含參集值優(yōu)化問題近似解集的穩(wěn)定性

孟旭東

(南昌航空大學 科技學院，江西 共青城 332020)

集值優(yōu)化問題是標量優(yōu)化問題和向量優(yōu)化問題的拓展，是現(xiàn)代運籌控制優(yōu)化領域研究熱點之一.核心原因主要涉及3 方面：其一，就理論層面而言，集值優(yōu)化問題的研究為諸多理論研究發(fā)展提供了統(tǒng)一模型，例如：Ky Fan 不等式、目標優(yōu)化問題、向量均衡問題、向量變分不等式、偏微分方程反問題等；其二，從實際應用角度分析，集值優(yōu)化問題在圖像處理問題、生命生存理論、數(shù)理經濟學與微分包含、交通網略等方面均有廣泛應用；其三，集值優(yōu)化問題的研究與非線性理論、非光滑分析、凸優(yōu)化、變分學等現(xiàn)代數(shù)學理論緊密相關，且其自身理論及算法研究也需要新的概念、方法和工具.因此，對集值優(yōu)化問題的研究有著極其重要的理論意義和應用價值，近年來備受廣大研究工作者的青睞，且有了較豐碩的研究成果[1-10].眾所周知，集值優(yōu)化問題（近似）解集的穩(wěn)定性分析是集值優(yōu)化理論與算法設計中的一個重要課題.一般而言，集值優(yōu)化問題及相關問題的穩(wěn)定性研究是指分析（近似）解集受到參數(shù)變化時的擾動性質，主要包含定性性質和定量規(guī)律.定性刻畫方面主要涉及Berge-半連續(xù)性、Hausdorff-半連續(xù)性、緊閉性、連通性、適定性等，定量性質主要包括Aubin 性質、平靜性、H?lder 連續(xù)性、Lipschitz 連續(xù)性等.一些作者已經研究了（參數(shù)）向量均衡問題的映射解的半連續(xù)性，特別是下半連續(xù)性[11-18].但很少有學者研究參數(shù)集值優(yōu)化問題（近似）解映射的上半連續(xù)和下半連續(xù).Xu 等[19]得到了具集優(yōu)化準則的參數(shù)集值向量優(yōu)化問題極小解和弱極小解集映射上、下半連續(xù)性和閉性.孟旭東[20]獲得了2 類含參廣義集值平衡問題近似解映射的上半連續(xù)性和下半連續(xù)性定理.孟旭東[21]分析了基于改進集的參數(shù)集值優(yōu)化問題解集映射的Berge 連續(xù)性、Hausdorff 連續(xù)性、C-Hausdorff 連續(xù)性和緊閉性定理.利用集值分析與變分分析方法，彭興媛等在文獻[22-26]中分別建立了帶等式與不等式約束的向量平衡問題孤立有效解和弱嚴格有效解的最優(yōu)性條件.本文在賦范線性空間中借助廣義凸性和水平映射的方法，研究了目標函數(shù)和約束函數(shù)具參數(shù)擾動時參數(shù)集值優(yōu)化問題2 種（弱）近似解集的上半連續(xù)性和下半連續(xù)性的最優(yōu)條件.

1 預備知識

本文設X,Y,Z為賦范線性空間，Λ,Ω ?Z為非空子集，K?Y為閉凸點錐且intK≠?，M,N?Y為非空子集，記R+={x∈R|x≥0}.設點e∈intK，對任何的ε ∈R+，M與N的 ε-下序關系與弱 ε-下序關系分別定義為：

設F:X×Λ×Ω ?X×Z×Z →2Y{?}，T:Ω ?Z →2X{?}為給定非空集值映射，對每個點(λ,μ)∈Λ×Ω，討論如下含參集值優(yōu)化問題（簡稱問題（PSOP））：

問題（PSOP）：minF(x,λ,μ)，使得x∈T(μ).

定義1[26]設M?Y為非空子集，點ω∈M給定.

（?。┘偃?M-ω)∩(-K)={0}成立，則稱點 ω為關于K的最小點，記為ω ∈Min(M).

（ⅱ）假如(M-ω)∩(-intK)=?成立，則稱點 ω為關于K的弱最小點，記為ω ∈WMin(M).

（ⅲ）假如(M-ω)∩K={0}成立，則稱點 ω為關于K的最大點，記為ω ∈Max(M).

（ⅳ）假如(M-ω)∩intK=?成立，則稱點 ω為關于K的弱最大點，記為ω ∈WMax(M).

據(jù)文獻[26]知：

注1（?。┤鬗?Y為非空緊子集，則Min(M)≠?且Max(M)≠?.

（ⅱ）若M?Y為非空緊子集，并注意到Min(M)?WMin(M)及Max(M)?WMax(M)，則WMin(M)≠?且WMax(M)≠?.

定義2設F:X×Λ×Ω →2Y{?}，T:Ω →2X{?}為給定非空集值映射，設點e∈intK，對每個點(ε,λ,μ)∈R+×Λ×Ω，以及點x0∈T(μ)：

（?。┘偃鐚θ魏蔚狞cx∈T(μ)，滿足有

則稱點x0為問題（PSOP）的l-最小近似解，記問題（PSOP）的l-最小近似解集為Sl(ε,λ,μ)，即

（ⅱ）假如對任何的點x∈T(μ)，滿足有

則稱點x0為問題（PSOP）的弱l-最小近似解，記問題（PSOP）的弱l-最小近似解集為(ε,λ,μ)，即

（ⅲ）假如對任何的點x∈T(μ)，滿足有

則稱點x0為問題（PSOP）的u-最小近似解，記問題（PSOP）的u-最小近似解集為Su(ε,λ,μ)，即

（ⅳ）假如對任何的點x∈T(μ)，滿足有

則稱點x0為問題（PSOP）的弱u-最小近似解，記問題（PSOP）的弱u-最小近似解集為(ε,λ,μ)，即

注2據(jù)定義2 易得：

（?。?假如點x0∈Sl(ε,λ,μ)，y0∈T(μ)，且則必有點

（ⅱ） 假如點x0∈Su(ε,λ,μ)，y0∈T(μ)，且則必有點

注3設點e∈intK給定，對每個點(ε,λ,μ)∈R+×Λ×Ω，則：

（?。㏒l(ε,λ,μ)?(ε,λ,μ)；

（ⅱ）Su(ε,λ,μ)?(ε,λ,μ).

證明（?。┦聦嵣?，設點x0∈Sl(ε,λ,μ)，假如存在點y∈T(μ)，滿足則有

定義3設點e∈intK給定，ε ∈R+，D?X為非空凸子集，G:X→2Y{?}為給定非空集值映射：

（?。┓QG在D上為嚴格近似下K-凸的，假如對任何的點x1,x2∈D，滿足x1≠x2，及任何的t∈(0,1)，有

（ⅱ）稱G在D上為嚴格近似上K-凸的，假如對任何的點x1,x2∈D，滿足x1≠x2，及任何的t∈(0,1)，有

定義4[24-25]設T0,T1為拓撲線性空間，H:T0→2T1{?}為給定非空集值映射，點v0∈T0給定：

（?。?稱H在點v0處為上半連續(xù)的，假如對H(v0)的任何鄰域V1?T1，存在點v0的鄰域V0?T0，對任何的點v∈V0，有H(v)?V1.

（ⅱ） 稱H在點v0處為下半連續(xù)的，假如對任何的點u∈H(v0)，及點u的任何鄰域V1?T1，存在點v0的鄰域V0?T0，對任何的點v∈V0，有H(v)∩V1≠?.

（ⅲ） 稱H在T0上為上（下）半連續(xù)的，假如對任何的點v∈T0，H在點v處為上（下）半連續(xù)的.

（ⅳ） 稱H在T0上為連續(xù)的當且僅當H在T0上既上半連續(xù)又下半連續(xù).

引理1[24]設T0,T1為賦范線性空間，H:T0→2T1{?}為給定非空集值映射，點v0∈V0給定，則H在點v0處下半連續(xù)當且僅當對任何的序列{vn}?T0，vn→v0，以及對任何的點u0∈H(v0)，存在點un∈H(vn)，有un→u0.

引理2[25]設T0,T1為賦范線性空間，H:T0→2T1{?}為給定非空集值映射，點v0∈V0給定，且H(v0)?T1為緊子集，則H在點v0處上半連續(xù)當且僅當對任何的序列{vn}?T0，vn→v0，以及對任何的點un∈H(vn)，存在點u0∈H(v0)，以及{unk}?{un}，有unk→u0.

引理3設F:X×Λ×Ω →2Y{?},T:Ω →2X{?}為給定非空集值映射，并設點(ε,λ,μ)∈R+×Λ×Ω，x0∈T(μ),e∈intK給定：

（?。┘偃鏦Min(F(x0,λ,μ))≠?，則點x0為問題（PSOP）的弱l-最小近似解當且僅當不存在點x∈T(μ)，使得

（ⅱ）假如WMax(F(x0,λ,μ))≠?，則點x0為問題（PSOP）的弱u-最小近似解當且僅當不存在點x∈T(μ)，使得

證明（?。?假如存在點x1∈T(μ)，使得則

這與（4）式矛盾，故結論得證.

（ⅱ） 類似于(ⅰ)的論證過程知結論(ⅱ)成立.證畢.

引理4設F:X×Λ×Ω →2Y{?},T:Ω →2X{?}為給定非空集值映射，并設點(ε,λ,μ)∈R+×Λ×Ω，e∈intK給定：

（?。┘偃鏔在X×Λ×Ω上為具非空緊值的嚴格近似下K-凸集值映射，T在 Ω上為非空凸集值映射，則

（ⅱ）假如F在X×Λ×Ω上為具非空緊凸值的嚴格近似上K-凸集值映射，T在 Ω上為非空凸集值映射，則

證明（?。?第1 步：據(jù)注3 的(ⅰ)知，Sl(ε,λ,μ)?(ε,λ,μ).

引理5設F:X×Λ×Ω →2Y{?},T:Ω →2X{?}為給定非空集值映射，并設點(ε,λ,μ)∈R+×Λ×Ω，e∈intK給定：

（?。┘偃鏔在X×Λ×Ω上為具非空緊值的上半連續(xù)集值映射，T在 Ω上為非空閉集值映射，則為閉集.

（ⅱ）假如F在X×Λ×Ω上為是非空緊值的下半連續(xù)集值映射，T在 Ω上為非空閉集值映射，則為閉集.

證明（ⅰ）設則必有點事實上易知點x0∈T(μ)，假如點據(jù)引理3 的(i)知，存在點y0∈T(μ)，使得則

再由引理2 知，存在點u0∈F(x0,λ,μ)，及{unk}?{un}，使得unk→u0，不失一般性，不妨假如un→u0.又據(jù)（9）式知，存在點v0∈F(y0,λ,μ)，使得

由（12）式得，當n充分大時，有un-v0∈intK+εe，這（11）式矛盾，故（10）式成立，因此，F(xiàn)(xn,λ,μ)，而這與xn∈(ε,λ,μ)矛盾，故點x0∈(ε,λ,μ).所以(ε,λ,μ)為閉集.

（ⅱ）類似于(i)的論證過程可知(ε,λ,μ)為閉集.證畢.

由文獻[1]中的命題29 與命題30，易知：

引理6設F:X×Λ×Ω →2Y{?}，T:Ω →2X{?}為非空集值映射，并設點(ε,λ,μ)∈R+×Λ×Ω，e∈intK給定，又假如F在X×Λ×Ω上為具非空緊值上半連續(xù)集值映射，T在 Ω上為具非空緊值的集值映射，則Sl(ε,λ,μ)≠?.

據(jù)文獻[1]中的推論24，易得：

引理7設F:X×Λ×Ω →2Y{?}，T:Ω →2X{?}為非空集值映射，并設點(ε,λ,μ)∈R+×Λ×Ω，e∈intK給定，又假如F在X×Λ×Ω上為非空緊值下半連續(xù)集值映射，T在 Ω上為具非空緊值的集值映射，則Su(ε,λ,μ)≠?.

2 問題（PSOP）近似解集與弱近似解集的上半連續(xù)性

本節(jié)討論問題（PSOP）近似解集與弱近似解集的上半連續(xù).

定理1設F:X×Λ×Ω →2Y{?}，T:Ω →2X{?}為非空集值映射，且點(ε0,λ0,μ0)∈R+×Λ×Ω，e∈intK給定.又假如：

（ⅰ）F(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上連續(xù)且具非空緊值；

（ⅱ）T(·)在點 μ0處連續(xù)且T(μ0)?X為非空緊子集成立，則：

（ⅱ）(·,·,·)在點(ε0,λ0,μ0)處是上半連續(xù)的.

證明（?。┘偃?·,·,·)在點(ε0,λ0,μ0)處不是上半連續(xù)的，則存在(ε0,λ0,μ0)的鄰域V0，使得對點(ε0,λ0,μ0)的任何鄰域Vε0×Vλ0×Vμ0?R+×Λ×Ω，存在點(ε0，λ0,μ0)∈Vε0×Vλ0×Vμ0，使得(ε0,λ0,μ0)?V0.因此，存在序列{(εn,λn,μn)}?Vε0×Vλ0×Vμ0，滿足(εn,λn,μn)→(ε0,λ0,μ0)，使得對任何的n∈N，有(εn,λn,μn)?V0，則存在點

由T(·)在點 μ0處的上半連續(xù)性及xn∈T(μn)，并結合引理2 知，存在點x0∈T(μ0)，及子列{xnk}?{xn}，使得xnk→x0.不失一般性，不妨設xn→x0，則必有點事實上，假如點據(jù)引理3 的(i)及注1 的(ii)知，存在點x0∈T(μ0)，使得則

事實上，假如（16）式不成立，則存在子列{xnk}?{xn},{ynk}?{yn}，子列{(εnk,λnk,μnk)}?{(εn,λn,μn)}，使得F(xnk,λnk,μnk)?F(ynk,λnk,μnk)+intK+εnke，不失一般性，不妨假如成立F(xn,λn,μn)?F(yn,λn,μn)+intK+εne，于是存在點vn∈F(xn,λn,μn)，使得

據(jù)引理2 知，存在點v0∈F(x0,λ0,μ0)，及子列{vnk}?{vn}，有vnk→v0，不失一般性，設vn→v0.由（15）式知，存在點u0∈F(y0,λ0,μ0)，使得

再據(jù)引理1 得，存在點un∈F(yn,λn,μn)，使得un→u0.結合（18）式知，當n充分大時，有vn-un∈intK+εne，這與（17）式矛盾.

（ⅱ）類似可證：(·,·,·)在點(ε0,λ0,μ0)處是上半連續(xù)的.證畢.

定理2設F:X×Λ×Ω →2Y{?}，T:Ω →2X{?}為非空集值映射，且點(ε0,λ0,μ0)∈R+×Λ×Ω，e∈intK給定.又假如：

（ⅰ）F(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上連續(xù)且具非空緊值；

（ⅱ）F(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上為嚴格近似下K-凸的；

（ⅲ）T(·)在點 μ0處連續(xù)且T(μ0)?X為非空緊凸子集

成立，則Sl(·,·,·)在點(ε0,λ0,μ0)處是上半連續(xù)的.

證明據(jù)引理4 的（ⅰ）知，對Sl(ε0,λ0,μ0)的任何鄰域V0，則V0為的鄰域，據(jù)定理1 知，(·,·,·)在點(ε0,λ0,μ0)處為上半連續(xù)的，則存在點(ε0,λ0,μ0)的鄰域Vε0×Vλ0×Vμ0?R+×Λ×Ω，使得

因此，Sl(·,·,·)在點(ε0,λ0,μ0)處是上半連續(xù)的.證畢.

據(jù)引理4 的（ⅱ），并結合注3 的（ⅱ），類似定理2 的論證過程可知：

定理3設F:X×Λ×Ω →2Y{?}，T:Ω →2X{?}為非空集值映射，且點(ε0,λ0,μ0)∈R+×Λ×Ω，e∈intK給定.又假如：

（ⅰ）F(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上連續(xù)且具非空緊凸值；

（ⅱ）F(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上為嚴格近似上K-凸的；

（ⅲ）T(·)在點 μ0處連續(xù)且T(μ0)?X為非空緊凸子集；

成立，則Su(·,·,·)在點(ε0,λ0,μ0)處是上半連續(xù)的.

3 問題(PSOP)近似解集與弱近似解集的下半連續(xù)性

本節(jié)研究問題(PSOP)近似解集與弱近似解集的下半連續(xù).

定義5設F:X×Λ×Ω →2Y{?}，T:Ω →2X{?}為給定非空集值映射，對任意的點(ε,λ,μ)∈R+×Λ×Ω.

（ⅰ）定義集值映射Ql:R+×Λ×Ω×X→2X{?}為

稱Ql在R+×Λ×Ω×X上為下水平集值映射.

（ⅱ）定義集值映射Qu:R+×Λ×Ω×X→2X{?}為

稱Qu在R+×Λ×Ω×X上為上水平集值映射.

注4據(jù)定義2 與定義5 易見，對任何的點(ε,λ,μ)∈R+×Λ×Ω，及x∈T(μ)，有：

（?。㏒l(ε,λ,μ,Ql(ε,λ,μ,x))?Sl(ε,λ,μ,T(μ))；

（ⅱ）Su(ε,λ,μ,Qu(ε,λ,μ,x))?Su(ε,λ,μ,T(μ)).

引理8設F:X×Λ×Ω →2Y{?}，T:Ω →2X{?}為非空集值映射，且點(ε0,λ0,μ0)∈R+×Λ×Ω，e∈intK給定，F(xiàn)(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上為嚴格近似下K-凸的且具非空緊值，設點x0∈Sl(ε0,λ0,μ0)，則Ql(ε0,λ0,μ0,x0)={x0}.

證明易知點x0∈Ql(ε0,λ0,μ0,x0).

另一方面，假如存在點x1∈Ql(ε0,λ0,μ0,x0)，滿足x1≠x0，據(jù)集值映射F(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上為嚴格近似下K-凸的，則對任何的t∈(0,1)，有

類似引理8 的論證過程，并結合注1 的(i)，易知：

引理9設F:X×Λ×Ω →2Y{?}，T:Ω →2X{?}為非空集值映射，且點(ε0,λ0,μ0)∈R+×Λ×Ω，e∈intK給定，F(xiàn)(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上為嚴格近似上K-凸的且具非空緊凸值，設點x0∈Su(ε0,λ0,μ0)，則Qu(ε0,λ0,μ0,x0)={x0}.

引理10設F:X×Λ×Ω →2Y{?}，T:Ω →2X{?}為非空集值映射，且點(ε0,λ0,μ0)∈R+×Λ×Ω，e∈intK給定.又假如：

（ⅰ）F(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上連續(xù)且具非空緊值；

（ⅱ）T(·)在點 μ0處連續(xù)且T(μ0)?X為非空緊子集

成立，則：

（?。㏎l(·,·,·,·)在{ε0}×{λ0}×{μ0}×T(μ0)上是上半連續(xù)的；

（ⅱ）Qu(·,·,·,·)在{ε0}×{λ0}×{μ0}×T(μ0)上是上半連續(xù)的.

證明（?。┘偃绱嬖邳cx0∈T(μ0)，使得Ql(·,·,·,·)在點(ε0,λ0,μ0,x0)處不是上半連續(xù)的，則存在Ql(ε0,λ0,μ0,x0)的鄰域V0，使得對點(ε0,λ0,μ0,x0)的任何鄰域Vε0×Vλ0×Vμ0×Vx0?R+×Λ×Ω×X，存在點(ε0,λ0,μ0,x0)∈Vε0×Vλ0×Vμ0×Vx0，使得

據(jù)T(·)在μ0處的上半連續(xù)性，及點ωn∈T(μn)，并結合引理2 知，存在點ω0∈T(μ0)，及{ωnk}?{ωn}，使得ωnk→ω0，不失一般性，不妨設ωn→ω0，則必有ω0∈Ql(ε0,λ0,μ0,x0).

事實上，對任何的點z∈F(x0,λ0,μ0)，據(jù)引理1 知，存在點zn∈F(xn,λn,μn)，使得zn→z，據(jù)（26）式知，

據(jù)F(·,·,·)在點(ω0,λ0,μ0)處的上半連續(xù)性及點yn∈F(ωn,λn,μn)，并結合引理2 知，存在點y0∈F(ω0,λ0,μ0)，及{ynk}?{yn}，滿足ynk→y0，不失一般性，設yn→y0.據(jù)（28）式，當n→∞時，有

這表明點ω0∈Ql(ε0,λ0,μ0,x0)，則ωn→ω0∈V0，這與（27）式矛盾，因此，Ql(·,·,·,·)在 {ε0}×{λ0}×{μ0}×T(μ0)上是上半連續(xù)的.

（ⅱ）類似于對(i)的論證過程，易知Qu(·,·,·,·)在{ε0}×{λ0}×{μ0}×T(μ0)上是上半連續(xù)的.證畢.

定理4設F:X×Λ×Ω →2Y{?}，T:Ω →2X{?}為非空集值映射，且點(ε0,λ0,μ0)∈R+×Λ×Ω，e∈intK給定.又假如：

（ⅰ）F(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上連續(xù)且具非空緊值；

（ⅱ）F(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上為嚴格近似下K-凸的；

（ⅲ）T(·)在點 μ0處連續(xù)具非空緊值且T(μ0)?X為緊凸子集成立，則：

（?。㏒l(·,·,·)在點(ε0,λ0,μ0)處是下半連續(xù)的；

證明（ⅰ）假若Sl(·,·,·)在點(ε0,λ0,μ0)處不是下半連續(xù)的，則存在點x0∈Sl(ε0,λ0，μ0)，以及X中的零點的鄰域V0，使得對點(ε0,λ0,μ0)的任何鄰域Vε0×Vλ0×Vμ0?R+×Λ×Ω，存在點(ε0,λ0,μ0)∈Vε0×Vλ0×Vμ0，使得

故存在序列{(εn,λn,μn)}?Vε0×Vλ0×Vμ0，滿足(εn,λn,μn)→(ε0,λ0,μ0)，使得

據(jù)引理1 及點x0∈T(μ0)知，存在點xn∈T(μn)，使得xn→x0.結合引理10 知，Ql(·,·,·,·)在點(ε0,λ0,μ0,x0)處是上半連續(xù)的，對Ql(ε0,λ0,μ0,x0)的鄰域Ql(ε0,λ0，μ0,x0)+V0，存在n0∈N，當n＞n0時，有

又由引理8 知，Ql(ε0,λ0,μ0,x0)={x0}，并注意到（30）式，得

故點xn∈Ql(εn,λn,μn,xn)，則Ql(εn,λn,μn,xn)≠?.

可斷言Ql(εn,λn,μn,xn)為閉的.事實上，設{ωn}?Ql(εn,λn,μn,xn),ωn→ω0，則點ωn∈T(μn)，且

據(jù)T(μn)為閉集知，點ω0∈T(μn)，對任何的點y∈F(xn,λn,μn)，由（32）式得，存在點yn∈F(ωn,λn,μn)，使得y-yn∈K+εne.再由F(·,·,·)在點(ω0,λ0,μ0)處的上半連續(xù)性及引理2 得，存在點y0∈F(ω0,λ0,μ0)，及{ynk}?{yn}，ynk→y0，不失一般性，不妨設yn→y0，結合K的閉性知，

故F(xn,λn,μn)?F(ω0,λ0,μ0)+K+ε0e，這表明點ω0∈Ql(εn,λn,μn,xn)，從而知Ql(εn,λn,μn,xn)為閉集.

注意到T(μn)為閉集及Ql(εn,λn,μn,xn)?T(μn)，知Ql(εn,λn,μn,xn)為緊集，再結合引理6 知，Sl(εn,λn,μn,Ql(εn,λn,μn,xn))≠?.設點yn∈Sl(εn,λn,μn,Ql(εn,λn，μn,xn))，由（31）式及注4 的(i)知，

這與（29）式矛盾，故Sl(·,·,·)在點(ε0,λ0,μ0)處是下半連續(xù)的.

由引理4 的(ⅱ)，引理7，引理9，引理10，結合注3 的(ii)和注4 的(ii)，類似定理4 的論證過程可知：

定理5設F:X×Λ×Ω→2Y{?}，T:Ω →2X{?}為非空集值映射，且點(ε0,λ0,μ0)∈R+×Λ×Ω，e∈intK給定.又假如：

（?。〧(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上連續(xù)且具非空緊凸值；

（ⅱ）F(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上為嚴格近似上K-凸的；

（ⅲ）T(·)在點 μ0處連續(xù)具非空緊值且T(μ0)?X為緊凸子集

成立，則：

（?。㏒u(·,·,·)在點(ε0,λ0,μ0)處是下半連續(xù)的；

（ⅱ）(·,·,·)在點(ε0,λ0,μ0)處是下半連續(xù)的.

據(jù)定理1 的(i)，定理2 及定理4 知：

定理6設F:X×Λ×Ω →2Y{?}，T:Ω →2X{?}為非空集值映射，且點(ε0,λ0,μ0)∈R+×Λ×Ω，e∈intK給定.又假如：

（?。〧(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上連續(xù)且具非空緊值；

（ⅱ）F(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上為嚴格近似下K-凸的；

（ⅲ）T(·)在點 μ0處連續(xù)具非空緊值且T(μ0)?X為緊凸子集

成立，則：

（?。㏒l(·,·,·)在點(ε0,λ0,μ0)處是連續(xù)的；

由定理1 的(ii)，定理3 及定理5 知：

定理7設F:X×Λ×Ω →2Y{?}，T:Ω →2X{?}為非空集值映射，且點(ε0,λ0,μ0)∈R+×Λ×Ω，e∈intK給定.又假如：

（?。〧(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上連續(xù)且具非空緊凸值；

（ⅱ）F(·,·,·)在T(μ0)×{λ0}×{μ0}上為嚴格近似上K-凸的；

（ⅲ）T(·)在點 μ0處連續(xù)具非空緊值且T(μ0)?X為緊凸子集成立，則：

（?。㏒u(·,·,·)在點(ε0,λ0,μ0)處是連續(xù)的；

4 結語

在賦范線性空間中研究了含參集值優(yōu)化問題近似解集和弱近似解集的上半連續(xù)性和下半連續(xù)性.

（?。┮牒瑓⒓祪?yōu)化問題近似解與弱近似解的概念，給出近似解與弱近似解的基本性質關系.

（ⅱ）在目標函數(shù)映射具有廣義錐凸性，借助水平映射技巧，建立了含參集值優(yōu)化問題近似解集與弱近似解集的上半連續(xù)性和下半連續(xù)性的充分性定理.

（ⅲ）沿用本文研究含參集值優(yōu)化問題近似解集與弱近似解集半連續(xù)的基本思想，結合改進集的概念及性質，可進一步討論基于改進集的參數(shù)集值優(yōu)化問題近似解集與弱近似解集映射的Berge 連續(xù)性、Hausdorff 連續(xù)性等，且研究成果可為探索參數(shù)集值優(yōu)化問題各類解的H?lder 連續(xù)性、Lipschitz 連續(xù)性、緊閉性、連通性、適定性及算法設計等提供理論借鑒.