數(shù)學(xué)建模案例融入線性代數(shù)教學(xué)的探索

李燕娟 王芬琴

蘭州博文科技學(xué)院 甘肅蘭州 730101

1 概述

線性代數(shù)課程是理工類專業(yè)必修的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，它在工程技術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，并且在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力方面起著非常重要的作用。但是線性代數(shù)教學(xué)目前仍然存在以下問題：第一，著重理論教學(xué)，晦澀難懂，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)主動性不強；第二，與實際問題聯(lián)系較少，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)。因此，線性代數(shù)教學(xué)改革迫在眉睫。

數(shù)學(xué)建模是根據(jù)實際問題用數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而分析問題，建立模型，然后運用數(shù)學(xué)知識對模型求解，最后根據(jù)計算結(jié)果來解決實際問題的過程[1]。線性代數(shù)中有許多概念抽象難懂，學(xué)生聽得云里霧中，掌握不牢固，更是覺得學(xué)習(xí)相關(guān)知識沒有什么用。所以，在講解概念的過程中引入數(shù)學(xué)模型，有助于對概念的深入理解，起到事半功倍的作用[2]。將數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)教學(xué)過程中，理論聯(lián)系實際，不僅活躍課堂氣氛，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，而且利用數(shù)學(xué)模型，變抽象為具體，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。下面通過引入數(shù)學(xué)模型來詮釋線性代數(shù)中矩陣的定義、矩陣相乘、矩陣的逆等知識點。

2 數(shù)學(xué)建模案例研究

例1[3]：某航空公司在A、B、C、D共4個城市之間開通若干條航線，這4個城市間的航班通行情況如下圖所示。若有航班通行用“1”表示，無航班通行用“0”表示，則根據(jù)這4個城市之間的通行情況建立如下表1。問題：中轉(zhuǎn)一次可以使C城市和D城市之間通航嗎？

表1

分析：用圖表示通行情況存在一定的弊端，比如當(dāng)城市無限增多時，圖形看起來很復(fù)雜。而換用表格表示，則只需增加相應(yīng)行和列即可，此時恰好引入矩陣的概念，并利用表格說明矩陣的特點，矩陣是個數(shù)表，而且數(shù)表里面的元素不能隨意變換位置。例1用矩陣就可以表示為:

解：城市ABCD用數(shù)字1234表示，矩陣F中的元素fij等于1表示兩個城市之間可以通航，等于0表示兩個城市之間不能通航。則圖或者表格可以表示為矩陣F，下面求中轉(zhuǎn)一次兩個城市之間的通行情況:

矩陣G中的元素gij表示從城市i到城市j中轉(zhuǎn)一次的路線條數(shù)，b34=0表示從城市C到城市D中轉(zhuǎn)一次不能通航；b43=1表示從城市D到城市C中轉(zhuǎn)一次只有1條路線，D→A→C。

例2：線性代數(shù)課程的綜合成績是由考勤、提問、作業(yè)和末考構(gòu)成的，分別占比10%、10%、20%和60%。已知甲、乙、丙、丁四名同學(xué)考勤、提問、作業(yè)、末考成績?nèi)缦卤?所示，問題：四名同學(xué)成績從高到低的順序是什么？

表2

分析：將甲、乙、丙、丁四名同學(xué)的每項成績乘以相應(yīng)比例可得綜合成績，可以寫出兩個矩陣，第一個矩陣行表示四名同學(xué)，列表示各項成績，第二個矩陣只有一列表示各項成績占比，最后再相乘。

解：由題意可設(shè)以下兩個矩陣:

由矩陣相乘可得:

C即為四名同學(xué)的綜合成績，從結(jié)果易得：第一名是甲，第二名是乙和丙，第三名是丁。

計算過程可借助Matlab軟件，編寫程序：

A=[100 90 90 82；100 95 95 78；85 90 90 83；90 90 80 85]；

B=[0.1；0.1；0.2；0.6]；

C=A*B

按Enter鍵，就可得結(jié)果為:

C=

86.2000

85.3000

85.3000

85.0000

從這個例題可以看出，末考成績第一名其綜合成績并不是第一名，末考成績最后一名其綜合成績是第二名，此時教育學(xué)生不要只為考試而學(xué)習(xí)，要注重平時學(xué)習(xí)的重要性，學(xué)習(xí)是持續(xù)性的，不是一蹴而就的。

例3：為確保傳遞信息的保密性，往往會對傳輸信息進(jìn)行加密再解密，可得知傳遞的原信息。例如，若要傳遞信息stop，我們可采取26個英文字母與數(shù)字對應(yīng)的加密法。假設(shè)26個英文字母與數(shù)字之間建立一一對應(yīng)關(guān)系

分析：已知C=AB，求B，首先求A-1，再求B=A-1C，根據(jù)字母與數(shù)字的對應(yīng)關(guān)系，就可以知道原傳輸信息內(nèi)容。

解：根據(jù)伴隨方陣法或者初等變換法求A-1，

方法一：伴隨方陣法

A11=0，A21=1，A31=-1，A41=0，A12=1，A22=-2，A32=3，A42=-2，A13=0，A23=1，A33=-2，A43=1，A14=-1，A24=0，A34=-1，A44=1，

方法二：初等變換法

所以:

根據(jù)字母與數(shù)字的對應(yīng)關(guān)系，7，15，15，4對應(yīng)的字母為g，o，o，d，可得原傳輸信息為good，以上為解密過程。

利用Matlab軟件可求A-1和B，程序為：

A=[1 0 -1 1；0 1 1 1；1 1 1 1；2 1 0 1]；

inv(A)

ans=

B=[0 -1 1 0；-1 2 -3 2；0 -1 2 -1；1 0 1 -1]*[-4；34；41；33]

B=

結(jié)語

在線性代數(shù)教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)建模案例，使知識變得直觀化、具體化，通過實際問題和數(shù)學(xué)聯(lián)系起來，使學(xué)生更容易接受新知識，將實際問題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問題來解決，從而提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。在數(shù)學(xué)建模案例選取過程中，需要注意以下幾點：(1)根據(jù)學(xué)生的接受能力選取適當(dāng)?shù)陌咐?，不易太難。(2)根據(jù)學(xué)生的專業(yè)選取合適的案例，使學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)知識融入專業(yè)知識中，使后續(xù)的專業(yè)課學(xué)習(xí)更加得心應(yīng)手。那么，如何有效地將數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)課程的教學(xué)過程中，這是一個長期的、需要不斷探索的、潛移默化的過程。因此，應(yīng)逐步將數(shù)學(xué)建模與線性代數(shù)教學(xué)有機結(jié)合，將學(xué)與用有機結(jié)合，將專業(yè)基礎(chǔ)知識教育與培養(yǎng)學(xué)生綜合素質(zhì)、創(chuàng)新能力、應(yīng)用能力有機結(jié)合[4]，這對培養(yǎng)應(yīng)用型人才具有很大的促進(jìn)作用。