乒乓球軌跡預(yù)判及弧圈球的物理模型研究與仿真

林金妮 張麗穎 穆成富

湖州師范學(xué)院理學(xué)院 浙江湖州 313000

2021年8月18日，歷時(shí)17天的東京奧運(yùn)會(huì)落下帷幕，中國(guó)體育代表團(tuán)共收獲88枚獎(jiǎng)牌，其中，中國(guó)乒乓球隊(duì)在五個(gè)項(xiàng)目中以4金1銀的好成績(jī)收官。

乒乓球作為國(guó)球，技術(shù)一直處于國(guó)際領(lǐng)先水平，在我國(guó)有非常廣泛的群眾基礎(chǔ)。乒乓球從技術(shù)方面主要可以分為弧圈球、削球、接發(fā)球、搓球等。其中，弧圈球是一種強(qiáng)烈的上旋球，它的特點(diǎn)是既有強(qiáng)大的攻擊力，又有很強(qiáng)的穩(wěn)定性。由于它的旋轉(zhuǎn)力度非常強(qiáng)，因此，雖然它是上旋球，卻從傳統(tǒng)的上旋球中分離出來成為單獨(dú)的一類。當(dāng)今的弧圈高手比比皆是，其中我國(guó)的馬龍等運(yùn)動(dòng)員，都以拉弧圈球見長(zhǎng)。可見，弧圈球幾乎已經(jīng)成為職業(yè)運(yùn)動(dòng)員的一種必備打法。

1 弧圈球二維軌跡

對(duì)飛行中的弧圈球進(jìn)行受力分析，如圖1所示。

圖1 乒乓球受力分析示意圖

乒乓球重力表達(dá)式如下：

其中ρp為乒乓球的密度，d為乒乓球的直徑。

空氣給乒乓球的浮力數(shù)值等于乒乓球排開空氣的質(zhì)量：

其中ρa(bǔ)為空氣密度。

在運(yùn)動(dòng)過程中，乒乓球受到與運(yùn)動(dòng)方向相反的阻力:

其中Cd為阻力系數(shù)。

若乒乓球并非平動(dòng)，而有一定的旋轉(zhuǎn)角速度，則乒乓球還將受到馬格努斯力，其大小為:

其中ω為旋轉(zhuǎn)角速度。

馬格努斯力的方向可由右手螺旋定則判定，拇指指向旋轉(zhuǎn)軸，食指指向球運(yùn)動(dòng)方向，中指垂直于手面，即為馬格努斯力的方向。

根據(jù)牛頓第二定律，將乒乓球受到的力沿x軸、y軸分解，列出動(dòng)力學(xué)方程組。不妨設(shè)乒乓球運(yùn)動(dòng)方向與x軸正方向的夾角為α。

將各個(gè)力的表達(dá)式代入后得：

2 不同角速度對(duì)弧圈球軌跡的影響

當(dāng)一個(gè)旋轉(zhuǎn)物體的旋轉(zhuǎn)角速度矢量與物體飛行速度矢量不重合時(shí)，在與旋轉(zhuǎn)角速度矢量和平動(dòng)速度矢量組成的平面相垂直的方向上將產(chǎn)生一個(gè)橫向力。在這個(gè)橫向力的作用下物體飛行軌跡發(fā)生偏轉(zhuǎn)的現(xiàn)象，稱作馬格努斯效應(yīng)，這個(gè)橫向力成為馬格努斯力。

以上旋球?yàn)槔?，上旋球在飛行期間，上沿氣流與迎面氣流方向相反，流速減慢，下沿氣流和迎面氣流方向相同，其流速加快，根據(jù)伯努利方程，空氣給球一個(gè)向下的馬格努斯力。不同的角速度會(huì)影響馬格努斯力的大小，進(jìn)而影響乒乓球的運(yùn)動(dòng)軌跡。

通過查閱資料，對(duì)本文中的一些參數(shù)進(jìn)行合理取值。目前國(guó)際乒乓球賽事中專用球的直徑為40mm，質(zhì)量為2.6～2.8g，本文中取質(zhì)量為2.7g進(jìn)行計(jì)算。其中空氣密度為ρa(bǔ)=1.293kg/m3。設(shè)定初值，阻力系數(shù)取Cr=0.44，初速度v=10m/s，α=15°，選取角速度為ω=0、ω=40r/s、ω=80r/s、ω=120r/s進(jìn)行計(jì)算討論。通過軟件Mathematica對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行求解，繪制出不同角速度下乒乓球觸臺(tái)前的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖2所示。

圖2 不同角速度乒乓球的運(yùn)動(dòng)軌跡

由圖2可以看出，初速度相同時(shí)，不同的角速度會(huì)使運(yùn)動(dòng)軌跡有明顯的差別。初速度與出射角速度相同，則四種情況下初速度水平分量相同，故落點(diǎn)的遠(yuǎn)近與飛行時(shí)間成正比。從圖中可以看出，當(dāng)乒乓球不旋轉(zhuǎn)時(shí)，飛行距離最遠(yuǎn)，即飛行時(shí)間最長(zhǎng)；為上旋球時(shí)，由于受到向下的馬格努斯力飛行時(shí)間縮短，與不轉(zhuǎn)球相比，飛行曲線彎曲度大，弧高要低，落點(diǎn)近；隨著角速度的增加，在馬格努斯力的影響下，乒乓球落點(diǎn)的距離更靠近出發(fā)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)軌跡的最高點(diǎn)更低，飛行時(shí)間更短。研究表明，運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)機(jī)能與神經(jīng)反應(yīng)有密切的關(guān)系，上旋球的旋轉(zhuǎn)速度越強(qiáng)，在空中的飛行時(shí)間就越短，給對(duì)手的反應(yīng)時(shí)間就越短，顯然這樣的回球質(zhì)量更高，也更具有威脅力。

上旋球著臺(tái)時(shí)，球給臺(tái)面一個(gè)向后的摩擦力，臺(tái)面給球一個(gè)大小相同、方向向前的摩擦力，從而使球反彈時(shí)，與臺(tái)面法線方向夾角增大，前進(jìn)速度加快，這也給對(duì)手回球增加了難度，如圖3所示。

圖3 上旋球落臺(tái)后運(yùn)動(dòng)軌跡

而在實(shí)戰(zhàn)中，并非角速度越大，回球的質(zhì)量就一定越高。隨著角速度的增加，軌跡最高點(diǎn)會(huì)降低，便有可能出現(xiàn)不過網(wǎng)的情況，那便會(huì)讓對(duì)方直接得分。(國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)的乒乓球桌尺寸為長(zhǎng)2.740m，寬1.525m，網(wǎng)高0.1525m。)

3 不同阻力系數(shù)對(duì)弧圈球軌跡的影響

為探究阻力系數(shù)對(duì)弧圈球運(yùn)動(dòng)軌跡的影響，須設(shè)定合適的初值。不妨設(shè)初速度v=10m/s，速度與x軸的夾角α=18°，角速度ω=80r/s，分別取阻力系數(shù)Cr=0.2、0.3、0.4、0.5進(jìn)行討論，繪制出不同阻力系數(shù)下乒乓球觸臺(tái)前的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖4所示。

圖4 不同阻力系數(shù)乒乓球的運(yùn)動(dòng)軌跡

由圖可知，改變阻力系數(shù)會(huì)對(duì)乒乓球的運(yùn)動(dòng)軌跡造成一定的影響。其影響主要體現(xiàn)在軌跡的后半段，從原點(diǎn)到最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡基本重合。在其他條件相同時(shí)，阻力系數(shù)較小，乒乓球的落點(diǎn)較遠(yuǎn)，反之則較近。

4 不同初速度對(duì)弧圈球軌跡的影響

運(yùn)動(dòng)員揮拍的速度和力道以及球拍膠面的材質(zhì)等多種因素，都會(huì)影響到乒乓球的初速度。初速度的不同會(huì)影響乒乓球在空中的飛行速度，從而進(jìn)一步影響其飛行軌跡。一方面，空氣阻力使得乒乓球的飛行受阻，前進(jìn)速度越快，空氣阻力越大；另一方面，當(dāng)乒乓球運(yùn)動(dòng)具有一定旋轉(zhuǎn)角速度時(shí)，飛行速度越大，其所受到的馬格努斯力越大。由于空氣阻力和馬格努斯力的存在，使得乒乓球飛行速度的大小和方向會(huì)發(fā)生非線性改變，能夠形成不同的落點(diǎn)。因此，初速度的選擇對(duì)于乒乓球的飛行軌跡和落點(diǎn)都有著很大影響。

國(guó)家隊(duì)運(yùn)動(dòng)員的一般球速為10～15m/s，日常打球時(shí)的平均球速可能會(huì)低于10m/s。參考該數(shù)值，設(shè)定初值角速度ω=80r/s，阻力系數(shù)Cr=0.44，速度與x軸的夾角α=15°。選取初速度v=7m/s、v=10m/s、v=13m/s、v=16m/s進(jìn)行計(jì)算討論，繪制出其運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖5所示。

圖5 不同初速度乒乓球的運(yùn)動(dòng)軌跡

由圖5可以看出，其他條件相同時(shí)，不同的初速度會(huì)使乒乓球的飛行軌跡會(huì)有明顯的差別。初速度較大時(shí)，乒乓球的落點(diǎn)會(huì)較遠(yuǎn)，最高點(diǎn)也會(huì)較高。為上旋球時(shí)，由于速度大的乒乓球所受到向下的馬格努斯力較大，使得飛行弧線變低，從圖可以看出乒乓球的飛行并非是拋物線軌跡。在比賽中，運(yùn)動(dòng)員的出球速度越快，留給對(duì)手的反應(yīng)時(shí)間就短。顯然，一個(gè)速度較快的弧圈球更具有殺傷力，能夠增大對(duì)方回球時(shí)的失誤概率，但是速度過快也會(huì)容易使乒乓球出球臺(tái)而失分。因此，經(jīng)過分析可得，在本文設(shè)置的條件下，v=13m/s和v=16m/s乒乓球會(huì)落在球臺(tái)之外，v=7m/s乒乓球會(huì)下網(wǎng)而無法到達(dá)對(duì)方半球臺(tái)，在四個(gè)設(shè)定的速度中，v=10m/s為質(zhì)量最高的弧圈球。

5 不同出球角度對(duì)弧圈球軌跡的影響

上文論述到，乒乓球的角速度和初速度等因素會(huì)對(duì)弧圈球的質(zhì)量有較大的影響，還有一個(gè)較為重要的因素是出球角度，它與揮拍方向和拍面角度息息相關(guān)，運(yùn)動(dòng)員可以通過日常訓(xùn)練揮拍方向和拍面角度，來控制乒乓球的出球角度。

設(shè)定初值，角速度ω=80r/s，阻力系數(shù)Cr=0.44，初速度v=10m/s，選取出球角度α=10°、α=14°、α=18°、α=22°進(jìn)行計(jì)算討論，繪制出其運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖6所示。

圖6 不同出球角度乒乓球的運(yùn)動(dòng)軌跡

由圖可知，其他條件相同時(shí)，不同的出球角度會(huì)使其運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)有明顯的差別。出球角度較大時(shí)，乒乓球的落點(diǎn)會(huì)較遠(yuǎn)，最高點(diǎn)也會(huì)較高。在比賽中，一個(gè)速度較快的弧圈球顯然會(huì)更加有殺傷力，但是這也會(huì)容易使乒乓球出球臺(tái)而失分。在本文設(shè)置的條件下，α=22°乒乓球會(huì)落在球臺(tái)之外，α=10°乒乓球會(huì)下網(wǎng)而無法到達(dá)對(duì)方半球臺(tái)，α=14°的運(yùn)動(dòng)軌跡中，最高點(diǎn)在0.14m左右，有可能存在擦網(wǎng)而過的運(yùn)氣球，但比較危險(xiǎn)，在四個(gè)設(shè)定的速度中，α=18°為質(zhì)量最高的弧圈球。