初中生幾何直觀能力發(fā)展的實踐探索
——以《圖形的變化》為例

顧為秀

（南通市北城中學(xué)，江蘇 南通 226000）

幾何直觀能力主要指的是學(xué)生在面對數(shù)學(xué)問題的過程中能夠?qū)?shù)學(xué)題目中圖形與對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系有一個直觀的感知，進而使相對抽象與復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)換成為更加清晰、明確的問題。在初中教學(xué)體系中，不同學(xué)段的數(shù)學(xué)教材都有關(guān)于圖形的變化的教學(xué)內(nèi)容，教師在對這部分?jǐn)?shù)學(xué)理論知識進行教學(xué)過程中，也是培養(yǎng)初中學(xué)生自身幾何直觀能力的一個重要教學(xué)資源。因此初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)充分利用這一教學(xué)模塊為學(xué)生建構(gòu)相應(yīng)的教學(xué)環(huán)節(jié)，有效培養(yǎng)初中生自身的幾何直觀能力。

一、幾何直觀內(nèi)涵的闡釋

對于幾何直觀而言，主要是通過運用圖形描述的形式，實現(xiàn)對相關(guān)問題的分析。依靠此種方式能夠達到化繁為簡的目的，使很多十分復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題更加簡化、直觀，便于學(xué)習(xí)者進行深入理解，幫助其梳理解決問題的思路。培養(yǎng)學(xué)生這種能力，能夠使其加深對相關(guān)數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)印象。由此不難看出，幾何直觀的重要性是毋庸置疑的。通常情況之下，在幾何直觀當(dāng)中涵蓋了兩個不同的層次，其一為幾何，其二為直觀。其中，前者針對的為圖形直觀。通過依靠現(xiàn)有的經(jīng)驗，利用聯(lián)想的方式，能夠提高學(xué)生對于事物的認(rèn)知程度，并且以直觀的形式建立全新的認(rèn)知體系。實際上，針對幾何直觀而言，學(xué)生進行理解的過程當(dāng)中，需要將下述不同的方面當(dāng)作切入點：①幾何直觀將圖形與幾何知識當(dāng)作重要的基礎(chǔ)，不過又不僅限于此。②在圖形認(rèn)知上十分全面、深入。③針對圖形來說，應(yīng)該體現(xiàn)出一定的呈現(xiàn)方式。④進行教學(xué)工作的過程當(dāng)中，應(yīng)該凸顯出幾何的直觀性與抽象性。

基于筆者的視角下對于幾何直觀來說，一方面為幾何，也可以視為圖形。不過在此過程當(dāng)中，圖形呈現(xiàn)出一定的多樣化特征，不但包括了線段、直線以及三角形等不同的平面圖形，而且涵蓋了柱體、錐體以及球等不同的立體圖形，當(dāng)然，也存在部分折線與曲線等。另一方面為直觀，在這當(dāng)中，涵蓋了觀看到的事物以及對其產(chǎn)生的思考、理解。換言之，從根本上來說，幾何直觀通過以圖形的方式，進而形成針對分析對象數(shù)量關(guān)系的深刻認(rèn)知，有助于進一步增強學(xué)生的分析與處理問題方面的能力。

二、培養(yǎng)初中學(xué)生幾何直觀能力的價值說明

眾所周知，如何處理問題是非常關(guān)鍵的，不過更關(guān)鍵的是及時發(fā)現(xiàn)相關(guān)問題。在此過程當(dāng)中可以使人形成一定的啟發(fā)和靈感。從數(shù)學(xué)發(fā)展歷史的角度而言，則包括了實際情景、相關(guān)數(shù)學(xué)問題、具體運用等各個環(huán)節(jié)。通常情況下，在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史當(dāng)中，直觀性事物的重要性與價值是非常大的。實際上，針對十分復(fù)雜的事物來說，由于事物非常直觀，非常便于公眾進行深入理解，能夠加深學(xué)生學(xué)習(xí)的印象。開展初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作的過程當(dāng)中，假如有關(guān)教師可以借助直觀教學(xué)的方式，使學(xué)生接觸并掌握數(shù)學(xué)問題相應(yīng)的幾何背景，一方面，可以為學(xué)生營造出良好的學(xué)習(xí)環(huán)境；另一方面，還提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，從而幫助學(xué)生儲備更多的數(shù)學(xué)知識量。一般而言，鑒于一些數(shù)學(xué)問題由現(xiàn)實生活當(dāng)中抽象而來，不過卻與幾何背景相脫離，如此造成數(shù)學(xué)問題的處理難度變大。所以，基于增強數(shù)學(xué)教學(xué)成效的目的，教師需要將幾何直觀當(dāng)作切入點，把其當(dāng)作衡量學(xué)生學(xué)習(xí)狀況的一個主要標(biāo)準(zhǔn)，促使教師和學(xué)生之間的深入溝通與互動。從學(xué)生的角度而言，應(yīng)該深入理解相關(guān)數(shù)學(xué)概念、定理，學(xué)習(xí)并掌握更多先進的數(shù)學(xué)思想，有針對性地訓(xùn)練自己的思維能力，才能夠達到培養(yǎng)幾何直觀能力的目的。

三、提高初中生幾何直觀能力的有效教學(xué)策略

（一）培養(yǎng)學(xué)生畫圖習(xí)慣，樹立幾何直觀意識

數(shù)學(xué)教師在進行理論知識教學(xué)過程中，在面對數(shù)學(xué)問題時應(yīng)引導(dǎo)初中學(xué)生找到數(shù)學(xué)問題的切入點。幾何直觀主要是通過圖形將數(shù)學(xué)問題進行研究與解決，因此，教師應(yīng)在課堂上引導(dǎo)學(xué)生積極畫圖，使其能夠通過自己畫的圖形進行詳細觀察，最后成功解題。在此過程中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)培養(yǎng)班級中學(xué)生正確畫圖的良好習(xí)慣，使學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)問題進行幾何化，通過幾何圖形的繪畫將數(shù)學(xué)問題中的重要信息更加直觀地呈現(xiàn)在圖形中，使學(xué)生能夠通過圖形看清數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。

例如，在開展人教版初中數(shù)學(xué)《視圖與投影》這一課程教學(xué)過程中，教師可通過以下這一數(shù)學(xué)例題引導(dǎo)學(xué)生充分體會到畫圖的重要意義。

例題：某一工廠需設(shè)計一個不規(guī)則形狀的工件，該工件由一個棱長為4cm 的正方形毛坯制作而成，在設(shè)計過程中需在正方體的其中一個角上鋸掉一個棱長為2cm 的小正方體，最終得到圖1 的生產(chǎn)工件，求生產(chǎn)工件的表面積。

圖1

針對這一例題，教師可首先引導(dǎo)學(xué)生對這一工件進行觀察，并讓學(xué)生運用平移思維對以上數(shù)學(xué)例題進行分析。在學(xué)生進行分析過程中，教師可引導(dǎo)學(xué)生將這一工件進行分解并將其分解過后的圖形畫出來。學(xué)生進行畫圖的過程也是其對這一問題進行深入思考與研究的過程，圖形繪畫完畢以后，可使學(xué)生在此環(huán)節(jié)中對問題有了一個更加清晰的認(rèn)識，使學(xué)生能夠很清楚地理解這一工件的表面積與原正方體的表面積相同，最終有效提升學(xué)生自身的幾何直觀能力。

實際上，當(dāng)學(xué)生對此數(shù)學(xué)問題解決時經(jīng)常會運用推導(dǎo)與計算的處理方式，但其繪制圖形的能力卻較薄弱。教師通過指導(dǎo)學(xué)生使用科學(xué)的方法進行圖形的準(zhǔn)確繪制，提高繪圖的規(guī)范化程度，并且在畫圖的過程當(dāng)中，能夠使學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度變得更加嚴(yán)謹(jǐn)，培養(yǎng)了學(xué)生的探究分析能力。如此，有助于進一步增強學(xué)生的幾何直觀能力，達到了既定的學(xué)習(xí)目標(biāo)。由此可見，經(jīng)過上文的闡述和分析以后，從中不難看出，培養(yǎng)學(xué)生畫圖習(xí)慣進而樹立幾何直觀意識顯得尤為必要，有一定的研究意義與實施價值。

（二）加強對學(xué)生的操作訓(xùn)練程度，強化幾何直觀基礎(chǔ)

教師在開展日常數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，在引導(dǎo)學(xué)生面對數(shù)學(xué)問題應(yīng)當(dāng)積極進行畫圖的基礎(chǔ)上，還應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在面對數(shù)學(xué)問題時應(yīng)對圖形進行全面地觀察與分析，最終使其能夠發(fā)現(xiàn)圖形中蘊含的數(shù)學(xué)規(guī)律。在此過程中，教師應(yīng)在課堂上為學(xué)生建構(gòu)相應(yīng)的實踐訓(xùn)練環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生在課堂上通過剪紙、旋轉(zhuǎn)等方式對圖形進行實踐操作，使其能夠在具體的幾何問題中通過實踐探究對不同的圖形有了一個更加清晰的認(rèn)識。

例如，在開展人教版初中數(shù)學(xué)《圖形的旋轉(zhuǎn)》這一課程教學(xué)中，教師在課堂上為學(xué)生建構(gòu)相應(yīng)的課堂實踐環(huán)節(jié)，“同學(xué)們，下面請大家觀看多媒體中‘幾何畫板’這個軟件，在軟件中老師將一個三角形△ABC沿著點O 進行順時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)60°以后得到△A′B′C′（圖2），請大家自己觀察旋轉(zhuǎn)前后的兩個三角形，并以小組討論的形式回答老師提出的三個問題：（1）在對三角形進行旋轉(zhuǎn)的過程中，有哪些不變的數(shù)量關(guān)系？（2）如連接三角形的頂點與旋轉(zhuǎn)中心，還能夠找到哪些不變的數(shù)量關(guān)系？（3）△AOC與△A′O′C′有什么關(guān)系？”在問題提出以后，教師可讓每個學(xué)習(xí)小組對問題進行深入探究，并在探究過程中引導(dǎo)學(xué)生在紙上剪出一個三角形，在訓(xùn)練紙上畫出一個頂點，將這一紙質(zhì)三角形圍繞旋轉(zhuǎn)中心點 O 旋轉(zhuǎn)60°，在旋轉(zhuǎn)過后，將兩個圖形畫出來并將兩個三角形的三個頂點與點O 進行連接，在連接以后使學(xué)生清晰直觀地查看兩個圖形，并探究老師提出的相關(guān)問題。在學(xué)生探究過后，教師可引導(dǎo)學(xué)生對小組的探究結(jié)果進行展示，在展示過后教師可運用“幾何畫板”這一信息技術(shù)軟件，在多媒體中為學(xué)生進行繪圖，驗證學(xué)生的探究結(jié)果。通過這一實踐探究環(huán)節(jié)的建構(gòu)，能夠幫助學(xué)生更加直觀地查看數(shù)學(xué)圖形，并在自己的探究過程以及教師的示范過程中更加全面地感受到圖形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，使其在腦海中形成正確的動態(tài)表象，有效提升其自身的幾何直觀能力。所以，當(dāng)教師指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)某種方法的過程當(dāng)中，應(yīng)該注重緊密結(jié)合具體的問題加以有效分析，以便確保一定的針對性。因而，通過積極組織學(xué)生進行實踐操作訓(xùn)練活動，能夠進一步增強學(xué)生的幾何直觀能力，特別是進行圖形的變化知識學(xué)習(xí)時，能夠獲得良好的效果，并且也有助于構(gòu)建良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，改變了學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度，能夠使學(xué)生從中獲得更多的數(shù)學(xué)知識。

圖2

（三）聯(lián)系生活實際，提升學(xué)生幾何直觀思維

初中數(shù)學(xué)學(xué)科與學(xué)生的日常生活環(huán)境具有非常密切的關(guān)系，因此教師在日常開展數(shù)學(xué)課程教學(xué)過程中可充分運用初中學(xué)生在生活成長環(huán)境中耳熟能詳?shù)氖挛锘蛘呱畎咐?，為學(xué)生建構(gòu)針對性的教學(xué)環(huán)節(jié)，進而有效提升初中生的幾何直觀思維。教師通過這種教學(xué)模式的建構(gòu)，能夠使班級中的學(xué)生群體對數(shù)學(xué)抽象知識產(chǎn)生良好的親切感與熟悉感，使其在內(nèi)心中降低對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)難度，增強對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)驅(qū)動力。

例如，教師在開展人教版初中數(shù)學(xué)教材《圖形的對稱》這一課程教學(xué)中可充分挖掘?qū)W生日常生活成長環(huán)境中比較熟悉的事物，并以此作為教學(xué)資源，為學(xué)生提出針對性的數(shù)學(xué)問題：

師：“同學(xué)們，我們在日常生活中能接觸到非常多的軸對稱圖形，下面請大家觀察老師多媒體中的一組圖片（圖3），圖片中是我們平時經(jīng)常能夠見到的不同銀行的標(biāo)志，下面請大家思考一下，這些銀行標(biāo)志是否為軸對稱圖形？”在學(xué)生對這一生活化的問題進行探究過程中，能夠有效激發(fā)學(xué)生對本節(jié)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)熱情與學(xué)習(xí)驅(qū)動力，并且在其對數(shù)學(xué)問題進行思考過程中能夠切實提升學(xué)生自身的幾何直觀能力。在此問題創(chuàng)設(shè)完畢以后，教師可對學(xué)生進行追問：“同學(xué)們表達得非常正確，工行、農(nóng)行兩個銀行的標(biāo)志為軸對稱圖形，建行與郵儲銀行的標(biāo)志則不是軸對稱圖形。那么請學(xué)生們再思考一下，在我們?nèi)粘Ｉ畛砷L過程中，還有哪些物品屬于軸對稱圖形呢？”在學(xué)生思考過程中，可再次深化軸對稱圖形的規(guī)律與原理，使其能夠從多個角度思考與探究軸對稱圖形的基本特征，最終在幫助學(xué)生掌握本節(jié)課程學(xué)習(xí)目標(biāo)的基礎(chǔ)上，提升學(xué)生自身的幾何直觀能力。

圖3

（四）運用信息技術(shù)，優(yōu)化學(xué)生幾何直觀能力

教師在開展數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要想切實提升學(xué)生自身的幾何直觀能力，應(yīng)在日常教學(xué)過程中注重對學(xué)生自身的空間想象能力進行針對性培養(yǎng)。在此過程中，教師可運用當(dāng)前比較先進的信息技術(shù)，在課堂上將一些比較復(fù)雜的幾何圖形運用多媒體信息技術(shù)，以3D 的形式直觀呈獻給班級中的學(xué)生群體，提升學(xué)生自身的空間思維想象能力，最終有效優(yōu)化學(xué)生自身的幾何直觀能力。

實際上，教師在運用信息化技術(shù)的過程當(dāng)中需要注意避免過度、胡亂地進行應(yīng)用，進而有效規(guī)避學(xué)生產(chǎn)生太過依賴的情況，應(yīng)該讓學(xué)生正確使用相關(guān)軟件程序，并且確保形成的圖形更加準(zhǔn)確、合理。不過，單純依靠學(xué)生自行研究顯然不可行，要求教師適時進行指導(dǎo)和幫助。從本質(zhì)上來說，借助信息化技術(shù)展現(xiàn)的相關(guān)知識和課本中是相同的，然而從方式方面呈現(xiàn)出多元化的特征，凸顯出良好的交互性優(yōu)勢，但是根本上不會出現(xiàn)改變。所以，無論是多媒體技術(shù)，還是課本，均屬于相關(guān)知識的主要載體，為了體現(xiàn)出其良好的功效，要求教師加以科學(xué)利用，并且加大整合的力度。為此，教師在實際開展教學(xué)工作時應(yīng)該充分發(fā)揮出信息化技術(shù)的作用，有助于達到既定的教學(xué)工作目標(biāo)。另外，在信息化技術(shù)當(dāng)中，多媒體技術(shù)被運用到教學(xué)領(lǐng)域的頻率是很高的，還有很多其他類型的技術(shù)也各具特色和優(yōu)勢，諸如，現(xiàn)階段發(fā)展速度很快的網(wǎng)絡(luò)技術(shù)與VR 技術(shù)等，將上述技術(shù)運用到數(shù)學(xué)教學(xué)工作當(dāng)中，能夠帶給學(xué)生更多的幫助。針對教師而言，應(yīng)該加大對新型技術(shù)與理論知識的學(xué)習(xí)力度，有助于達到當(dāng)前教育工作發(fā)展的需要，對增強學(xué)生的幾何直觀能力十分有益。

例如，在開展人教版初中數(shù)學(xué)《圖形的平移》這一課程教學(xué)中，教師可運用多媒體信息技術(shù)將圖形的平移過程直觀呈現(xiàn)給班級中的學(xué)生群體，在學(xué)生的腦海中形成初步印象，使其能夠在日后面對該類問題時能夠馬上聯(lián)想到相關(guān)圖形的變化，不斷優(yōu)化自身的幾何直觀思維能力。

三、結(jié)束語

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)體系中，培養(yǎng)初中學(xué)生的幾何直觀能力是一項重要的教學(xué)內(nèi)容。因此，教師應(yīng)在課堂上為學(xué)生建構(gòu)針對性的教學(xué)情境，有效培養(yǎng)學(xué)生的直觀幾何能力，使其在長期學(xué)習(xí)與訓(xùn)練過程中增強對該門學(xué)科的學(xué)習(xí)水平。