矩陣方程的秩約束最小二乘對稱半正定解及其最佳逼近

喻思婷，彭靖靜，彭振赟

(桂林電子科技大學 數(shù)學與計算科學學院，廣西 桂林 541004)

矩陣方程AX=B及其最佳逼近是研究成果最多、最為成熟的一類矩陣方程。Bjerhammar[1]利用廣義逆給出矩陣方程有解的充分必要條件及一般解的表達式；廖安平[2]、Higham[3]、Allwright[4]分別討論了線性流形約束解、最小二乘對稱解和對稱半正定最小二乘解；Dai[5]利用矩陣奇異值分解方法給出有對稱解的充分必要條件及有解時一般解的表達式；張磊等[6]討論了線性流形約束雙對稱解；Xie等[7]、彭振赟[8]分別討論了反對稱次對稱解和子矩陣約束解；Li等[9]討論了列元素約束最小二乘解；徐安豹等[10]討論了范數(shù)約束最小二乘解；彭金風等[11]討論了D-對稱半正定最小二乘解；李媛等[12]、張四保等[13]分別討論了可雙對稱化解和主理想環(huán)上的對稱解。本文討論矩陣方程AX=B的秩約束最小二乘對稱半正定解及其最佳逼近的數(shù)值計算方法。問題描述如下：

(1)

(2)

基于矩陣的奇異值分解和對稱矩陣的譜分解，本文給出問題1和問題2有解的充分必要條件以及問題1和問題2有解時解的一般表達式，給出求解最佳逼近解的計算步驟，用數(shù)值例子說明結果的正確性。

1 問題1和2的解

引理1[14]設E、G分別是r×r階和(n-r)×(n-r)階矩陣，則

是對稱半正定矩陣的充分必要條件為

引理2[15]設F∈Rn×n，D=diag(d1,d2,…,dn)>0，則最小二乘問題

存在唯一解，且其唯一解可以表示為

式中：P∈ORn×n,Σ1=diag(λ1,…,λr)>0，Σ2=diag(λr+1,…,λn)≤0,則最小二乘問題

存在唯一解，且其唯一解可以表示為

引理3設矩陣A的奇異值分解為

(3)

式中:U=(U1,U2)∈ORm×m;U1∈Rm×r;V=(V1,V2)∈ORn×n;V1∈Rn×r,Σ=diag(σ1,σ2,…,σr)>0;r=rank(A)。令

(4)

(5)

(6)

有解的充要條件是

(7)

并且有解時其解可以表示為

(8)

證明令

(9)

由范數(shù)的正交不變性可得

因此，

(11)

(12)

由式(10)、(12)有

(13)

(14)

(15)

s+2t≤p≤n-r+s+t。

(16)

并且當式(15)、(16)成立時，問題1的解可以表示為

(17)

式中：

(18)

則由式(8)可知

(19)

令

則由式(14)、(19)可知

(20)

令

則有

(21)

(22)

式中

由式(22)和引理1可得如下結果：

① min rank(X)=s+2t?G11=0,G12=0,G22=0。

由①、②、式(8)、(22)及引理1可知，問題1有解的充分必要條件是式(15)、(16)成立，并且當式(15)、(16)成立時，其解可以表示為式(17)。證畢。

為了方便給出問題2的解，先給出如下引理。

引理4[16]假設對稱矩陣M的譜分解為

式中：U∈ORn×n；Σ1=diag(σ1,σ2,…,σr)；σ1≥σ2≥…≥σr>0；Σ2=diag(σr+1,σr+2,…,σn)；0≥σr+1≥…≥σn, 則最佳逼近問題

有解的充分必要條件是0

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

s+2t≤p≤s+2t+r2。

(28)

并且有解時其解可以表示為

(29)

證明注意到

由式(17)和Frobenius范數(shù)的正交不變性有

(30)

由式(23)、(30)可得

(31)

(32)

類似定理1的證明可知問題(31)有解的充分必要條件是

且有解時其解可以表示為

由引理4可知問題(32)有解的充分必要條件是式(28)成立，且有解時其解可以表示為

證畢。

2 算法與數(shù)值例子

基于第1章討論結果，本章給出求解最佳逼近問題2的唯一解的計算步驟。

① 輸入矩陣A、B、X*和正整數(shù)p；

② 按式(3)將矩陣A進行奇異值分解；

③ 按式(4)將矩陣UTBV進行分塊；

⑥ 若式(15)、(16)滿足，則轉第⑦步，否則，問題2無解；

⑨ 若式(27)、(28)滿足，則轉第⑩步，否則，問題2無解；

例1給定正整數(shù)p=4，矩陣A、B和X*如下(Matlab格式生成，A=randn(13,11),B=randn(13,11),X*=randn(11,11)):

3 結語

矩陣方程的秩約束解在最優(yōu)化控制、魯棒優(yōu)化和統(tǒng)計分析等領域有重要應用[17-18]。基于矩陣奇異值分解和對稱矩陣的譜分解，本文給出矩陣方程AX=B有秩約束最小二乘對稱半正定解及其最佳逼近解的充分必要條件及有解時解的一般表達式，給出求解最佳逼近解的計算步驟，用數(shù)值例子說明結果的正確性。還有諸多有待于進一步研究的問題，如AXB=C和AX+XB=C等矩陣方程的秩約束最小二乘對稱解、對稱半正定解、非負解問題等。