滲透幾何直觀 優(yōu)化概念教學(xué)
——以《有余數(shù)的除法》教學(xué)為例

張 艷

（湖北省武漢市江夏區(qū)明熙小學(xué)，湖北 武漢 430299）

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》中明確提出：加強(qiáng)中小學(xué)學(xué)生幾何直觀。所謂幾何直觀，主要表現(xiàn)為用圖表描述、分析問(wèn)題，能感知多種幾何圖形及其構(gòu)成要素，根據(jù)圖形特征對(duì)它們進(jìn)行歸類；按語(yǔ)言描述畫(huà)出它們對(duì)應(yīng)的圖形、分析它們的屬性；用圖表分析實(shí)際情境及數(shù)學(xué)問(wèn)題、探究解題思路等。幾何直觀能起到以簡(jiǎn)馭繁、化抽象為具體的作用。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師巧妙地運(yùn)用幾何直觀有助于學(xué)生透過(guò)表象抓住問(wèn)題實(shí)質(zhì)，明晰思維路徑和預(yù)測(cè)問(wèn)題結(jié)果。

數(shù)學(xué)概念教學(xué)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中歷來(lái)都是個(gè)難題，低年級(jí)小學(xué)生的思維還處在具體形象思維的階段，如何讓小學(xué)生掌握好抽象問(wèn)題呢？這是教師需要思考的一個(gè)重要課題。解決這一難題的有效途徑就是將幾何直觀和以形助數(shù)等思想貫穿于概念教學(xué)之中，有助于學(xué)生對(duì)數(shù)概念認(rèn)識(shí)的深化。

《有余數(shù)的除法》內(nèi)容是表內(nèi)除法內(nèi)容的拓展與擴(kuò)充。在日常生活中，通常只有少數(shù)能被完全整除，而其中有的除法有余數(shù)則占據(jù)了大部分，這也是今后深入地認(rèn)識(shí)分劃法時(shí)的一種重要依據(jù)，同時(shí)這一類內(nèi)容也越來(lái)越廣泛地應(yīng)用在了人們?nèi)粘Ｉ町?dāng)中。所以，學(xué)習(xí)這些基礎(chǔ)知識(shí)，有著承上啟下、舉足輕重的意義。

在實(shí)際教學(xué)中，教師除了要提供足夠多的較形象的素材，使得學(xué)生能夠形成清晰的外觀之外，還要以此為基礎(chǔ)，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析與對(duì)比，適時(shí)抽象地揭示概念的本質(zhì)，從而使得學(xué)生能夠在積極構(gòu)建數(shù)學(xué)概念的過(guò)程中加強(qiáng)對(duì)于有關(guān)概念的認(rèn)知?，F(xiàn)以《有余數(shù)的除法——例1》一課為主要案例，說(shuō)明在數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)過(guò)程中怎樣利用簡(jiǎn)單直觀教學(xué)方法將傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育中那些抽象而又不易掌握的概念、定理，更直接地呈現(xiàn)給學(xué)習(xí)者，將其具體內(nèi)容內(nèi)涵更加完整地表達(dá)，以及在求解時(shí)的靈活性應(yīng)用，使數(shù)學(xué)能更加生動(dòng)而有趣，以此提高學(xué)習(xí)效率。

一、運(yùn)用幾何直觀，使學(xué)習(xí)于不知不覺(jué)中開(kāi)始

人教版數(shù)學(xué)教科書(shū)二年級(jí)下冊(cè)第六單元《有余數(shù)的除法——例1》一課為本單元起始課程。例1 前有一張單元主題圖（如下圖1 所示），展示了學(xué)生用十一根小棒分別擺正方形、三角形和五邊形，提出各能擺多少個(gè)？這一設(shè)計(jì)是將主題圖設(shè)計(jì)成“前置學(xué)習(xí)單”，讓學(xué)生通過(guò)自己作業(yè)將擺出來(lái)的結(jié)果寫(xiě)在學(xué)習(xí)單上，他們頭一天便在家里獨(dú)立完成了作業(yè)，并且通過(guò)自己探究動(dòng)手作業(yè)、親歷、感受知識(shí)的生成過(guò)程等。最后，應(yīng)用所學(xué)的理論知識(shí)處理現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，學(xué)以致用。這一環(huán)節(jié)雖然容易，但能起到承上啟下、便于操作、激發(fā)興趣、作好鋪墊等作用。

圖1 有余數(shù)的除法單元主題圖

在練習(xí)中，同學(xué)們興趣盎然，主動(dòng)積極地完成這項(xiàng)前置作業(yè)，提升了完成率。同時(shí)通過(guò)動(dòng)手、口講、眼看、動(dòng)腦思考、拼擺等方式，觀察和呈現(xiàn)分別剩三根、兩根和一根小棒的情況，強(qiáng)化“有剩余”意義上的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)同學(xué)們多元表征能力培養(yǎng)。

二、充分利用幾何直觀，使學(xué)生在潛移默化中理解

孩子怎樣認(rèn)識(shí)知識(shí)？孩子們思維過(guò)程有什么規(guī)律？心理學(xué)研究證明，小學(xué)階段的孩子認(rèn)知水平正處在由具體直觀階段到抽象階段的過(guò)渡階段，他們的最大特點(diǎn)是，一定不能脫離形象具體事物作為支撐突破難點(diǎn)。如在《有余數(shù)的除法——例1》課堂教學(xué)中，通過(guò)兩次“課中學(xué)習(xí)單”的運(yùn)用，讓學(xué)生在直觀操作后思考，實(shí)現(xiàn)概念的理解。

首先讓學(xué)生解決如下生活實(shí)際問(wèn)題：“6 個(gè)草莓，每2 個(gè)擺一盤(pán)，能擺幾盤(pán)？”利用教師“課中學(xué)習(xí)單”上的指引，即動(dòng)手操作擺一擺、把算式寫(xiě)一寫(xiě)、各部分名稱說(shuō)一說(shuō)的教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生自主思索、共同溝通后,寫(xiě)出算式6÷2=3（盤(pán)），以此回顧“正好分完”。在這個(gè)過(guò)程中，教師相機(jī)將圖片、文字“正好分完”和算式都板書(shū)在黑板上，最后全班互動(dòng)，通過(guò)問(wèn)題“怎么用除法？”“這個(gè)算式表示什么意思”“這個(gè)意思還在哪里看到了？”通過(guò)對(duì)圖片、文字、擺置過(guò)程與算式對(duì)應(yīng)關(guān)系的觀察、分析、交流，從而誘發(fā)學(xué)生的思維，體驗(yàn)從直觀到抽象再?gòu)某橄蠓祷刂庇^，落實(shí)“有來(lái)有回”教學(xué)。

接下來(lái)繼續(xù)借助操作“將7 個(gè)草莓，每2 個(gè)擺一盤(pán)，能擺幾盤(pán)？”，第二次運(yùn)用“課中學(xué)習(xí)單。

1.畫(huà)一畫(huà)：將7 個(gè)草莓，每2 個(gè)擺一盤(pán)，可以擺（ ）盤(pán)，還剩（ ）個(gè)。

2.寫(xiě)一寫(xiě)：用算式表示分草莓的整個(gè)過(guò)程與結(jié)果。

3.說(shuō)一說(shuō)：算式中每個(gè)數(shù)的名稱。

用直觀的方式，看到“平均分仍有余量”，有利于學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的理解，建立起多元表征的關(guān)聯(lián)，達(dá)到學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念真正地深入理解。解決“商”和“余數(shù)”單位名稱這一教學(xué)重難點(diǎn)。（見(jiàn)下圖2）

圖2 有余數(shù)的除法情景圖

學(xué)生可能會(huì)有的想法：

1.7÷2=3

2.7÷2=3 多1

3.7÷2=3 剩1

4.7÷2=3……1

師生一起交流各表示法優(yōu)劣，最后確定：余數(shù)要表示出來(lái)，在數(shù)學(xué)上這樣規(guī)定（板書(shū)）

7÷2=3（盤(pán)）……1（個(gè)）

要做到使每個(gè)學(xué)生在潛移默化中掌握內(nèi)容，既要求教師對(duì)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)內(nèi)容的整體掌握，更要求教師在課堂過(guò)程中精心設(shè)計(jì)和指導(dǎo)所學(xué)內(nèi)容，使每個(gè)學(xué)生在遵循自身思維規(guī)律的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)程中認(rèn)知和歸納、抽象思考和總結(jié)，進(jìn)而掌握知識(shí)點(diǎn)間的縱橫內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而形成他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)性認(rèn)知。

三、借助幾何直觀，促使學(xué)生在循序漸進(jìn)中掌握知識(shí)并形成技能

由理解知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)檎莆占寄苁菍W(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)道路上的必經(jīng)之路。掌握本領(lǐng)的過(guò)程不是一朝一夕就能完成的，更不是機(jī)械重復(fù)和單調(diào)操練的結(jié)果，它要使學(xué)生通過(guò)層層深入逐步掌握方法，形成本領(lǐng)。教師在教學(xué)中應(yīng)充分利用直觀和比較的方法，對(duì)有余數(shù)除法和剛學(xué)過(guò)的表內(nèi)除法兩種情形不斷進(jìn)行比較展示。

如在探究活動(dòng)結(jié)束后，教師趁熱打鐵引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比觀察，歸納總結(jié)并提出問(wèn)題：“今天分了兩次草莓，有什么異同？”通過(guò)獨(dú)立思考、小組交流，全班匯報(bào)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)在現(xiàn)實(shí)情境中分物時(shí)的不同，以及今天學(xué)習(xí)的有余數(shù)的除法與以前學(xué)習(xí)的表內(nèi)除法算式的橫式的對(duì)比，并通過(guò)追問(wèn)“這兩種情況都是平均分嗎？余數(shù)表示了什么？”“進(jìn)一步理解余數(shù)除法的含義。更引發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，讓學(xué)生感受到原來(lái)數(shù)學(xué)知識(shí)并不是割裂的，而是相互之間存在著內(nèi)在聯(lián)系。從而為合理建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)作支撐，而且也培養(yǎng)了他們的分析、比較和歸納能力。

以上內(nèi)容，發(fā)揮了直觀模型圖示的功能，使抽象的余數(shù)知識(shí)更加簡(jiǎn)單易懂，也有利于孩子對(duì)感性認(rèn)識(shí)的積累，為他們進(jìn)行抽象概念“余數(shù)”的含義做好了基礎(chǔ)。通過(guò)在之后的分析小結(jié)中，再通過(guò)直觀形象指導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展分析、對(duì)比和推論的練習(xí)，從而歸納概括出有余數(shù)除法的真正含義是什么。這樣不但可以帶動(dòng)學(xué)生觀察力、分析抽象和遷移能力的提高，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)與洞察能力，也大有裨益。

四、借助幾何直觀，使知識(shí)技能在春風(fēng)化雨中得到鞏固提高

構(gòu)建了數(shù)學(xué)模式以后，要想讓他們對(duì)初建模式有較豐富的積淀，就必須讓他們懂得應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的方法解答，同時(shí)在解決的實(shí)踐中不斷地累積關(guān)于數(shù)學(xué)教育方面的知識(shí)，從而獲得關(guān)于數(shù)理建模方面的努力方法，并最終養(yǎng)成了運(yùn)用數(shù)學(xué)模式方面的有關(guān)技巧，從而提高了數(shù)學(xué)知識(shí)水平和提高了數(shù)學(xué)素質(zhì)。

例如，例題之后“做一做”的兩道題，第1 題的呈現(xiàn)由實(shí)物抽象成了圖形，學(xué)生幾何直觀持續(xù)在抽象、發(fā)展。第2 題的展示涉及平均分（含等分）的事物的2種情況，除了不斷鞏固有關(guān)知識(shí)之外，還能讓學(xué)生更深刻地感受到有余數(shù)除法中商與余數(shù)單位的用法。從而借助于“做一做”交流不同的表征方式以加深學(xué)生的理解。（見(jiàn)下圖3）

圖3 基礎(chǔ)訓(xùn)練

課堂總結(jié)時(shí)教師可提問(wèn)：“今天有什么收獲？”“對(duì)自已與同伴的表現(xiàn)怎樣評(píng)價(jià)？”“還有什么想了解的？”在學(xué)生總結(jié)時(shí)借助黑板上的直觀板書(shū)，能夠更好地幫助學(xué)生從知識(shí)上升為方法，從方法提升為思想，從思想拓展為素養(yǎng)。

在下節(jié)課《有余數(shù)的除法——例2》教學(xué)余數(shù)與除法的關(guān)系時(shí)，例2 借助于逐步加入小棒根數(shù)擺正方形這一活動(dòng)，方便學(xué)生觀察、對(duì)比和進(jìn)一步分析得出余數(shù)和除數(shù)之間有什么聯(lián)系——余數(shù)小于除數(shù)。尤其要在特定情境下理解“余數(shù)小于除數(shù)”的原理，并遵循“實(shí)踐—認(rèn)知—再實(shí)踐”的認(rèn)識(shí)規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生在親自動(dòng)手中探究余數(shù)小于除數(shù)。擺的過(guò)程也可以作為前置作業(yè)，同時(shí)也是這節(jié)課的“課后學(xué)習(xí)單”。如表1：

表1 課后學(xué)習(xí)單

在下節(jié)課上，教師提問(wèn)：9 根小棒，每4 根分一組，結(jié)果怎樣表示？

生：9÷4。

師：結(jié)合圖形來(lái)看，我們可以說(shuō)說(shuō)這道題中除法算式中的商的大小是多少呢？

生：2，分成兩組后又多出了一根小棒。

師反饋板書(shū)：9÷4=2……1，說(shuō)明基本算理。

此時(shí)教師再適時(shí)抽象出帶余數(shù)除法中的橫、豎式兩部分，讓學(xué)生交流圖中各組成部分，從而使學(xué)生在表象能力的支撐下獲得真實(shí)經(jīng)歷的體會(huì)，能對(duì)本來(lái)抽象的算理產(chǎn)生直觀清晰的認(rèn)識(shí)。

例1——例3 的教學(xué)內(nèi)容都是充分利用直觀和對(duì)比，幫助學(xué)生理解含義及關(guān)系，為后面的筆算教學(xué)領(lǐng)悟?qū)嵸|(zhì)、奠定基礎(chǔ)。

“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休。”數(shù)形結(jié)合的思維方式能恰到好處地將數(shù)與形之間互相轉(zhuǎn)換，將一個(gè)看似無(wú)從解答的提問(wèn)簡(jiǎn)潔化、明確化，給人“山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”之感。利用幾何直觀教學(xué)法可以讓一個(gè)問(wèn)題，從不同方面相互襯托、相互轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)教學(xué)過(guò)程優(yōu)化?；诖?，運(yùn)用幾何直觀有助于學(xué)習(xí)者認(rèn)識(shí)并把握更抽象的數(shù)學(xué)范疇，乃至對(duì)后面高度抽象概括的數(shù)學(xué)規(guī)律、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，有著舉足輕重的意義。

五、總結(jié)

幾何直觀是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出的核心概念之一。碰到較復(fù)雜和抽象的物體時(shí)，運(yùn)用直觀方法，借助圖形對(duì)其進(jìn)行描述刻畫(huà)，可更加易懂，這也是現(xiàn)代社會(huì)要培養(yǎng)的學(xué)生具備運(yùn)用幾何直觀。在數(shù)學(xué)啟蒙教育過(guò)程中，教師尤其需要引導(dǎo)學(xué)生把握好數(shù)學(xué)問(wèn)題解決策略，需要從小學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律入手，并從積極參與中獲得關(guān)于形狀的基本認(rèn)識(shí)。在課堂教學(xué)中教師要注重學(xué)生最基本的生活經(jīng)歷和生活經(jīng)驗(yàn)，注意引導(dǎo)孩子在實(shí)際生活中建構(gòu)起關(guān)于形狀的經(jīng)驗(yàn)及其與認(rèn)知間的聯(lián)系，要讓學(xué)生主動(dòng)積極地投入到教學(xué)過(guò)程當(dāng)中，借助一組又一組的直觀畫(huà)面從視覺(jué)上給予他們直觀上的理解，借助直觀畫(huà)面發(fā)展他們的思維能力、想象能力以及數(shù)學(xué)思考方法等，從而為其可持續(xù)發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的根基。