厚壁圓筒自增強(qiáng)幾個(gè)關(guān)鍵問題辨析*

朱瑞林　李　權(quán)

（湖南師范大學(xué)工程與設(shè)計(jì)學(xué)院)

厚壁圓筒自增強(qiáng)幾個(gè)關(guān)鍵問題辨析*

朱瑞林**李權(quán)

（湖南師范大學(xué)工程與設(shè)計(jì)學(xué)院)

摘要以塑性區(qū)深度表征超應(yīng)變度，研究了不同的超應(yīng)變度計(jì)算方法對自增強(qiáng)圓筒有關(guān)應(yīng)力及承載能力的影響，分析了不同的超應(yīng)變度計(jì)算方法所產(chǎn)生的效果，提出了相關(guān)的計(jì)算公式和圖表。

關(guān)鍵詞厚壁圓筒自增強(qiáng)承載能力超應(yīng)變度壓力容器

0　前言

描繪自增強(qiáng)圓筒應(yīng)力分布與承載能力等的參數(shù)和計(jì)算式紛繁復(fù)雜且相互密切聯(lián)系，這些參數(shù)的變化往往引起自增強(qiáng)圓筒應(yīng)力分布與承載能力等的相應(yīng)變化，且牽一發(fā)而動全身。盡管實(shí)際使用的自增強(qiáng)圓筒的應(yīng)力未必完全精確地由這些參數(shù)和公式刻畫，但對于材料完全彈塑性且各向同性、不計(jì)包辛格 （Bauschinger）效應(yīng)、不計(jì)應(yīng)變硬化、材料沒有缺陷且橫截面為絕對圓形的圓筒，其應(yīng)力分布與承載能力等特性理論上一定是由這些參數(shù)和計(jì)算式?jīng)Q定的。實(shí)際使用的自增強(qiáng)圓筒，其應(yīng)力情況與承載能力等也必須以理論結(jié)果為基礎(chǔ)，或者說應(yīng)該采用理論研究結(jié)果并在理論基礎(chǔ)上進(jìn)行修正。

對于自增強(qiáng)的具體工程問題，國內(nèi)外不少學(xué)者進(jìn)行了一系列研究，例如，文獻(xiàn) [1-3]便是典型的研究，這些研究都運(yùn)用了自增強(qiáng)技術(shù)的一般理論。本文著眼于一般的理論研究，針對上述理想情況下的圓筒，按第三強(qiáng)度理論進(jìn)行分析計(jì)算，以便得到一般的規(guī)律。至于實(shí)際使用的自增強(qiáng)圓筒，不妨在此基礎(chǔ)上加以修正。

超應(yīng)變度是關(guān)鍵參數(shù)，故本文從超應(yīng)變度出發(fā)著手研究。為方便起見，本文以塑性區(qū)深度表征超應(yīng)變度。

1　超應(yīng)變度的確定方法及其比較

由文獻(xiàn) [4-7]中關(guān)于自增強(qiáng)的理論結(jié)果，可以導(dǎo)出彈塑性界面處總應(yīng)力的當(dāng)量應(yīng)力σejT為

式中σy——屈服限；

k——徑比，即內(nèi)外半徑之比；

kj——塑性區(qū)深度，為塑性區(qū)半徑與內(nèi)半徑之比，kj與超應(yīng)變度ε的關(guān)系是ε=(kj-1)/k；

p——圓筒所承受的內(nèi)壓。

本文以p/σy表征承載能力。同時(shí)也可導(dǎo)出內(nèi)壁面上殘余應(yīng)力的當(dāng)量應(yīng)力σei′為

有的文獻(xiàn) （如文獻(xiàn) [4,5]）提供了一個(gè)確定塑性區(qū)深度的公式，其原則是使σejT最小，結(jié)果是

此時(shí)σejT/σy的最小值為

下面研究按式 （3）確定塑性區(qū)深度時(shí)，內(nèi)壁面上殘余應(yīng)力的當(dāng)量應(yīng)力如何表達(dá)。為此，將式 （3） 代入式（2）， 得

對式 （5），令σei′/σy≥-1，得

針對式 （6），分4種情況討論。

（1）第一種情況：

此時(shí)，為使σei′/σy≥-1，應(yīng)有

（令2.218 457 489 916 7…=kc，kc可稱為臨界徑比）即只有當(dāng)kj≤kc，亦即p/σy=lnkj≤0.796 812…時(shí)，k≥kj；kj≥kc，即 p/σy=lnkj≥0.796 812…時(shí)，k≤kj，工程上無意義。0.5≤p/σy≤0.796 812…對應(yīng)于e0.5≤kj≤kc。

（2）第二種情況：

此時(shí)，為使σei′/σy≥-1，應(yīng)有

（3）第三種情況：

這種情況為不可能事件。

（4）第四種情況：

滿足上式時(shí)，式 （6）必成立。即ln20.5≤p/σy≤0.5時(shí)，必有σei′/σy≥-1， 亦即按kj=ep/σy確定塑性區(qū)深度時(shí)，若ln20.5≤p/σy≤0.5，卸除自增強(qiáng)壓力后不發(fā)生壓縮屈服。ln20.5≤p/σy≤0.5對應(yīng)于20.5≤kj≤e0.5。

式 （6）所表示的k~p/σy關(guān)系 （取等號）如圖1中實(shí)曲線bac、df兩段所示，圖中虛曲線dah是kj= exp(p/σy)，借此可清晰地比較k、kj的大小關(guān)系。式（6） 取等號后將 k對 p/σy求導(dǎo)可得：p/σy= 0.796 812…時(shí)，k有極小值kc（即圖1中點(diǎn)a）。這一結(jié)果也可結(jié)合式 （7）、式 （8）分析而知。點(diǎn)a把曲線bac分成ba、ca兩部分。p/σy=0.5時(shí)，k=∞。圖1中ba部分的k～p/σy關(guān)系交換縱、橫坐標(biāo)后重繪于圖2，該圖同時(shí)繪出了最大彈性承載能力pe/σy、全屈服壓力py/σy和 σejT/σymin，以便于分析、比較。圖1中ba、ca部分實(shí)際上反映的是承載能力，承載能力的解析式就是式 （6），這是一個(gè)以k為自變量、p/σy為因變量的隱式。由圖2可知，按kj=exp(p/σy)確定塑性區(qū)深度，按式 （6）確定承載能力，可使σejT/σymin遠(yuǎn)小于1， 且k越大，σejT/σymin越小。

圖1　曲線k22p/σy-2

圖2　kj=exp(p/σy)時(shí)的承載能力與σejT/σymin

利用kj=exp(p/σy)關(guān)系可將圖1中ba、ca部分所表示的k～p/σy關(guān)系轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的k～kj關(guān)系，分別如圖3、圖4所示。

按照kj=exp(p/σy)的關(guān)系，ca部分所對應(yīng)的塑性區(qū)深度有kj＞k（kj在圖3中直線kj=k之上），ca部分所對應(yīng)的承載能力有p/σy≥lnk，這種情況在工程上無意義。而同樣按照kj=exp(p/σy)的關(guān)系，ba部分所對應(yīng)的塑性區(qū)深度有kj＜k（kj在圖4中直線kj=k以下），ba部分所對應(yīng)的承載能力有p/σy≤lnk（比較圖2中曲線ai、ab）。但由圖 2可以看到，承載能力p/σy是隨著k的增大而下降的。也就是說，若既要使σejT/σy最小，又要保證不發(fā)生壓縮屈服，就只能按式（6）確定承載能力，而式（6）對應(yīng)于曲線ba部分 （ca部分因kj＞k而無意義）的情況表明圓筒越厚，承載能力反而越低，這不符合工程事實(shí)。導(dǎo)致這種現(xiàn)象發(fā)生實(shí)際上是由于采用了 “彈塑性界面上總應(yīng)力最小”這一原則，kj=exp(p/σy)便是這一原則的結(jié)果。所以 “彈塑性界面上總應(yīng)力最小”這一原則是值得商榷的。

圖3　kj＞k時(shí)的k～kj關(guān)系

圖4　kj=exp(p/σy)時(shí)避免壓縮屈服的塑性區(qū)深度

利用kj=exp(p/σy)可將式 （6）轉(zhuǎn)換成

從圖2看到，按kj=exp(p/σy)確定塑性區(qū)深度， 按式（6） 確定承載能力，σejT/σymin遠(yuǎn)小于 1。于是設(shè)想，若按kj=exp(p/σy)確定塑性區(qū)深度，而使σejT/σy=1，情況將如何呢？這只要把kj=ep/σy代入式 （10）即可得到

此時(shí)kj=exp(p/σy)=k，即需要作全屈服的自增強(qiáng)處理才能使圓筒承載后彈塑性界面總應(yīng)力σejT/σy= 1。但是，全屈服狀態(tài) （kj=k）下，欲不產(chǎn)生壓縮屈服，根據(jù)式 （9）應(yīng)有

由此導(dǎo)出k≤kc，徑比超過kc的圓筒作全屈服自增強(qiáng)處理時(shí)一定會發(fā)生壓縮屈服；徑比小于kc的圓筒作全屈服自增強(qiáng)處理后其承載能力可達(dá)到全屈服壓力。

即使不考慮kj=exp(p/σy)的關(guān)系，也可以證明當(dāng)p/σy=lnk時(shí)，為使σejT/σy=1，也須有kj=k。為此將p/σy=lnk代入式 （10），整理后得

將p與pe作比較，可清楚地看出自增強(qiáng)的效果，為此令

將式 （6）取等號，利用式 （14）將p/σy另換算成n，把式 （6）的結(jié)果列于表1，并將n~k關(guān)系繪于圖5，以備工程上查用。

表1　k與p/σy的數(shù)值關(guān)系（0.5≤p/σy≤0.796 812…）（σei′/σy=-1，σejT/σy最?。?/p>

圖5　使σejT/σy最小、σei′/σy=-1的n～k關(guān)系

下面比較總應(yīng)力的分布情況。以k=3為例，不發(fā)生壓縮屈服時(shí)，kj=1.748 442。按照文獻(xiàn) [6]的觀點(diǎn)，這樣的圓筒可承載p=2pe=(8/9)σy，圖6（a）是這種情況下的總應(yīng)力分布。按照kj=exp(p/σy)的觀點(diǎn)，這樣的圓筒可承載p=lnkj=0.558 725…σy。圖6（b）是這種情況下的總應(yīng)力分布。若不考慮壓縮屈服問題，承受p=2pe=(8/9)σy的載荷時(shí)，按照kj=exp(p/σy)的觀點(diǎn)，kj=2.432 425…，總應(yīng)力分布如圖6（c）所示。kj=1.748 442、p=0.8σy的總應(yīng)力分布如圖6（d）所示。有關(guān)參數(shù)標(biāo)注在相應(yīng)的圖中，圖中x代表筒壁中點(diǎn)的相對位置，即點(diǎn)的半徑與內(nèi)半徑之比。

圖6　總應(yīng)力分布的比較

由圖6看到，由于其中圖（a）、(c)、(d)三種情況下圓筒受載較大，故應(yīng)力水平較高，但在安全范圍內(nèi)；而圖（b）情況下圓筒受載較小，故應(yīng)力水平較低。在圖（a）情況下，由于kj由式（9）確定且p=2pe，故整個(gè)塑性區(qū)總應(yīng)力的當(dāng)量應(yīng)力σeT/σy≡1。在圖（d）情況下，kj由式 （9）確定，載荷比 2pe略小，因而σeT/σy從內(nèi)壁面略小于1開始緩慢上升至彈塑性界面處等于 1。值得注意的是，要承受 p= 0.558 725…σy的載荷，按照文獻(xiàn) [6]的觀點(diǎn)，即p/σy=(k2-1)/k2=0.558 725，從而 k=1.505 377…＜kc。由于當(dāng)k＜kc時(shí)，(k2-1)/k2＞lnk，按p/σy=(k2-1)/k2承載會使 σejT/σy＞1， 由此只能按 p/σy=lnk承載，但ln1.505 377…＜0.558 725…，故要承受p= 0.558 725…σy的載荷，可利用k=kj=1.748 442的圓筒作全屈服自增強(qiáng)處理，既不會發(fā)生壓縮屈服，也可承載p/σy=lnk=0.558 725…的載荷。事實(shí)上，表1中對所有k都有kj＜kc，為承受表1第2欄的載荷，不必使用第1欄的徑比，而只需使用徑比k=kj的圓筒作全屈服自增強(qiáng)處理即可。例如，為承受p/ σy=0.538 103的載荷，不必使用k=3.5的圓筒，而只需使用k=1.712 755的圓筒。對該圓筒作全屈服自增強(qiáng)處理，即可承受p/σy=0.538 103的載荷。這樣，厚度可降低，即

對于p/σy≤0.796 812的載荷，都可以采用全屈服自增強(qiáng)處理的圓筒，使其承受p/σy=lnk載荷。至于p/σy＞0.796 812的載荷，若以kj=exp(p/σy)確定塑性區(qū)深度，會發(fā)生反向屈服，見下述的算例。

2　算例驗(yàn)證

例1，k=3。

①按式（9），不發(fā)生反向屈服的kj=1.748 442，承載能力為p/σy=2pe/σy=0.889。按式（1），σejT/σy= 1； 按式（2）， σei′/σy=-1。

② p/σy=0.889（＞0.796 812） 時(shí)， 按式（3），kj=2.432。 kj=2.432時(shí)， 按式（1）， σejT/σy=0.935；按式 （2），σei′/σy=-1.385 （壓縮屈服）。

③為了不發(fā)生壓縮屈服，由k=3查表1得p/σy=0.558 725。此時(shí)，按式（3），kj=1.748 442，與上述第①種情況相同；按式 （1），σejT/σy=0.757；按式 （2），σei′/σy=-1 （不發(fā)生壓縮屈服）。

例2，k=5。

①按式（9），不發(fā)生反向屈服的kj=1.675 565，承載能力為p/σy=2pe/σy=0.96。按式 （1），σejT/σy=1；按式 （2），σei′/σy=-1。

②p/σy=0.96時(shí)，按式（3），kj=2.612，kj=2.612時(shí)，按式（1）， σejT/σy=0.889；按式（2），σei′/σy= -1.757（壓縮屈服）。

③為了不發(fā)生壓縮屈服，由k=5查表 1得p/σy=0.516 15。此時(shí)，按式 （3），kj=1.675 565，與上述第①種情況相同； 按式（1）， σejT/σy=0.671；按式 （2），σei′/σy=-1（不發(fā)生壓縮屈服）。

3　結(jié)論

本文以塑性區(qū)深度表征超應(yīng)變度，研究了不同的超應(yīng)變度計(jì)算方法對自增強(qiáng)圓筒有關(guān)應(yīng)力及承載能力的影響，分析了不同的超應(yīng)變度計(jì)算方法所產(chǎn)生的效果，提出了相關(guān)的計(jì)算公式和圖表。因此，有下面的結(jié)論：

（1）按 kj=ep/σy確定塑性區(qū)深度， 可使彈塑性界面處總應(yīng)力的當(dāng)量壓力最小，且遠(yuǎn)小于屈服限；為使內(nèi)壁面殘余應(yīng)力的當(dāng)量壓力不超過屈服限 （不發(fā)生壓縮屈服），相應(yīng)于按kj=ep/σy確定塑性區(qū)深度的承載能力須隨著徑比的增加而降低，彈塑性界面處總應(yīng)力的當(dāng)量壓力小于屈服限，若使彈塑性界面處總應(yīng)力的當(dāng)量壓力等于屈服限，承載能力可達(dá)到全屈服載荷，但僅限于徑比k≤2.218 457 489 916 7…的圓筒。

(2）按k2lnkj2-k2-kj2+2≥0確定塑性區(qū)深度時(shí)，內(nèi)壁面殘余應(yīng)力的當(dāng)量壓力等于屈服限，若同時(shí)使彈塑性界面處總應(yīng)力的當(dāng)量壓力等于屈服限，徑比k≤2.218 457 489 916 7…時(shí)，承載能力為全屈服載荷；徑比k≥2.218 457 489 916 7…時(shí)，承載能力為最大彈性承載能力的2倍。

(3）不論從什么角度控制內(nèi)壁面殘余應(yīng)力的當(dāng)量壓力不超過屈服限，結(jié)果都得到k2lnkj2-k2-kj2+ 2≥0。例如，按kj=ep/σy確定塑性區(qū)深度，保證內(nèi)壁面殘余應(yīng)力的當(dāng)量壓力不超過屈服限的結(jié)果也相當(dāng)于k2lnkj2-k2-kj2+2≥0。

(4）塑性區(qū)深度kj≤e0.5時(shí)，不論徑比多大，都不會發(fā)生壓縮屈服。按不發(fā)生壓縮屈服的觀點(diǎn)，此時(shí)p/σy≤0.5。

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?？松梨谑跈?quán)轉(zhuǎn)讓遠(yuǎn)程天然氣泄漏檢測技術(shù)

?？松梨谑跈?quán)為加工裝置轉(zhuǎn)讓遠(yuǎn)程天然氣泄漏檢測技術(shù)。?？松梨谑凸旧嫌窝芯抗居?014年2月20日將其創(chuàng)新的InteliRed遠(yuǎn)程氣體探測系統(tǒng)提供給共同開發(fā)者普羅維登斯光子學(xué)（Providence Photonics）公司授予第一個(gè)商業(yè)許可。

該 InteliRed系統(tǒng)旨在提高煉油廠、化工廠、LNG設(shè)施和其他氣體處理設(shè)施過程的安全和環(huán)保性能。這個(gè)新的先進(jìn)的系統(tǒng)采用了一個(gè)專門開發(fā)的計(jì)算機(jī)算法，可自動分析紅外攝像機(jī)圖像，以便檢測逃逸的烴類氣體。該InteliRed系統(tǒng)可提供烴類泄漏的早期預(yù)警警報(bào)，實(shí)現(xiàn)最小的假警報(bào)。

普羅維登斯光子學(xué)公司是普羅維登斯工程公司的附屬公司，總部位于美國巴吞魯日。?？松梨诤推樟_維登斯的科學(xué)家化了4年時(shí)間共同開發(fā)了InteliRed系統(tǒng)，還積累了該系統(tǒng)自2013年至今在卡塔爾的液化裝置上的實(shí)地測試經(jīng)驗(yàn)。（錢松）

*湖南省教育廳重點(diǎn)資助科研項(xiàng)目，編號12A087。

**朱瑞林，男，1962年生，博士，教授。長沙市，410081。

中圖分類號TH49

(收稿日期：2013-10-15)

Discrimination between Key Problems on Autofrettage of Thick Wall Cylinder

Zhu Ruilin Li Quan

Abstract：Characterizing overstrain with the depth of plastic zone,studied the influence of different overstrain calculation methods on stress and bearing capacity of autofrettaged cylinder.Analyzed the effect of different methods for overstrain calculation,offered the relevant formulas and charts.

Key words：Thick wall cylinder;Autofrettage;Load-bearing capacity;Overstrain;Pressure vessel