交錯(cuò)二項(xiàng)式系數(shù)連帶奇數(shù)倒數(shù)平方和級(jí)數(shù)

張來(lái)萍, 及萬(wàn)會(huì)

(1.寧夏大學(xué) 新華學(xué)院,寧夏 銀川 750021；2．寧夏民族職業(yè)技術(shù)學(xué)院 教育系，寧夏 吳忠 751100)

0 引言

1 主要結(jié)果和證明

(1) 奇數(shù)倒數(shù)平方和級(jí)數(shù)的二項(xiàng)式系數(shù)分母包含1個(gè)因子:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(2)奇數(shù)倒數(shù)平方和級(jí)數(shù)的二項(xiàng)式系數(shù)分母包含2個(gè)因子:

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(3)奇數(shù)倒數(shù)平方和級(jí)數(shù)的二項(xiàng)式系數(shù)分母包含3個(gè)因子:

(12)

(13)

(14)

(15)

(4)奇數(shù)倒數(shù)平方和級(jí)數(shù)的二項(xiàng)式系數(shù)分母包含4個(gè)因子:

(16)

(17)

(18)

(19)

(5) 奇數(shù)倒數(shù)平方和級(jí)數(shù)的二項(xiàng)式系數(shù)分母包含5個(gè)因子:

(20)

(1) 奇數(shù)倒數(shù)平方和級(jí)數(shù)的二項(xiàng)式系數(shù)分母包含1個(gè)因子：

(2)連續(xù)奇數(shù)倒數(shù)平方和級(jí)數(shù)交錯(cuò)的二項(xiàng)式系數(shù)分母含有2個(gè)因子：

(3)連續(xù)奇數(shù)倒數(shù)平方和級(jí)數(shù)交錯(cuò)的二項(xiàng)式系數(shù)分母含有3個(gè)因子：

(4)連續(xù)奇數(shù)倒數(shù)平方和級(jí)數(shù)交錯(cuò)的二項(xiàng)式系數(shù)分母含有4個(gè)因子：

(5)交錯(cuò)的二項(xiàng)式系數(shù)連帶連續(xù)奇數(shù)倒數(shù)平方和級(jí)數(shù)的分母含有5個(gè)因子：

(21)

(1)對(duì)(21)式左邊進(jìn)行裂項(xiàng):

設(shè)k-1=m，則有

化簡(jiǎn)得

B1即為(1)式。

(2)對(duì)(21)式左邊繼續(xù)進(jìn)行裂項(xiàng)：

設(shè)k-2=m，則有

(22)

(22)式左邊轉(zhuǎn)化成部分分式，則有

因?yàn)锽，B1已知,故通過計(jì)算可有

B2即為(2)式。

(22)式中B,B1,B2都已知，便可得2個(gè)因子乘積的二項(xiàng)式系數(shù)連帶連續(xù)奇數(shù)倒數(shù)平方和級(jí)數(shù)公式(6)。

(3)對(duì)(21)式的左邊進(jìn)行裂項(xiàng)運(yùn)算：

令k-2=m，則有

(23)

將(23)式的每個(gè)分式化成部分分式，則有

其中B,B1,B2都已知，通過計(jì)算得

B3即為(3)式。

分別設(shè)

以B3證明連續(xù)奇數(shù)倒數(shù)平方和上標(biāo)增加1項(xiàng)或幾項(xiàng)不改變其和式收斂性。

前和式為二項(xiàng)式系數(shù)連帶連續(xù)奇數(shù)倒數(shù)平方和表達(dá)式,后式極限趨于0。

則有

結(jié)論：連續(xù)奇數(shù)倒數(shù)平方和上標(biāo)增加1項(xiàng)或幾項(xiàng)不改變其和式收斂性。

(23)式中留下2個(gè)因子的分式,其他轉(zhuǎn)化成部分分式,對(duì)這些2個(gè)因子的分式，每次保留1個(gè)，其余化成部分分式，則有

其中B,B1,B2,B3已知，通過計(jì)算可得(7)～(8)式。

(23)式中留下3個(gè)因子分式，其余的分式轉(zhuǎn)化成部分分式,則有

其中B,B1,B2,B3已知，通過計(jì)算可得(12)式。

(21)式左邊進(jìn)行裂項(xiàng)運(yùn)算:

令k-4=m,則有

(24)

將(24)式的分式化成部分分式，則有

此時(shí)B,B1,B2,B3已知，通過計(jì)算可得

B4即為(4)式。

在(24)式中留下有2個(gè)因子的分式，其余化成部分分式，則有

此時(shí)B,B1,B2,B3,B4已知，通過運(yùn)算可得(9)～(11)式。

(24)式中留下3個(gè)因子的分式其余化成部分分式，可得

此時(shí)B,B1,B2,B3,B4,B5已知，通過運(yùn)算可得(13)～(15)式。

(24)式中保留4個(gè)因子的分式，其余化成部分分式，可得

此時(shí)B,B1,B2,B3,B4已知，通過運(yùn)算可得(16)式。

(21)式的左邊進(jìn)行裂項(xiàng)運(yùn)算:

設(shè)k-5=m，得

展開乘積表達(dá)式，得

(25)

在(25)式中含有1個(gè)因子分式、2個(gè)因子分式、3個(gè)因子分式、4個(gè)因子分式、5個(gè)因子分式。本文僅選1個(gè)因子分式、4個(gè)因子分式、5個(gè)因子分式，將分式化成分母為1個(gè)因子、4個(gè)因子、5個(gè)因子乘積的二項(xiàng)式系數(shù)連帶連續(xù)奇數(shù)倒數(shù)平方和級(jí)數(shù)。

(25)式中所有分式化成部分分式，可得

此時(shí)B,B1,B2,B3,B4已知，通過運(yùn)算可得

B5即為(5)式。

在(25)式保留4個(gè)因子分式，然后對(duì)這些4個(gè)因子的分式，每次保留1個(gè)，其余化成部分分式，可得

此時(shí)B,B1,B2,B3,B4,B5已知，通過運(yùn)算可得(17)～(19)式。

(25)式中留下5個(gè)因子分式，其余化成部分分式，可得

此時(shí)B,B1,B2,B3,B4,B5已知，通過運(yùn)算可得(20)式。定理證畢。

2 數(shù)值級(jí)數(shù)恒等式

推論1分母為奇偶性不定因子乘積的二項(xiàng)式系數(shù)連帶連續(xù)奇數(shù)倒數(shù)平方和數(shù)值級(jí)數(shù)恒等式。

推論2分母為奇偶性不定因子乘積交錯(cuò)的二項(xiàng)式系數(shù)連帶連續(xù)奇數(shù)倒數(shù)平方和數(shù)值級(jí)數(shù)。