱來實現(xiàn)，選擇biorNr.Nd函數(shù)進行數(shù)據(jù)預(yù)處理。biorNr.Nd函數(shù)主要應(yīng)用于信號與圖像的重構(gòu)，能夠解決分解和重構(gòu)的問題。當應(yīng)用于處理建筑物沉降的數(shù)據(jù)時，具有比較大的技術(shù)優(yōu)勢，采用雙正交小波，具有良好的線性和相位性，能夠很好地解決實際建筑工程的設(shè)計應(yīng)用中的很多復(fù)雜問題。

選擇雙線性小波bior3.3函數(shù)進行分解，分離層數(shù)5層，分解過后，接下來對數(shù)據(jù)進行修正，如圖1所示，處理后的信號更加平滑了，去噪過程要選擇不同的函數(shù)和閾值處理，不斷調(diào)整最合適的參數(shù)，從而達到最好的效果。

3.2 基坑變形監(jiān)測數(shù)據(jù)對比分析

1)移動平均法。由于基坑監(jiān)測數(shù)據(jù)量比較龐大，本次研究只對第一個點進行數(shù)據(jù)處理分析，當N=2時，一次移動平均誤差平方和為12.678 7；當N=3時，一次移動平均誤差平方和為21.318 0。針對N=2、3的計算結(jié)果進行對比分析，可以發(fā)現(xiàn)當N=2時，誤差的平方和相對來說更小，所以當N=2時的預(yù)測值更貼近于原始數(shù)據(jù)。

圖1 去噪結(jié)果

選擇N=2，對原始數(shù)據(jù)進行兩次移動平均，一次移動平均的誤差平方和為12.678 7，MSE為0.243 8；二次移動平均的誤差平方和為0.671 8，MSE為0.013 4。通過對比，發(fā)現(xiàn)二次移動平均的誤差平方和以及均方誤差均比一次移動平均小，而且差距明顯，因此用二次移動平均對數(shù)據(jù)進行預(yù)測相對來說比較合適。

2)指數(shù)平滑法。由于選擇阻尼系數(shù)的大小不能確定，憑借經(jīng)驗[9-11]找到一個大致區(qū)間，再進一步確定。為確保最后的結(jié)果更加準確，選擇α為0.8、0.4、0.2進行試驗，由圖2可以看出，當阻尼系數(shù)為0.2時，第1期到第17期的預(yù)測值比其他兩個圖更貼近于原始數(shù)據(jù)，要選擇阻尼系數(shù)為0.2，為了進一步確定阻尼系數(shù)的大小，接下來就又實驗了阻尼系數(shù)為0.1、0.2、0.3。

圖2 阻尼系數(shù)

當阻尼系數(shù)為0.1時，其誤差的平方和為7.070 0，均方誤差為0.133 4；當阻尼系數(shù)為0.2時，其誤差的平方和為8.801 9，均方誤差為0.166 1；當阻尼系數(shù)為0.3時，其誤差的平方和為11.251 1，均方誤差為0.212 3。利用不同阻尼系數(shù)對原始數(shù)據(jù)進行一次指數(shù)平滑得到相應(yīng)的預(yù)測值，通過計算各個不同阻尼系數(shù)產(chǎn)生的預(yù)測值與原始數(shù)據(jù)的誤差的平方和以及均方誤差，可以得到，當阻尼系數(shù)為0.1時，更加貼近于原始數(shù)據(jù)，因此接下來的二次平滑以及三次平滑都將以阻尼系數(shù)為0.1為基礎(chǔ)。

由于沉降數(shù)據(jù)的本身具備的特點，需要再次進行指數(shù)平滑，二次指數(shù)平滑的誤差平方和為0.789 9，MSE為0.015 2；三次指數(shù)平滑的誤差平方和為0.015 2，MSE為0.009 2。通過對誤差平方和、均方誤差進行比較，可以發(fā)現(xiàn)，當阻尼系數(shù)為0.1，且進行三次指數(shù)平滑時，誤差平方和、均方誤差比較小。

3)預(yù)測模型的對比分析。通過以上兩節(jié)的數(shù)據(jù)處理和分析，可以發(fā)現(xiàn)：當采用移動平均法進行數(shù)據(jù)預(yù)測時，選擇合適的間距對數(shù)據(jù)進行二次移動平均，其誤差的平方和相對來說比較小；當采用指數(shù)平滑法進行數(shù)據(jù)預(yù)測時，調(diào)整適宜的阻尼系數(shù)，對數(shù)據(jù)進行三次指數(shù)平滑，誤差的平方和相對來說比較小。當對這三種預(yù)測模型進行對比時，可以發(fā)現(xiàn)：三次指數(shù)平滑比二次指數(shù)平滑、二次移動平均更能夠準確地描述未來基坑的發(fā)展狀況與趨勢。

為了能夠得到更準確且合適的預(yù)測模型，且適合本次監(jiān)測數(shù)據(jù)，對第二組、第三組數(shù)據(jù)進行二次移動平均、二次指數(shù)平滑、三次指數(shù)平滑，見表1、表2。

表1 第二組數(shù)據(jù)三種預(yù)測模型結(jié)果

表2 第三組數(shù)據(jù)三種預(yù)測模型結(jié)果

由表1、表2可知：三次指數(shù)平滑的誤差平方和、均方誤差比二次移動平均、二次指數(shù)平滑小，由此可以確定三次指數(shù)平滑更能準確地擬合基坑沉降數(shù)據(jù)的時序分析。

3.3 預(yù)測模型的預(yù)測分析

根據(jù)上節(jié)的預(yù)測模型的對比分析，最后選擇三次指數(shù)平滑作為研究基坑變形的預(yù)測模型。根據(jù)第一組的54組數(shù)據(jù)，預(yù)測出第55、56、57期的數(shù)據(jù)，其結(jié)果見表3。

表3 指數(shù)平滑

此次研究只計算第55期預(yù)測值的置信區(qū)間，其過程為：

置信區(qū)間的上限為：

置信區(qū)間的下限為：

令顯著水平a=0.05，定義預(yù)測模型數(shù)據(jù)處理的預(yù)測值的置信區(qū)間：(9.755 6,10.139 8)，當未來的實際值落在置信區(qū)間內(nèi)時，認為預(yù)測模型數(shù)據(jù)處理的預(yù)測值可信。

4 結(jié)論

本文主要討論了基于某基坑工程的監(jiān)測數(shù)據(jù)，經(jīng)過一系列的小波去噪，然后建立時間序列預(yù)測模型，其中選擇最具代表性的兩種方法——移動平均法和指數(shù)平滑法，以實驗數(shù)據(jù)作為基礎(chǔ)，接著又進行了基坑發(fā)展趨勢分析，最終選擇三次指數(shù)平滑作為預(yù)測模型。其主要內(nèi)容為：

1)利用時間序列預(yù)測方法中的移動平均法、指數(shù)平滑法對數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)處理和分析，發(fā)現(xiàn)三次指數(shù)平滑模型的誤差平方和以及均方誤差這兩種精度評定指標均小于其他任何一種預(yù)測模型，由此選擇三次指數(shù)平滑模型作為預(yù)測模型。再利用其他的點進行以上預(yù)測模型的數(shù)據(jù)處理和分析，同樣從這兩種精度評定指標出發(fā)，對第二組、第三組數(shù)據(jù)處理結(jié)果對比分析，進一步驗證了三次指數(shù)平滑模型優(yōu)于其他預(yù)測模型。

2)利用構(gòu)建的三次指數(shù)平滑預(yù)測模型，對第一個點的第55、56、57期進行預(yù)測，并做出第55期數(shù)據(jù)的置信區(qū)間，當未來的實際值落在置信區(qū)間內(nèi)時，認為構(gòu)建的三次指數(shù)預(yù)測模型的預(yù)測值可信。

3)通過大量的實驗發(fā)現(xiàn)，一次指數(shù)平滑將會更適合處理直線型基坑監(jiān)測數(shù)據(jù)，能夠很容易地描述出原始值的變化的形態(tài)與趨勢，雖然有一定的滯后性，但是有著比較突出的時間性及季節(jié)性；二次指數(shù)平滑可以通俗地說成加強版的一次指數(shù)平滑，也就是，可以應(yīng)用于直線型基坑監(jiān)測數(shù)據(jù)處理，而且處理的效果要比一次指數(shù)平滑稍微好些，滯后性比較??；三次指數(shù)平滑可以應(yīng)用于拋物線型的基坑監(jiān)測數(shù)據(jù)處理，通常建立非線性模型。由于本次的基坑的沉降位移經(jīng)過小波去噪的處理，數(shù)據(jù)所形成的曲線都呈現(xiàn)出非線性，針對這一現(xiàn)象，最后選擇三次指數(shù)平滑法，這樣能夠更準確地描述基坑數(shù)據(jù)未來的發(fā)展形態(tài)和趨勢。