自增強(qiáng)圓筒塑性區(qū)深度和承載能力探討*

朱瑞林朱國林

（湖南師范大學(xué)工學(xué)院)（江西警察學(xué)院基礎(chǔ)部）

自增強(qiáng)圓筒塑性區(qū)深度和承載能力探討*

朱瑞林**朱國林

（湖南師范大學(xué)工學(xué)院)（江西警察學(xué)院基礎(chǔ)部）

從限制彈塑性界面處總應(yīng)力的當(dāng)量應(yīng)力與內(nèi)壁面處卸除自增強(qiáng)壓力后的殘余應(yīng)力的當(dāng)量應(yīng)力出發(fā)，探討了厚壁圓筒的塑性區(qū)深度和承載能力，提出了相關(guān)的計(jì)算公式和圖表。

厚壁圓筒自增強(qiáng)超應(yīng)變度承載能力壓力容器

0 前言

自增強(qiáng)可提高厚壁圓筒的承載能力，并且通常認(rèn)為，對(duì)于自增強(qiáng)容器，彈塑性界面處總應(yīng)力的當(dāng)量應(yīng)力是危險(xiǎn)的，必須加以限制[1-2]。但研究證明，自增強(qiáng)處理時(shí)施加的壓力太大，也會(huì)有不利影響[3-5]。而自增強(qiáng)壓力的大小直接影響塑性區(qū)的深度（超應(yīng)變度），超應(yīng)變度的大小又影響著承載能力。因此有必要同時(shí)考慮彈塑性界面處總應(yīng)力的當(dāng)量應(yīng)力和卸除自增強(qiáng)壓力后筒體內(nèi)壁面上的殘余應(yīng)力，來研究自增強(qiáng)壓力和承載能力的問題。

本文基于第四強(qiáng)度理論，同時(shí)假定：

①容器材料是完全彈塑性的，包辛格（Bauschinger）效應(yīng)不計(jì)，壓縮屈服強(qiáng)度等于拉伸屈服強(qiáng)度。

②不計(jì)應(yīng)變硬化。

③材料沒有缺陷。實(shí)際材料可在本文的結(jié)果上加以修正。

1 理論分析

文獻(xiàn)[3]曾導(dǎo)出一個(gè)經(jīng)自增強(qiáng)處理卸除自增強(qiáng)壓力后殘余應(yīng)力的當(dāng)量應(yīng)力不超過屈服強(qiáng)度（|σei′/σy|≤1），即不發(fā)生反向屈服的塑性區(qū)深度公式：

式中，e0.5≤kj≤kc=2.218 457 489 916 7…，同時(shí)k≥2.218 457 489 916 7…。由于

時(shí)，無論kj多大，也不會(huì)有σei′/σy≤-1，因此本文下述討論都是針對(duì)k≥2.218 457 489 916 7…的情況。關(guān)于數(shù)據(jù)2.218 457 489 916 7…的來歷可參考文獻(xiàn)[3]。式（1）可繪制成曲線圖，見圖1曲線1。

文獻(xiàn)[2]曾導(dǎo)出一個(gè)使彈塑性界面rj處總應(yīng)力的當(dāng)量應(yīng)力最小的塑性區(qū)深度公式：

最大彈性載荷

將式（3）代入式（2）得

當(dāng)kj按式（4）計(jì)算時(shí)，可使rj處的總應(yīng)力的當(dāng)量應(yīng)力最小。式（4）的圖像見圖1曲線2。由式（4）和圖1可知，隨著k增大，kj亦增大，kj的極限值是而由式（1）和圖1可知，隨著k增大，kj是減小的，式（1）中kj的極限值也是這就是說，由式（1）確定的kj比由式（4）確定的要大，即由式（4）來確定的kj永遠(yuǎn)不會(huì)發(fā)生反向屈服，即|σei′/σy|≤1，但僅限于承受最大彈性載荷。但是容器僅承受最大彈性載荷時(shí)，自增強(qiáng)就沒有意義，不進(jìn)行自增強(qiáng)處理的容器也能承受式（3）所示的載荷。

圖1 kj與k的關(guān)系

由式（2）得承載能力與塑性區(qū)深度的關(guān)系：

滿足式（5）要求時(shí)，可保證rj處的總應(yīng)力的當(dāng)量應(yīng)力最小。如果這時(shí)塑性區(qū)深度按式（1）確定，式（1）和式（5）聯(lián)合，承載能力是一個(gè)隱式，其圖像如圖2曲線1所示。曲線1可同時(shí)保證rj處的總應(yīng)力的當(dāng)量應(yīng)力最小和不發(fā)生反向屈服，即|σei′/σy|≤1。由圖2可見，隨著k增大，承載能力是下降的，k趨于∞時(shí)，承載能力的極限是而這又恰是最大彈性載荷，即式（3）的極限，見圖2曲線2。

圖2 承載能力與k的關(guān)系

研究表明，“rj處的總應(yīng)力的當(dāng)量應(yīng)力最小”并不是很值得追求的目標(biāo)。由文獻(xiàn)[3]可知，一般地，rj處的總應(yīng)力的當(dāng)量應(yīng)力最小時(shí)，該應(yīng)力比屈服強(qiáng)度小不少，如果允許rj處的總應(yīng)力的當(dāng)量應(yīng)力接近或達(dá)到屈服強(qiáng)度，可以提高承載能力。當(dāng)σej/σy=1時(shí)，由文獻(xiàn)[3]可知，

如果讓容器產(chǎn)生式（4）所示的塑性區(qū)深度，將式（4）代入式（5），則承載能力

這個(gè)承載能力就比最大彈性載荷大多了，而這時(shí)雖然rj處總應(yīng)力的當(dāng)量應(yīng)力不是最小，但沒有超過屈服強(qiáng)度，同時(shí)有|σei′/σy|≤1。不過，這個(gè)承載能力比之于文獻(xiàn)[3]所建議的

要小。因?yàn)椋?/p>

為什么會(huì)這樣呢？因?yàn)橛墒剑?）確定的kj比由式（1）確定的小，而式（1）是剛要發(fā)生反向屈服，即|σei′/σy|=1的塑性區(qū)深度，塑性區(qū)深度淺，承載能力就小。所以由式（7）確定承載能力還沒有充分發(fā)揮容器的承載潛力。而文獻(xiàn)[3]所建議的承載能力計(jì)算式

但需注意：塑性區(qū)深度小可能導(dǎo)致rj和/或ri處總應(yīng)力的當(dāng)量應(yīng)力過大。因?yàn)樗苄詤^(qū)深度小，自增強(qiáng)處理后的殘余壓應(yīng)力小，當(dāng)與工作應(yīng)力疊加時(shí)，會(huì)使總應(yīng)力的當(dāng)量應(yīng)力增大。當(dāng)容器受載超過式（6）所示的值時(shí)，將使σej/σy>1，σei/σy>1。文獻(xiàn)[3]曾給出下述若干公式。

rj處總應(yīng)力的當(dāng)量應(yīng)力：

rj處殘余應(yīng)力的當(dāng)量應(yīng)力：

ri處總應(yīng)力的當(dāng)量應(yīng)力：

ri處殘余應(yīng)力的當(dāng)量應(yīng)力：

其中σzi′為內(nèi)壁面處軸向殘余應(yīng)力。

令σej/σy>1，σei/σy>1，均得到：

由圖2還可以看到k>5后，增加厚度對(duì)提高承載能力幾乎不起作用。

塑性區(qū)深度也常用超應(yīng)變度來衡量。超應(yīng)變度的定義是：

或

將式（9）代入式（1）得：

k2ln[ε(k-1)+1]2－k2－[ε(k-1)+1]2+2=0(10)式（10）關(guān)聯(lián)了一定超應(yīng)變度ε下的最大壁厚k，或一定壁厚k下的最大超應(yīng)變度ε。這是一個(gè)隱式，可將其圖像繪于圖3。

圖3 ε與k的關(guān)系

k≤kc=2.218 457 489 916 7…時(shí)，超應(yīng)變度ε可達(dá)100%，即整體屈服，k越大，ε越小。

將式（10）或式（9）分別與式（8）、式（7）和式（2）結(jié)合，可得三種情況下的承載能力，這些表達(dá)式都是隱式，其圖像繪于圖4的曲線1、2、3?？梢岳脠D4來確定一定超應(yīng)變度下的承載能力。為方便和精確計(jì)，將ε、k和p/σy的數(shù)值關(guān)系列于表1。

圖4 承載能力與超應(yīng)變度的關(guān)系

表1 ε、k和p/σy的數(shù)值關(guān)系

2 算例

下面以兩個(gè)例子來驗(yàn)證本文的研究。例1：圓筒k=5。

按式（1），不發(fā)生反向屈服的kj=1.675 565。

按式（3），最大彈性載荷pe/σy=0.554 256。

按式（4），使rj處總應(yīng)力的當(dāng)量應(yīng)力最小的kj=1.616 074<1.675 565，不會(huì)發(fā)生反向屈服，但限于承載能力p/σy=0.554 256。

按式（7）得承載能力p/σy=1.071 292，按式（8）得承載能力p/σy=1.108 513，二者相差0.037 221。假設(shè)σy=500 MPa，則按式（8）所得的承載能力比按式（7）的高18.610 5 MPa。

（1）kj=1.616 074（ε=15.402%）時(shí)

①按式（3），最大彈性載荷pe/σy=0.554 256，在此條件下的計(jì)算結(jié)果為:

②按式（7）得承載能力p/σy=1.071 292，在此條件下的計(jì)算結(jié)果為:

p/σy=1.071 292時(shí)，按式（2）的觀點(diǎn)，kj=2.528 854。這時(shí)：σej/σy=0.878 782；σej′/σy=0.576 543；σei/σy=0.224 796；σei′/σy=-1.708 05。雖然σej/σy較小，但σei′遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過壓縮屈服強(qiáng)度，所以限制σej并不可取。

③按式（8）得承載能力p/σy=1.108 513，在此條件下的計(jì)算結(jié)果為:

殘余應(yīng)力不變，因?yàn)樗蝗Q于k和kj。如果允許σej和σei略超過屈服強(qiáng)度，則這一方案也是可取的。

按式（5）得承載能力p/σy=0.554 256=pe/σy。

p/σy=1.108 513時(shí)，按式（2）的觀點(diǎn)，kj=2.611 698。這時(shí)：σej/σy=0.888 951；σej′/σy=0.595 737；σei/σy=0.242 54；σei′/σy=-1.757 46。雖然σej/σy較小，但σei′遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過壓縮屈服強(qiáng)度。

（2）kj=1.675 565（ε=16.889 2%）時(shí)

①按式（3），最大彈性載荷pe/σy=0.554 256，在此條件下的計(jì)算結(jié)果為:

②按式（7）得承載能力p/σy=1.071 292，在此條件下的計(jì)算結(jié)果為:

③按式（8）得承載能力p/σy=1.108 513，在此條件下的計(jì)算結(jié)果為:

按式（5）可得承載能力p/σy=0.595 999。這時(shí)：

例2：圓筒k=3。

按式（1），不發(fā)生反向屈服的kj=1.748 442。

按式（3），最大彈性載荷pe/σy=0.513 2。

按式（4），使rj處總應(yīng)力的當(dāng)量應(yīng)力最小的kj=1.559 623<1.748 442，不會(huì)發(fā)生反向屈服，但限于承載能力p/σy=0.513 2。

按式（7）得承載能力p/σy=0.934 51，按式（8）得承載能力p/σy=1.026 4，二者相差0.091 89。假設(shè)σy=500 MPa，則按式（7）所得的承載能力比按式（8）的高45.945 MPa，這個(gè)數(shù)值不小。

（1）kj=1.559 623（ε=27.981%）時(shí)

①按式（3），最大彈性載荷pe/σy=0.513 2，在此條件下的計(jì)算結(jié)果為:

②按式（7）得承載能力p/σy=0.934 51，在此條件下的計(jì)算結(jié)果為:

p/σy=0.934 51時(shí)，按式（2）的觀點(diǎn)，kj=2.246 356。這時(shí)：σej/σy=0.835 237；σej′/σy=0.501 107；σei/σy=0.168 588；σei′/σy=-1.517 47。雖然σej/σy較小，但σei′遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過壓縮屈服強(qiáng)度。

③按式（8）得承載能力p/σy=1.026 4，在此條件下的計(jì)算結(jié)果為:

殘余應(yīng)力不變，因?yàn)樗蝗Q于k和kj。σei超過屈服強(qiáng)度過多，這一方案不可取。

按式（5）得承載能力p/σy=0.513 2。p/σy=1.026 4時(shí)，按式（2）的觀點(diǎn)，kj=2.432 424。這時(shí)：σej/σy=0.865 611；σej′/σy=0.552 623；σei/σy=0.204 862；σei′/σy=-1.646 99。雖然σej/σy較小，但σei′遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過壓縮屈服強(qiáng)度。

（2）kj=1.748 442（ε=37.422%）時(shí)

①按式（3），最大彈性載荷pe/σy=0.513 2，在此條件下的計(jì)算結(jié)果為:

②按式（7）得承載能力p/σy=0.934 51，在此條件下的計(jì)算結(jié)果為:

③按式（8）得承載能力p/σy=1.026 4，在此條件下的計(jì)算結(jié)果為:

按式（5）得承載能力p/σy=0.645 16（比k=5情況下的承載能力p/σy=0.595 999還大，不合理）。這時(shí)：

3 結(jié)論

比較了不同觀點(diǎn)下的塑性區(qū)深度和承載能力，給出了相關(guān)的計(jì)算公式和圖表，通過算例驗(yàn)證了研究結(jié)果。再一次證明了以公式

確定塑性區(qū)深度，同時(shí)以公式

確定承載能力是最佳的，這時(shí)σej/σy=1，σej′/σy<1，σei/σy=1，σei′/σy=-1。

符號(hào)說明

ri、rj、ro——分別為圓筒的內(nèi)半徑、彈塑性界面半徑和外半徑，m

k——圓筒的外、內(nèi)半徑之比，k=ro/ri

kj——圓筒的彈塑性界面半徑與內(nèi)半徑之比，kj=rj/ri

kc——臨界徑比，kc=2.218 457 489 916 7…

p——圓筒的內(nèi)壓，MPa

pe——最大彈性承載能力（初始屈服壓力）,MPa

σy——屈服強(qiáng)度，MPa

σe——當(dāng)量應(yīng)力，MPa

[1] 余國琮.化工容器及設(shè)備[M].北京：化學(xué)工業(yè)出版社，1980.

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[6] 數(shù)學(xué)手冊(cè)編寫組.數(shù)學(xué)手冊(cè)[M].北京:高等教育出版社,1984.

Study on Depth of Plastic Zone and Load-bearing Capacity of Autofrettaged Cylinder

Zhu Ruilin Zhu Guolin

From the standpoint of limiting the equivalent stress of the total stresses at elastic-plastic juncture and the equivalent residual stresses at inside surface,depth of plastic zone and load-bearing capacity for thick wall cylinder are studied，and formulas，figures and tables are offered.

Thick wall cylinder；Autofrettage；Overstrain；Load-bearing capacity；Pressure vessel

TQ 050.1

*國家科技部創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目（09C26214305047）。

**朱瑞林，男，1962年生，博士，教授。長沙市，410081。

2011-10-21）