“一線三直角”模型的構(gòu)建與應(yīng)用*

215151 蘇州市陽山實驗初級中學(xué)校 趙小花

在初三數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)過程中，學(xué)生經(jīng)常會碰到二次函數(shù)與幾何相關(guān)聯(lián)的探究題，因題型多樣，綜合性強，學(xué)生往往無從下手

.

如果教師在講解過程中只是就題論題，學(xué)生對題目的認(rèn)識可能只是浮于表面，是碎片化的

.

要想加深學(xué)生對問題的理解和把握，需要幫助學(xué)生建立完整的知識結(jié)構(gòu)，挖掘問題的內(nèi)涵和外延，抓住本質(zhì)，才能達到“知一法，通一類”的效果

.

筆者近期開設(shè)了一節(jié)二次函數(shù)的專題復(fù)習(xí)課，通過對大量習(xí)題的分類與研究，確定以構(gòu)建“一線三直角”模型為本節(jié)課的主線，引導(dǎo)學(xué)生解決二次函數(shù)的一類綜合題

.

整節(jié)課銜接自然、流暢，題目設(shè)計精巧、有梯度，注重滲透數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型解決問題的能力，優(yōu)化解題思路，達到了預(yù)期的復(fù)習(xí)效果

.

1 教學(xué)目標(biāo)

(1)掌握“一線三直角”模型的特點，能抓住本質(zhì)特征，根據(jù)問題條件構(gòu)造模型，歸類并總結(jié)解題方法

.

(2)經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程，滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程及模型思想，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素養(yǎng)

.

2 教學(xué)過程

2.1 問題引入，激趣喚知

問題1

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，

OB

⊥

OA

，且

OB

=2

OA

，已知點

A

(-1，2)，求經(jīng)過點

A

，

O

，

B

的拋物線的解析式

.

圖1

師：求該拋物線解析式的關(guān)鍵是什么？

生1：確定點

B

的坐標(biāo)

.

師：如何確定點

B

的坐標(biāo)？生2：構(gòu)造“一線三直角”模型，利用相似

.

師：能具體說說嗎？

生3：如圖2，過點

A

作

AM

⊥

x

軸于

M

，過點

B

作

BN

⊥

x

軸于

N.

因為

OB

⊥

OA

，則∠

AMO

=∠

BNO

=∠

AOB

=90°，所以∠

OAM

+∠

AOM

=∠

BON

+∠

AOM

=90°，所以∠

OAM

=∠

BON

，得△

AMO

∽△

ONB

，所以因為

A

(-1，2)，所以

AM

=2，

MO

=1，所以

ON

=4，

BN

=2

.

所以

B

(4，2)

.

圖2

師：很好，請同學(xué)們求出該拋物線的解析式

.

眾生：

設(shè)計意圖：

本節(jié)課是關(guān)于二次函數(shù)背景下的“一線三直角”模型的應(yīng)用，通過求拋物線解析式的問題引入，給學(xué)生的思維進行熱身，既可以喚醒已有的知識經(jīng)驗，又能激發(fā)他們繼續(xù)探索的興趣

.

求點

B

的坐標(biāo)引出了“一線三直角”模型，也為接下來模型的提煉做鋪墊

.

2.2 分析特征，提煉模型

師：剛剛求點

B

坐標(biāo)時，同學(xué)們構(gòu)造了“一線三直角”模型，這個模型有什么特征？請同學(xué)們說一說，畫一畫

.

生4：如圖3，已知

OA

⊥

OB

，直線

l

經(jīng)過直角∠

AOB

的頂點

O

，分別過點

A

，

B

向直線

l

作垂線段

AM

，

BN

，垂足記為點

M

，

N

，像這樣，一條直線上有三個直角就構(gòu)成了“一線三直角”模型

.

圖3

師：根據(jù)模型可以得到什么結(jié)論？

生5：與問題1證明方法一樣，可以證得△

AMO

∽△

ONB

，所以師：其他條件不變，將直線

l

繞點

O

旋轉(zhuǎn)，結(jié)論還成立嗎？如圖4，若直線

l

旋轉(zhuǎn)至∠

AOB

內(nèi)部，結(jié)論還成立嗎？

圖4

生6：證明方法是一樣的，仍然能夠證得△

AMO

∽△

ONB

，所以結(jié)論成立

.

師：圖3和圖4可以分別稱為同側(cè)型和異側(cè)型的“一線三直角”模型

.

若將模型一般化，把三個直角改為三個相等的角，變成“一線三等角”模型，結(jié)論有什么變化？生7：結(jié)論不變，△

AMO

∽△

ONB.

師：若將模型特殊化，添加條件

OA

=

OB

，有什么新發(fā)現(xiàn)？生8：相似三角形中一組等角的對邊相等時，可以得到全等，所以此時△

AMO

≌△

ONB.

師：本節(jié)課主要研究“一線三直角”模型的構(gòu)建和應(yīng)用，其他內(nèi)容暫不深入討論

.

做題時可以發(fā)現(xiàn)很多題目中的“一線三直角”模型并不會被直觀、完整地呈現(xiàn)出來，需要自主構(gòu)建，有什么方法？生9：可以分三步

.

第一步，找到或挖掘題目中的直角；第二步，確定經(jīng)過直角頂點的直線；第三步，向直線作垂線段

.

總結(jié)為“找直角、定直線、搭框架”

.

師：非常好

.

接下來看看“一線三直角”模型還能夠解決哪些二次函數(shù)的相關(guān)問題

.

設(shè)計意圖：

學(xué)習(xí)了全等和相似三角形后，學(xué)生對“一線三直角”模型已經(jīng)有了一定的認(rèn)識，但結(jié)合二次函數(shù)綜合應(yīng)用時往往需要自主構(gòu)建模型，對學(xué)生的建模意識和能力也提出了更高的要求

.

本環(huán)節(jié)通過學(xué)生的自主展示、復(fù)習(xí)和總結(jié)，既幫助基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生熟悉模型的特征和結(jié)論，為綜合應(yīng)用做鋪墊，也有利于學(xué)生建立完整、系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)

.

2.3 模型應(yīng)用，總結(jié)方法

問題2

如圖5，已知拋物線點

A

(-1，2)在該拋物線上，能否在拋物線上找到一點

B

，使得

OB

⊥

OA

？若能，求出點

B

的坐標(biāo)；若不能，請說明理由

.

圖5

師：讀完題目大家有什么思路？

生10：要先確定點

B

的位置，如圖6，根據(jù)

OB

⊥

OA

，過點

O

作

OA

的垂線，與拋物線的交點即為點

B.

再分別過點

A

，

B

作

AM

⊥

x

軸于

M

，

BN

⊥

x

軸于

N

，構(gòu)造“一線三直角”模型

.

圖6

師：問題1中也是構(gòu)造模型求點

B

的坐標(biāo)，問題1和問題2在解法上有什么區(qū)別與聯(lián)系？生11：兩題都是由模型得到△

AMO

∽△

ONB

，所以區(qū)別在于問題1給出了的值，可以求出線段

ON

和

BN

的長，確定點

B

的坐標(biāo)，問題2無法直接求線段長

.

師：那要怎么做呢？

生12：因為點

B

在拋物線上，滿足拋物線的解析式，所以設(shè)則又因為

AM

=2，

MO

=1，所以解方程，求

t

的值，代入得點

B

的坐標(biāo)

.

師：很好，抓住點的特殊位置，設(shè)坐標(biāo)列方程來求解，請同學(xué)們現(xiàn)在求解一下

.

生13：解得

t

=4，

t

=0

.

但當(dāng)

t

=0時，點

B

與原點重合，舍去，所以

t

=4，得

B

(4,2)

.

師：特別好

.

要檢驗方程的解是否符合題意，再確定最后結(jié)果

.

本題利用“一線三直角”模型求點的坐標(biāo)，能總結(jié)一下方法嗎？生14：可以分五步

.

第一步，根據(jù)點的特殊位置設(shè)坐標(biāo)；第二步，挖掘題目條件構(gòu)造模型；第三步，用代數(shù)式表示相似直角三角形對應(yīng)邊的長；第四步，由對應(yīng)邊成比例列方程；第五步，解方程，檢驗，得出結(jié)果

.

設(shè)計意圖：

問題2的設(shè)計首先讓學(xué)生能夠根據(jù)垂直，作圖確定點的位置，為接下來直角三角形的存在性問題畫圖做鋪墊

.

再通過將本題與問題1進行比較分析，學(xué)生感受平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)是解題的立足點，也是列方程的關(guān)鍵點，所以要抓住點的特殊位置，用字母表示數(shù)設(shè)點的坐標(biāo)，再運用“一線三直角”模型理論解決問題，充分滲透了數(shù)形結(jié)合和方程思想

.

2.4 變式練習(xí)，靈活應(yīng)用

師：通過剛剛兩道題的探究，同學(xué)們覺得使用“一線三直角”模型的主要條件是什么？

眾生：要有直角

.

師：看到直角還能想到什么？

眾生：直角三角形、矩形、正方形……

師：這些圖形都自帶直角，為模型的使用提供了必要的條件，將這些圖形放到二次函數(shù)的背景下又會出現(xiàn)什么新的問題呢？來看下面這道題

.

問題3

如圖7，拋物線經(jīng)過原點且與

x

軸交于另一點

C

，點

A

(-1，2)在該拋物線上

.

在

x

軸上是否存在一點

P

，使得以

A

，

C

，

P

為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出點

P

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由

.

圖7

師：本題是直角三角形的存在性問題，該如何處理？

生15：要使△

ACP

為直角三角形，需先分類討論確定點

P

的位置

.

師：有幾種情況？如何分類？

生16：有三種情況，可以按邊、角或頂點分類

.

師：哪種分類更有利于作圖找點

P

？請具體說說怎么作圖

.

生17：按頂點分類最為簡便，如圖8，聯(lián)結(jié)

AC.

(1)若點

A

為直角頂點，過點

A

作線段

AC

的垂線，與

x

軸的交點記為

P

；(2)若點

C

為直角頂點，過點

C

作線段

AC

的垂線，與

x

軸的交點記為

P

，情況不存在，舍去；(3)若點

P

為直角頂點，則

AC

為斜邊，以

AC

為直徑作圓，與

x

軸的交點記為

P

，此時

AP

⊥

x

軸

.

圖8

師：確定了點

P

的位置后，如何求坐標(biāo)？生18：根據(jù)上題總結(jié)的方法，先設(shè)點

P

的坐標(biāo)，因為點

P

在

x

軸上，設(shè)

P

(

t

，0)，再通過“找直角、定直線、搭框架”構(gòu)造“一線三直角”模型

.

師：直角很明顯，但過直角頂點的直線可以有無數(shù)條，要怎么確定？

生19：在平面直角坐標(biāo)系中，一般過直角頂點作平行于

x

軸或平行于

y

軸的直線，便于表示點的坐標(biāo)

.

師：非常好，要找“橫平豎直”的直線，請簡單說說解題過程

.

生20：如圖9，過點

A

作

x

軸的平行線，再分別過點

P

，

C

作平行線的垂線，垂足分別為

G

，

H

，則四邊形

CHGP

是矩形

.

因為點

A

(-1，2)，

C

(3，0)，所以

CH

=

P

G

=2，

AH

=4，

AG

=-1-

t.

由模型知△

AGP

∽△

CHA

，得即得

t

=-2，所以

P

(-2，0)

.

又因為

AP

⊥

x

軸，所以

P

(-1，0)

.

綜上，當(dāng)

P

(-2，0)或

P

(-1，0)時，△

ACP

為直角三角形

.

圖9

師：還有其他求點

P

坐標(biāo)的方法嗎？生21：可以過點

A

向

x

軸作垂線段，利用射影定理求解，本質(zhì)上是構(gòu)造了異側(cè)型“一線三直角”模型

.

生22：可以根據(jù)

AP

⊥

AC

得到這兩條線段所在直線的比例系數(shù)積為-1，通過解析式法求點

P

的坐標(biāo)

.

生23：還可以利用兩點距離公式表示△

ACP

中各邊的平方，根據(jù)勾股定理列方程求解

.

師：很好

.

同學(xué)們可以嘗試不同方法求解，比較方法的優(yōu)劣，根據(jù)不同題目，選擇最優(yōu)解法

.

設(shè)計意圖：

本環(huán)節(jié)先引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直角聯(lián)想到與直角有關(guān)的圖形，自然地過渡到用“一線三直角”模型來解決圖形的存在性問題，同時融入動點，讓學(xué)生確定直角三角形分類的標(biāo)準(zhǔn)，滲透分類討論數(shù)學(xué)思想

.

在教學(xué)過程中，通過學(xué)生作圖、師生問答的方式，學(xué)生深化對模型構(gòu)造的理解，把握解題方法

.

最后，除了總結(jié)得出一般方法外，讓學(xué)生拓展思路，一題多解，發(fā)散思維

.

2.5 舉一反三，思維拓展

師：問題3中條件不變，你還能提出其他直角三角形的存在性問題嗎？

生24：在

y

軸上是否存在一點

P

，使得以

A

，

C

，

P

為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出點

P

的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由

.

生25：在拋物線的對稱軸上是否存在一點

P

，使得以

A

，

C

，

P

為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出點

P

的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由

.

生26：在拋物線上是否存在一點

P

，使得以

A

，

C

，

P

為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出點

P

的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由

.

師：很好，問題3和這三道題都是典型的直角三角形的存在性問題，請同學(xué)們分組求點

P

的坐標(biāo)，并思考這類問題中動點的位置有什么特點？生27：一般在

x

軸、

y

軸、二次函數(shù)對稱軸或者函數(shù)圖像上等，目的是使設(shè)點的坐標(biāo)中只含有一個未知數(shù)，或者使橫坐標(biāo)確定，或者使縱坐標(biāo)確定，或者使橫縱坐標(biāo)之間可以建立聯(lián)系，這樣才能列方程求出未知數(shù)的值

.

師：問題3條件依然不變，請同學(xué)們嘗試將直角三角形的存在性問題拓展到四邊形

.

生28：點

P

是對稱軸上一點，點

Q

為平面內(nèi)任意一點，是否存在以

A

，

C

，

P

，

Q

為頂點的四邊形是矩形？若存在，求出點

P

，

Q

的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由

.

師：非常好

.

矩形具備平行四邊形的特性又含有直角，本質(zhì)上是將直角三角形的存在性問題與平行四邊形的存在性問題相結(jié)合，平行四邊形的存在性問題前面已經(jīng)講過，同學(xué)們可以嘗試求解

.

設(shè)計意圖：

本環(huán)節(jié)設(shè)置了較為開放性的問題，也提升了一定的難度，讓學(xué)生站在更高的角度思考問題，從看題、做題到自主編題，對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了更高的要求

.

直角三角形、矩形、正方形等都是含有直角的圖形，通過舉一反三，學(xué)生抓住這一類問題的特征，形變質(zhì)不變，最后歸納總結(jié)，形成類型問題的完整解題策略

.

3 教學(xué)思考

3.1 抓住模型特征，滲透模型思想

初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)模型來源于對數(shù)學(xué)規(guī)律的總結(jié)、知識經(jīng)驗的積累，是基于知識典型結(jié)構(gòu)的特殊總結(jié)，因此模型通常具有鮮明特征

.

只有抓住模型特征才能正確構(gòu)建模型得到相應(yīng)結(jié)論，所以在以數(shù)學(xué)模型建構(gòu)與應(yīng)用為主線的復(fù)習(xí)教學(xué)中有兩個重點：一是抓住模型特征，二是滲透模型思想

.

本節(jié)課在提煉模型環(huán)節(jié)給了學(xué)生充分表達的機會，讓學(xué)生進行特征總結(jié)，理解模型結(jié)構(gòu)，為后續(xù)順利構(gòu)建模型和應(yīng)用模型做鋪墊

.

而模型思想的滲透屬于更高層面，需要教師在平時的教學(xué)中有意識地帶領(lǐng)學(xué)生體驗建模過程，指導(dǎo)學(xué)生建模方法，從模型的角度思考問題，從根本上提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

.

3.2 關(guān)注知識生長，構(gòu)建整體結(jié)構(gòu)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課所要教授的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系

.

本節(jié)課以“一線三直角”模型的提煉、構(gòu)建及應(yīng)用為主線，問題設(shè)計以同一條拋物線為載體，讓學(xué)生在整體上搭建知識框架

.

而從局部上看，將模型教學(xué)與其他知識點相串聯(lián)，層層鋪墊，形成一條問題鏈，逐步讓學(xué)生掌握解題方法和解題思路

.

最后又引導(dǎo)學(xué)生對題目進行拓展，舉一反三，培養(yǎng)學(xué)生高水平思維能力，讓知識得以自然地生長與延伸

.

3.3 重視歸納總結(jié)，增進復(fù)習(xí)實效

模型教學(xué)的復(fù)習(xí)課中，對數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的總結(jié)也尤為重要

.

本節(jié)課的探究過程中教師引導(dǎo)學(xué)生進行了四次歸納總結(jié)：一是挖掘模型特征，總結(jié)構(gòu)建模型的三步法；二是對比問題條件，總結(jié)拋物線中求點的坐標(biāo)的五步法；三是讓學(xué)生自主作圖，總結(jié)直角三角形三種分類標(biāo)準(zhǔn)；四是運用模型解決問題的過程中，總結(jié)二次函數(shù)中存在性問題模型

.

通過及時歸納總結(jié)幫助學(xué)生關(guān)注細節(jié)，掌握完整的模型解題過程，認(rèn)識問題的本質(zhì)規(guī)律，達到“知一法，通一類”的效果，增強復(fù)習(xí)實效

.