基于GESO的鋼筋混凝土梁拓?fù)鋬?yōu)化方法研究

鄭中華，楊宏衛(wèi)

（1.張家界市市政工程有限責(zé)任公司，湖南 張家界 427000；2.瀘溪縣交通建設(shè)質(zhì)量安全監(jiān)督管理站，湖南 湘西土家族苗族自治州 416100）

大跨度橋梁中，有許多鋼筋混凝土受力構(gòu)件，如：斜拉橋索塔錨固區(qū)、斜拉橋索塔橫梁與塔柱交界區(qū)和異形剛構(gòu)彎橋墩梁交界區(qū)等構(gòu)件。其截面正應(yīng)變呈非線性分布，不滿足平截面假定[1]，被定義為“D區(qū)”構(gòu)件。針對(duì)此類結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合試驗(yàn)或有限元法（finite element method，簡稱為FEM）進(jìn)行，若尺寸與鋼筋布置不合理，會(huì)造成鋼筋浪費(fèi)?？紤]結(jié)構(gòu)受力特性對(duì)D區(qū)構(gòu)件的優(yōu)化，得到最優(yōu)的結(jié)構(gòu)尺寸與鋼筋布置，屬于當(dāng)前結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。

近年來，拓?fù)鋬?yōu)化作為結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域的重要手段，相關(guān)技術(shù)得到了快速發(fā)展與廣泛應(yīng)用。拓?fù)鋬?yōu)化相較于尺寸優(yōu)化與形狀優(yōu)化，能在指定設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)尋找出最優(yōu)材料分布，避免尺寸優(yōu)化與形狀優(yōu)化帶來的人為差錯(cuò)。國內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題進(jìn)行了研究。AU 等人[2]基于凸模型給出了不確定荷載下桁架結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化方法。KWAK 等人[3]利用漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法（evolutionary structural optimization，簡稱為ESO）獲取了對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)的拉壓桿模型，可用于復(fù)雜混凝土受力構(gòu)件的配筋。張鵠志等人[4]基于ANSYS 平臺(tái)，探討了位移邊界條件對(duì)鋼筋混凝土深梁拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型的影響，對(duì)深梁不同支座約束、開洞、配筋力學(xué)特性的差異進(jìn)行了對(duì)比分析。GARCIALOPEZ 等人[5]利用ESO 算法對(duì)連續(xù)體在荷載及材料不確定情況下的拓?fù)鋬?yōu)化方法進(jìn)行了研究，提出了一種基于多目標(biāo)進(jìn)化算法的魯棒拓?fù)鋬?yōu)化方法。LIU 等人[6]將遺傳算法（genetic algorithm，簡稱為GA）與ESO 算法結(jié)合，提出了遺傳演化拓?fù)鋬?yōu)化算法（genetic evolutionary structural optimization，簡稱為GESO），建立了開洞深梁拉壓桿模型，并通過試驗(yàn)對(duì)比了經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)構(gòu)件和遺傳演化拓?fù)鋬?yōu)化算法設(shè)計(jì)構(gòu)件的力學(xué)性能。劉霞等人[7]利用GESO 算法，構(gòu)建了符合Michelle 準(zhǔn)則的鋼筋混凝土梁拉壓桿模型，并驗(yàn)證了靜載試驗(yàn)對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化后的結(jié)構(gòu)承載力。但許多學(xué)者未考慮鋼筋混凝土為組合材料，只將其作為單一材料進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，因而無法獲取鋼筋最優(yōu)布置。雖部分學(xué)者以素混凝土拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型建立拉壓桿模型，并以此進(jìn)行配筋設(shè)計(jì)，但忽略了材料非線性與應(yīng)變的協(xié)調(diào)，無法得到最優(yōu)配筋方案[8]。郭旭等人[9]的研究表明：不同荷載、位移邊界條件下，得到的鋼筋混凝土拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果存在一定差異。因此，本研究擬利用鋼筋混凝土分離模型，結(jié)合GESO算法，研究不同荷載、位移邊界條件的鋼筋混凝土梁拓?fù)鋬?yōu)化，以期為類似工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考。

1 ESO、GA 基本原理及GESO 算法的提出

1.1 經(jīng)典ESO算法

重量約束的優(yōu)化的計(jì)算式為[10-11]：

式中：C(x)為平均應(yīng)變能函數(shù)；K、u分別為整體剛度矩陣與位移向量；Ki、ui分別為第i個(gè)單元的剛度矩陣與位移向量，當(dāng)結(jié)構(gòu)平均應(yīng)變能最小時(shí)結(jié)構(gòu)剛度最大；W′為結(jié)構(gòu)能達(dá)到的最輕重量；xi為單元是否刪除的設(shè)計(jì)變量；Wi為第i個(gè)單元的重量。

單元?jiǎng)h除引起的平均應(yīng)變能改變量ΔC、位移改變量Δu(1)、重量改變量ΔW分別為[10]：

式中：z為線性方程階數(shù)，根據(jù)已有ESO 數(shù)值計(jì)算結(jié)果可知，基于一階導(dǎo)數(shù)的靈敏度分析已滿足要求；Z(1)為作用于位移約束點(diǎn)的單位虛荷載，u(1)為Z(1)作用下的位移，且滿足Ku(1)=Z(1)。

將重量約束優(yōu)化轉(zhuǎn)化為無約束最優(yōu)化，則：

式中：λ為拉格朗日乘子。

對(duì)于離散設(shè)計(jì)變量，式（6）可改寫為：

將式（8）帶入式（7），因所有單元z值相等，約去z，可得：

定義αi為第i個(gè)單元的靈敏度，其計(jì)算式為：

通過ESO 算法，逐步去除結(jié)構(gòu)的無效材料，使剩余部分有效承擔(dān)荷載，并盡可能減小結(jié)構(gòu)各位置的應(yīng)力水平差異，其流程如圖1所示。

圖1 ESO算法基本流程Fig.1 Basic flow of the ESO algorithm

1.2 經(jīng)典GA算法

1975 年HOLLAND[12]提出GA 算法，將一群染色體（二進(jìn)制串）作為操作對(duì)象（種群）每個(gè)染色體對(duì)應(yīng)優(yōu)化的一個(gè)解。在種群初始化后，評(píng)價(jià)其適應(yīng)度函數(shù)值?；谀骋贿x擇策略在種群中選擇較優(yōu)個(gè)體，采用交叉、變異等手段產(chǎn)生下一代種群，以此方式演化直至達(dá)到終止條件。相較于傳統(tǒng)算法，GA 算法具有較顯著的智能性，其適應(yīng)度函數(shù)值較大的個(gè)體具有較高的生存概率，搜索具有自適應(yīng)的特點(diǎn)且適合大規(guī)模并行計(jì)算，可以同時(shí)搜索解空間的多個(gè)區(qū)域，并進(jìn)行信息交流[13]。

經(jīng)典GA算法的流程為：

1）編碼。實(shí)際問題的可行解，從解空間轉(zhuǎn)換到GA 算法搜索空間。常用編碼方式為二進(jìn)制編碼、Grey編碼、實(shí)數(shù)編碼等。

2）種群初始化。根據(jù)選擇的編碼方式，隨機(jī)生成指定數(shù)目的個(gè)體。

3）計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)值。通過適應(yīng)度函數(shù)衡量個(gè)體優(yōu)劣。

4）選擇。在當(dāng)前群體中按一定概率選擇較優(yōu)個(gè)體組成新種群，常用選擇方法有錦標(biāo)賽法、輪盤賭法等。

5）交叉。從種群中隨機(jī)選擇兩個(gè)個(gè)體，將其染色體進(jìn)行交換組合，產(chǎn)生新的優(yōu)秀個(gè)體。

6）變異。在種群中隨機(jī)選擇一個(gè)個(gè)體，在其染色體的某一點(diǎn)進(jìn)行變異，產(chǎn)生更為優(yōu)秀的個(gè)體。

7）判斷。判斷是否滿足終止條件，若不滿足，則回到步驟3。

1.3 GESO算法

為優(yōu)化智能性與并行性，將GA算法與ESO算法結(jié)合，以ESO 算法的初始有限元網(wǎng)格作為初始種群，采用二進(jìn)制串對(duì)染色體基因進(jìn)行編碼，以靈敏度αi作為適應(yīng)度函數(shù)，引入選擇、交叉、變異等操作，當(dāng)某單元染色體所有基因均為0時(shí)，將該單元?jiǎng)h除。其流程如圖2所示：

圖2 GESO算法流程Fig.2 Basic flow of the GESO algorithm

1.4 算法驗(yàn)證

為驗(yàn)證GESO 算法的準(zhǔn)確性，對(duì)文獻(xiàn)[14]中開洞梁墻進(jìn)行優(yōu)化，并將結(jié)果與文獻(xiàn)[15]采用ESO 算法優(yōu)化得到的拓?fù)錁?gòu)型進(jìn)行對(duì)比，主要幾何參數(shù)如圖3所示。梁墻左、右兩端為固結(jié)邊界約束，外荷載F=40 kN，對(duì)比結(jié)果如圖4所示。

圖3 開洞深梁幾何參數(shù)（單位：mm）Fig.3 Geometric parameters of the deep beam with holes(unit:mm)

圖4 ESO算法與GESO算法優(yōu)化結(jié)果對(duì)比Fig.4 Comparison of optimization results from the ESO algorithm and GESO algorithm

從圖4中可以看出，針對(duì)同一具有幾何對(duì)稱性的初始模型，GESO 算法得到的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果對(duì)稱性更佳，結(jié)構(gòu)更為簡潔美觀，其刪除率為0.81，大于經(jīng)典ESO 算法的0.78。通過該算例，驗(yàn)證了GESO 算法的正確性，其可用于不同荷載、位移邊界條件下鋼筋混凝土梁的拓?fù)鋬?yōu)化。

2 基于鋼筋混凝土分離模型的拓?fù)鋬?yōu)化

目前較多研究將鋼筋混凝土視為單一均質(zhì)材料進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，以優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)建立拉壓桿模型并計(jì)算配筋，該方法無法獲得最優(yōu)鋼筋布置方案，且步驟繁瑣，效率較低。拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果與結(jié)構(gòu)所受外荷載、邊界條件息息相關(guān)。因此，本研究采用鋼筋混凝土分離模型，利用GESO算法，優(yōu)化不同荷載、邊界條件下的鋼筋混凝土梁拓?fù)洹?/p>

2.1 鋼筋混凝土分離模型

鋼筋混凝土分離模型與單一材料梁結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的不同處在于：按實(shí)際結(jié)構(gòu)分別建立鋼筋、混凝土，并僅以鋼筋單元作為GESO初始群體進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化。具體優(yōu)化流程與圖2一致。

2.2 二維矩形梁拓?fù)鋬?yōu)化

2.2.1 初步拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型的生成

以文獻(xiàn)[1]的試件作為待優(yōu)化初始結(jié)構(gòu)，建立初始鋼筋混凝土分離FEM 模型，其長1 000 mm，高600 mm，厚160 mm，混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C30，采用直徑為8 mm 的HPB300 鋼筋，其部分荷載、邊界組合下二維平面模型如圖5所示。矩形梁不同荷載與邊界條件組合下的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖6 所示，優(yōu)化對(duì)比見表1。

圖5 初始矩形梁鋼筋混凝土分離FEM模型及荷載邊界組合Fig.5 Initial rectangular beam reinforced concrete separated FEM model and load boundary combination

圖6 矩形梁不同荷載、邊界條件下拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig.6 Topology optimization results of rectangular beam under different loads and boundary conditions

表1 荷載、邊界組合及優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)響應(yīng)Table 1 Load,boundary combination and structural response before and after optimization

由表1可知，各類不同荷載、邊界條件組合下的二維矩形梁，經(jīng)GESO算法拓?fù)鋬?yōu)化后，刪除率均達(dá)到0.7 左右。對(duì)于大部分情況，優(yōu)化后最大位移與A 點(diǎn)應(yīng)力均有不同程度的降低，位移減少0.01～0.14 mm，應(yīng)力變化范圍為－1.43～2.54 MPa。從圖6 中可以看出，初始狀態(tài)時(shí)，矩形梁滿布縱向、橫向和45°斜向的鋼筋。根據(jù)不同荷載、位移邊界條件進(jìn)行優(yōu)化后的鋼筋構(gòu)型存在一定差異。表明：結(jié)構(gòu)在不同荷載、位移邊界條件下的傳力路徑有差異。

2.2.2 拓?fù)浣獾暮喕?/p>

基于GESO算法，鋼筋混凝土分離二維矩形梁模型拓?fù)鋬?yōu)化后的鋼筋構(gòu)型如圖6所示，但該初步拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型較粗糙，部分區(qū)域過于復(fù)雜，鋼筋存在不合理的斷開。實(shí)際構(gòu)件制造加工中，難以按圖6中鋼筋形式進(jìn)行布置。因此，需對(duì)該拓?fù)浣膺M(jìn)行簡化，連接斷開鋼筋，分解歸并部分區(qū)域較為復(fù)雜的鋼筋。

簡化流程為：

1）對(duì)位于同一直線上的斷開鋼筋進(jìn)行連接，連接鋼筋直徑與斷開鋼筋直徑相等。

2）根據(jù)文獻(xiàn)[16]，按強(qiáng)度等效條件對(duì)需要分解的斜筋進(jìn)行分解：

式中：fyx、fyy、fy分別為分解后的橫向鋼筋設(shè)計(jì)強(qiáng)度、分解后的豎向鋼筋設(shè)計(jì)強(qiáng)度、斜筋的設(shè)計(jì)強(qiáng)度；Asx、Asy、As分別為橫向鋼筋、豎向鋼筋、斜筋的截面積；θ為斜筋傾角。

3）按強(qiáng)度等效、間距等效原則，對(duì)平行鋼筋進(jìn)行歸并：

式中：n1、n2分別為歸并前后鋼筋數(shù)量；fy1、fy2分別為歸并前、后的鋼筋強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；As1、As2分別為歸并前、后單根鋼筋截面積；s1、s2分別為歸并前、后的鋼筋間距。

以組合7～9 為例，簡化拓?fù)浣猓Y(jié)果如圖7所示。

圖7 矩形梁拓?fù)浣夂喕Y(jié)果Fig.7 Simplified results of topological solution of rectangular beam

從圖7 中可以看出，依據(jù)簡化拓?fù)浣獾慕Y(jié)果，鋼筋排布更合理，且總用鋼量大幅下降，其排布具有可行性。

2.3 三維T梁拓?fù)鋬?yōu)化

本研究將二維矩形梁拓?fù)鋬?yōu)化和拓?fù)浣夂喕椒ㄍ茝V至三維T形梁，鋼筋混凝土分離模型的主要幾何參數(shù)如圖8所示。初步拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型與組合7～9拓?fù)浣夂喕蟮臉?gòu)型如圖9所示，拓?fù)浣夂喕笈c初始結(jié)構(gòu)響應(yīng)對(duì)比見表2。

圖8 初始T梁鋼筋混凝土分離模型幾何參數(shù)（單位：mm）Fig.8 Geometric parameters of the initial T beam reinforced concrete separation model(unit:mm)

圖9 T梁拓?fù)浣夂喕Y(jié)果Fig.9 Simplified results of topological solution of T beam

從圖9中可以看出，對(duì)于組合7～9，優(yōu)化拓?fù)湓龠M(jìn)行簡化后，鋼筋數(shù)量顯著減少，去除原始狀態(tài)下較多的冗余鋼筋，簡化后的鋼筋排布較為合理，具有可行性。不同荷載、位移邊界條件下，優(yōu)化后的構(gòu)型存在差異，導(dǎo)致各拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果不同。由表2 可知，鋼筋刪除率為0.65～0.69，位移優(yōu)化后較初始值降低0.02～0.21 mm，優(yōu)化后應(yīng)力較初始值的變化范圍在－0.22～1.97 MPa，表明：本研究算法在保證位移、應(yīng)力變化可控的前提下對(duì)鋼筋進(jìn)行了有效拓?fù)鋬?yōu)化。

表2 荷載、邊界組合及優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)響應(yīng)Table 2 Load,boundary combination and structural response before and after optimization

3 結(jié)論

利用GESO算法，實(shí)現(xiàn)了不同荷載、位移邊界條件下分離式鋼筋混凝土模型的拓?fù)鋬?yōu)化，給出了平面二維矩形梁與三維T梁拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，得到結(jié)論為：

1）GESO 算法能有效實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化。由于遺傳算法的引入，其與傳統(tǒng)ESO 算法對(duì)比，效率更高，刪除率、構(gòu)型對(duì)稱性與美觀性更優(yōu)。

2）分離式鋼筋混凝土模型規(guī)避了傳統(tǒng)鋼筋混凝土梁優(yōu)化方法無法單獨(dú)直接獲取鋼筋布置形式的缺陷，同時(shí)引入連接、分解、歸并等方法對(duì)初始拓?fù)浣膺M(jìn)行簡化處理，得到可用于實(shí)際的拓?fù)浣?。二維矩形梁拓?fù)鋬?yōu)化后，最大位移與A 點(diǎn)應(yīng)力均有不同程度的降低，位移減少約0.01～0.14 mm，應(yīng)力變化范圍約－1.43～2.54 MPa；三維T梁拓?fù)鋬?yōu)化后，鋼筋刪除率為0.65～0.69，位移優(yōu)化后的值較初始值降低0.02～0.21 mm，應(yīng)力優(yōu)化后的值較初始值的變化范圍在－0.22～1.97 MPa。

3）不同荷載、位移邊界條件下拓?fù)鋬?yōu)化后鋼筋構(gòu)型存在顯著差異，對(duì)于不同荷載、位移邊界條件下的梁配筋設(shè)計(jì)，應(yīng)分別考慮其邊界條件與荷載作用，得到最合理的配筋方案。