基于旋量理論的混聯(lián)擬人機(jī)械腿的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析①

李研彪 陳 科 孫 鵬 王澤勝

(浙江工業(yè)大學(xué)機(jī)械學(xué)院 杭州 310032)

0 引言

擬人機(jī)器人一直以來是機(jī)器人領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)。機(jī)械腿在保持機(jī)器人身體運(yùn)動(dòng)平衡當(dāng)中起到了至關(guān)重要的作用,其結(jié)構(gòu)直接決定了機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)特征[1]。目前,各國已相繼研制出了不同類型的擬人機(jī)器人,如日本國家先進(jìn)工業(yè)科學(xué)技術(shù)研究院的HRP-5P[2]、韓國科技先進(jìn)研究院的HUBO[3]和國內(nèi)清華大學(xué)的THBIP-II[4]。這些機(jī)器人腿部的各關(guān)節(jié)均采用多個(gè)由直流電機(jī)經(jīng)諧波減速帶動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)副串聯(lián)而成,而串聯(lián)機(jī)構(gòu)存在運(yùn)動(dòng)慣量大、累計(jì)誤差大等不足[5]。較少的擬人機(jī)械腿采用并聯(lián)機(jī)構(gòu),如日本早稻田大學(xué)的WL-16RIV[6]和意大利卡西諾大學(xué)的LARMbot[7],雖然有效彌補(bǔ)了串聯(lián)機(jī)構(gòu)的缺點(diǎn),但是其體積龐大,結(jié)構(gòu)非擬人化,運(yùn)動(dòng)步長明顯小于人的步長。為使串聯(lián)機(jī)構(gòu)與并聯(lián)機(jī)構(gòu)優(yōu)勢互補(bǔ),研究人員開始研究混聯(lián)式機(jī)械腿,如SAFFiR 機(jī)器人[8]、THOR 機(jī)器人[9]和7 自由度混聯(lián)機(jī)械腿[10],其研究成果表明,混聯(lián)機(jī)械腿更能模擬人體腿部肌肉驅(qū)動(dòng)方式,從而進(jìn)行穩(wěn)步行走。

機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是機(jī)器人機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)和控制的重要組成部分。大多數(shù)研究者采用Denavit-Hartenberg(DH)參數(shù)描述法建立不同機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。然而,DH 參數(shù)法需要對每個(gè)連桿建立局部坐標(biāo)系,通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換來建立運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,建模過程十分繁瑣。旋量理論是一種高效的數(shù)學(xué)工具,它以簡潔的數(shù)學(xué)符號(hào)和明確的物理幾何意義被廣泛應(yīng)用到機(jī)構(gòu)學(xué)的研究領(lǐng)域。文獻(xiàn)[11]提出了基于旋量理論與Paden-Kahan 子問題求解混聯(lián)機(jī)構(gòu)位置反解的廣義方法。文獻(xiàn)[12]利用以李群、李代數(shù)為基礎(chǔ)的旋量理論簡化了并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的求解過程。文獻(xiàn)[13]基于旋量理論系統(tǒng)性地探討了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸入端和輸出端的運(yùn)動(dòng)/力傳遞特性,并定義了一系列評價(jià)指標(biāo)。

由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有強(qiáng)耦合性,其正運(yùn)動(dòng)學(xué)的求解是機(jī)構(gòu)學(xué)研究中的難點(diǎn)之一,很多學(xué)者對此進(jìn)行過深入的研究[14-16],而混聯(lián)機(jī)械腿中又包含多個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu),這使得對混聯(lián)機(jī)械腿的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析更加艱巨。法國圣昆廷凡爾賽大學(xué)研制的ROBIAN[17],其腿部的髖關(guān)節(jié)與踝關(guān)節(jié)采用相同構(gòu)型的并聯(lián)機(jī)構(gòu),用末端運(yùn)動(dòng)分解的幾何算法來求解正運(yùn)動(dòng)學(xué)。國內(nèi)哈爾濱工程大學(xué)研制的HEUBR_1[18],其踝關(guān)節(jié)為2PSS-U(P 為移動(dòng)副,prismatic pair;U 為虎克鉸,Hooke pair;S 為球鉸副,spherical pair)并聯(lián)機(jī)構(gòu),采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的多層前向傳播網(wǎng)絡(luò)來擬合正運(yùn)動(dòng)學(xué)的非線性函數(shù)。哈爾濱工業(yè)大學(xué)研制的液壓驅(qū)動(dòng)6 自由度機(jī)械腿[19],通過線性化處理來簡化2SPS-U 并聯(lián)踝關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。雖然不同的混聯(lián)機(jī)械腿可根據(jù)相應(yīng)的算法進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析,但計(jì)算復(fù)雜,不易尋找可靠的算法,很難對機(jī)械腿進(jìn)行精確的實(shí)時(shí)控制。運(yùn)動(dòng)解耦的并聯(lián)機(jī)構(gòu)能有效地改善這一問題[20],但有關(guān)解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)在擬人機(jī)械腿上的應(yīng)用鮮有報(bào)道。

本文提出一種新型串并混聯(lián)擬人機(jī)械腿構(gòu)型,采用Paden-Kahan 子問題法結(jié)合空間幾何法求解機(jī)械腿機(jī)構(gòu)的位置反解;由于機(jī)械腿的髖關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)與踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)為含恰約束支鏈的解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu),根據(jù)解耦機(jī)構(gòu)特性推導(dǎo)混聯(lián)機(jī)械腿的位置正解表達(dá)式;利用李代數(shù)se(3)的雙線性對稱形式(Klein 型),計(jì)算混聯(lián)機(jī)構(gòu)末端點(diǎn)的速度和加速度,并通過仿真驗(yàn)證機(jī)械腿運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性,為該機(jī)構(gòu)的控制提供理論基礎(chǔ)。

1 擬人機(jī)械腿的方案設(shè)計(jì)

1.1 擬人機(jī)械腿的構(gòu)型分析

1.1.1 人體腿部運(yùn)動(dòng)解剖分析

人體腿部關(guān)節(jié)包括髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié),其中髖關(guān)節(jié)具有3 個(gè)球面轉(zhuǎn)動(dòng)自由度,繞冠狀軸的彎曲和伸展、繞矢狀軸的內(nèi)收和外展以及繞垂直軸的外旋和內(nèi)旋;膝關(guān)節(jié)具有單自由度轉(zhuǎn)動(dòng);踝關(guān)節(jié)具有2 個(gè)球面轉(zhuǎn)動(dòng)自由度,包括背伸、跖屈運(yùn)動(dòng)和外翻、內(nèi)翻運(yùn)動(dòng)[21]。

從運(yùn)動(dòng)形式上看,髖關(guān)節(jié)中的2 個(gè)自由度方向的運(yùn)動(dòng)與踝關(guān)節(jié)具有相似性,因此在結(jié)構(gòu)上采用球面2 自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)踝關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)以及髖關(guān)節(jié)的2 個(gè)自由度方向的運(yùn)動(dòng),而髖關(guān)節(jié)剩余的1 個(gè)自由度可與單自由度膝關(guān)節(jié)組成串聯(lián)機(jī)構(gòu)。此外,機(jī)械腿需要有一定的靈活性以及較強(qiáng)的承載性。相對于旋轉(zhuǎn)電機(jī),直線推桿具有較大的驅(qū)動(dòng)力和承載力,并且可將直線推桿安裝在固定件上,與人體腿部關(guān)節(jié)不必承載具有驅(qū)動(dòng)作用的肌肉的重量相似,機(jī)械腿也不必承受驅(qū)動(dòng)裝置的重量,降低了運(yùn)動(dòng)慣量。

1.1.2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型設(shè)計(jì)

傳統(tǒng)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有高耦合性,使得機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析復(fù)雜化。因此,本文設(shè)計(jì)了PRC-PRCR-RR(R 為旋轉(zhuǎn)副,rotating pair;C 為圓柱副,cylinder pair)部分解耦型球面2 自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu),由靜平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)和3 條運(yùn)動(dòng)支鏈構(gòu)成,其機(jī)構(gòu)簡圖如圖1所示,三維模型圖如圖2 所示。運(yùn)動(dòng)鏈1 由移動(dòng)桿AB、連桿BC和動(dòng)平臺(tái)通過圓柱副連接而成。運(yùn)動(dòng)鏈2 由移動(dòng)桿FG、連桿GH、HI和動(dòng)平臺(tái)通過轉(zhuǎn)動(dòng)副連接而成。運(yùn)動(dòng)鏈3 由連桿DE和動(dòng)平臺(tái)通過轉(zhuǎn)動(dòng)副連接而成,并且軸線OD與軸線OE始終正交。

圖1 PRC-PRCR-RR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖

圖2 PRC-PRCR-RR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型圖

靜坐標(biāo)系為OXPYPZP,其原點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)O重合,ZP軸垂直于靜平臺(tái),方向向上,YP軸始終與軸線OD重合,XP軸由右手螺旋定則確定。動(dòng)坐標(biāo)系為oxPyPzP,其原點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)O重合,zP軸始終與軸線OI重合,方向向上,xP軸始終與軸OE重合,方向由E指向O,yP軸由右手螺旋定則確定。

推桿AB與推桿FG垂直于靜平臺(tái)以及連桿BC、GH,并且2 個(gè)推桿形成的面始終平行于面OYPZP;連桿BC垂直于連桿GH;初始姿態(tài)下,動(dòng)坐標(biāo)系與靜坐標(biāo)系重合,連桿BC、GH、DE處于同一水平面內(nèi)。其中,連桿BC的長度為a,連桿GH的長度為b,圓柱副C到原點(diǎn)O的距離為c,圓柱副H到原點(diǎn)O的距離為d。

1.2 擬人機(jī)械腿的結(jié)構(gòu)布局

擬人機(jī)械腿的三維模型如圖3 所示,包括髖關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)、膝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)以及踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)3 個(gè)部分。其中,髖關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)為PRC-PRCR-RR 并聯(lián)機(jī)構(gòu);膝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)為兩自由度轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu),由1 個(gè)電機(jī)與轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)構(gòu)成;踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)也采用PRC-PRCR-RR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)。將各關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)依次串聯(lián)構(gòu)成一種新型混聯(lián)擬人機(jī)械腿。

圖3 混聯(lián)機(jī)械腿機(jī)構(gòu)模型圖

擬人機(jī)械腿的機(jī)構(gòu)簡圖如圖4 所示,靜坐標(biāo)系為OXYZ,其原點(diǎn)與髖關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)O重合,Z軸垂直于髖關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)靜平臺(tái),方向向上,Y軸始終與軸線ODH重合,X軸由右手螺旋定則確定。動(dòng)坐標(biāo)系為oxyz,其原點(diǎn)與踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)o重合,x軸始終與軸線重合,y軸始終與軸線oDA重合,y軸由右手螺旋定則確定。初始姿態(tài)下,靜坐標(biāo)系與動(dòng)坐標(biāo)系姿態(tài)一致,OZ軸與oN軸呈15°。

圖4 混聯(lián)機(jī)械腿機(jī)構(gòu)簡圖

2 擬人機(jī)械腿的位置反解

保持機(jī)構(gòu)自由度的數(shù)量和性質(zhì)不變,將混聯(lián)機(jī)械腿轉(zhuǎn)換為串聯(lián)機(jī)械腿。通過指數(shù)積公式建立等效串聯(lián)機(jī)械腿的正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,根據(jù)目標(biāo)位姿矩陣?yán)肞aden-Kahan 子問題法求解等效串聯(lián)機(jī)械腿的位置反解。將獲得的等效串聯(lián)關(guān)節(jié)理論值作為并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的輸出位姿,進(jìn)而求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)各關(guān)節(jié)的位置反解。

2.1 等效串聯(lián)機(jī)械腿的位置反解

根據(jù)機(jī)械腿的構(gòu)型設(shè)計(jì),轉(zhuǎn)換后的串聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖5 所示,各關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)均等價(jià)為2 自由度串聯(lián)機(jī)構(gòu)。因此,整個(gè)混聯(lián)機(jī)械腿等效為6 自由度串聯(lián)機(jī)構(gòu)。

圖5 混聯(lián)機(jī)械腿等效串聯(lián)機(jī)構(gòu)圖

基于旋量理論與指數(shù)積公式[22],建立等效串聯(lián)機(jī)械腿的正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。

由于機(jī)構(gòu)存在冗余自由度,末端位置的位置反解存在無數(shù)解,需給定1 個(gè)輸入?yún)?shù)值,才可求出各個(gè)關(guān)節(jié)輸入值的唯一解,現(xiàn)假設(shè)θ1為給定值。

2.1.1 求解β2

踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)中心點(diǎn)o的齊次坐標(biāo)為p,將式兩邊同右乘g0(0)-1·p:

髖關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)中心點(diǎn)O的齊次坐標(biāo)為q1,將式兩邊同減q1,并取兩邊的二階范數(shù),再根據(jù)Paden-Kahan 子問題3,可得β2。

2.1.2 求解β1、γ1

將式(2)變換可得:

根據(jù)Paden-Kahan 子問題2 求解式,得β1、γ1。

2.1.3 求解β3、γ3

將式(1)變換可得:

設(shè)軸xE和yE外的1 個(gè)參考點(diǎn)的齊次坐標(biāo)為p3,將式(4)兩邊同右乘p3,再根據(jù)Paden-Kahan 子問題2,可得β3、γ3。

至此等效串聯(lián)機(jī)械腿的6 個(gè)關(guān)節(jié)角度全部求解出來,即獲得髖關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的輸出角度、膝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的輸出角度以及踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的輸出角度。

2.2 并聯(lián)關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的位置反解

PRC-PRCR-RR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)為含恰約束支鏈的部分解耦型2 自由度轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)[23],當(dāng)運(yùn)動(dòng)鏈1 驅(qū)使動(dòng)平臺(tái)繞軸yP旋轉(zhuǎn)時(shí),動(dòng)平臺(tái)不繞軸xP旋轉(zhuǎn)并且轉(zhuǎn)動(dòng)的角度與繞軸xP轉(zhuǎn)動(dòng)的角度無關(guān)。因此,可先對運(yùn)動(dòng)鏈1 進(jìn)行單獨(dú)分析。

2.2.1 求解Δl1

設(shè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)中心O的齊次坐標(biāo)為p4,并按照2.1.1 的方式變換運(yùn)動(dòng)鏈1 的正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

式(5)為PRP 鏈的正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,其幾何意義為將圓柱副C軸線OC上的一點(diǎn)p4沿著軸線OC移動(dòng)rC1距離,然后繞著旋轉(zhuǎn)副B軸線BC旋轉(zhuǎn)θB角度,再沿著移動(dòng)副A軸線AB方向移動(dòng)rA距離。如圖6 所示,S1表示軸AB,S2表示軸BC,S3表示軸OC,點(diǎn)p4為最初的點(diǎn),點(diǎn)p7為最終的點(diǎn);由幾何關(guān)系可得點(diǎn)p4始終在垂直于軸S2的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),并且p4到p7的路徑有無數(shù)條,說明此構(gòu)型的PRP 鏈具有冗余自由度,無法僅采用Paden-Kahan 子問題法求解位置反解。因此,本文采用空間幾何法與Paden-Kahan 子問題法相結(jié)合求解位置反解。

圖6 PRP 子問題幾何圖

由于運(yùn)動(dòng)鏈1 始終驅(qū)使動(dòng)平臺(tái)繞著軸YP旋轉(zhuǎn),因此其運(yùn)動(dòng)特性等效為空間單自由度機(jī)構(gòu),如圖7所示,該鏈驅(qū)使動(dòng)平臺(tái)在OXPZP平面內(nèi)繞著O點(diǎn)做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),根據(jù)機(jī)構(gòu)各桿之間的幾何關(guān)系,可得:

圖7 PRC 鏈等效運(yùn)動(dòng)圖

式中,Δl1為移動(dòng)桿移動(dòng)的距離;h1為連桿BC到軸ZP的垂直距離,θ為桿OC繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角度。

2.2.2 求解Δl2

將運(yùn)動(dòng)鏈2 正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型變換為

式(7)與式(5)是一致的,說明運(yùn)動(dòng)鏈2 也無法僅應(yīng)用Paden-Kahan 法求解,需要結(jié)合機(jī)構(gòu)自身的特性求解位置反解。運(yùn)動(dòng)鏈2 中的PRC 鏈驅(qū)使動(dòng)平臺(tái)在OYPZP平面內(nèi)繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn),即始終繞著軸XP旋轉(zhuǎn)。對運(yùn)動(dòng)鏈2 進(jìn)行等效替換,在原點(diǎn)處構(gòu)建軸線指向軸XP的虛擬旋轉(zhuǎn)副J,移除PRC 鏈中的移動(dòng)副F、轉(zhuǎn)動(dòng)副G以及圓柱副H中的移動(dòng)副H1,其余的運(yùn)動(dòng)副(圓柱副H中的轉(zhuǎn)動(dòng)副H2和轉(zhuǎn)動(dòng)副I)與虛擬旋轉(zhuǎn)副J組成新的虛擬運(yùn)動(dòng)鏈RRR,如圖8所示。此構(gòu)型的虛擬運(yùn)動(dòng)鏈RRR 驅(qū)使動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)特性與運(yùn)動(dòng)鏈PRCR 一致。

圖8 虛擬運(yùn)動(dòng)鏈RRR 機(jī)構(gòu)圖

虛擬運(yùn)動(dòng)鏈RRR 的正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為

設(shè)OI軸上不在原點(diǎn)O處的1 個(gè)參考點(diǎn)的齊次坐標(biāo)為p5,將式兩邊同右乘g2(0)-1·p5,變換成Paden-Kahan 子問題2 形式,由此求解出θ2、θH2,再將式(8)轉(zhuǎn)變成Paden-Kahan 子問題1 形式,即可求解θI。

其中θ2是第2 條PRCR 鏈中的PRP 運(yùn)動(dòng)副驅(qū)使動(dòng)平臺(tái)在OYPZP平面繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角度,其位置反解的求解方法于運(yùn)動(dòng)鏈1 一致,故運(yùn)動(dòng)鏈2 中其余運(yùn)動(dòng)副反解為

將獲得的髖關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)輸出角度和踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)輸出角度代入式(5)～式(9),即得髖關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)與踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的位置反解。

2.3 膝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的位置反解

膝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)為2 自由度轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu),其轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)如圖9 所示。已知AB為定長桿,長度為l1,BC為搖桿,長度為r,θ為初始角度。根據(jù)各桿件之間的幾何關(guān)系,可得:

圖9 膝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)簡圖

由于膝關(guān)節(jié)的正反解是容易求解的,但運(yùn)算相對復(fù)雜,因此在以下分析中,將移除移動(dòng)副,僅將轉(zhuǎn)動(dòng)副B作為主動(dòng)副。

至此混聯(lián)機(jī)械腿的6 個(gè)主動(dòng)關(guān)節(jié)的輸入值全部求解出來,實(shí)現(xiàn)了混聯(lián)機(jī)械腿的位置逆解算法。

3 擬人機(jī)械腿的位置正解

由于PRC-PRCR-RR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的第3 條RR鏈為恰約束支鏈,故采用歐拉角(z-y-x)描述動(dòng)平臺(tái)的位姿。設(shè)動(dòng)平臺(tái)繞動(dòng)坐標(biāo)系yP軸、xP軸旋轉(zhuǎn)角度分別為βP1、γP1,其姿態(tài)矩陣為

對于虛擬運(yùn)動(dòng)鏈RRR,可采用歐拉角(x-y-z)描述動(dòng)平臺(tái)的位姿。設(shè)動(dòng)平臺(tái)繞動(dòng)坐標(biāo)系xP軸、yP軸、zP軸旋轉(zhuǎn)角度分別為γP2、βP2、αP2,其姿態(tài)矩陣為

式中,a=cosβP2·cosαP2

2 條運(yùn)動(dòng)鏈對動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)變化一致,因此有R1=R2。分別取R1和R2第2 行第1 列的數(shù):

分別對兩姿態(tài)矩陣第1 行第1 列的數(shù)與第1 行第2 列的數(shù)做比值:

聯(lián)合式(6)、式(9)、式(13)、式(14),有:

由此也可得,該并聯(lián)機(jī)構(gòu)為部分解耦。

髖關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)與踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的輸入位移已知時(shí),將其代入式(15),可得相應(yīng)動(dòng)平臺(tái)的輸出位姿,再根據(jù)式(1),即可得混聯(lián)機(jī)械腿的位置正解。由于解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)的特點(diǎn),該機(jī)械腿無需特殊的算法即可求解位置正解。

4 擬人機(jī)械腿的速度和加速度分析

4.1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的速度和加速度分析

通過旋量理論可求得串聯(lián)機(jī)構(gòu)速度雅克比矩陣,具體理論推導(dǎo)參考文獻(xiàn)[22]。

對于并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的少自由度運(yùn)動(dòng)鏈,可構(gòu)建幾個(gè)與原運(yùn)動(dòng)副線性無關(guān)的虛擬運(yùn)動(dòng)副,使之成為6自由度鏈,并設(shè)此虛擬運(yùn)動(dòng)副對應(yīng)的角速度為0。設(shè)為PRC-PRCR-RR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)第1 條運(yùn)動(dòng)鏈中虛擬運(yùn)動(dòng)副的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)旋量,為第2 條運(yùn)動(dòng)鏈中虛擬運(yùn)動(dòng)副的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)旋量,則這2 條鏈的速度方程為

式中,ξij為第i條鏈中第j個(gè)運(yùn)動(dòng)副的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)旋量;VP為并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端桿上與空間坐標(biāo)系原點(diǎn)重合的點(diǎn)的速度;ωij為第i條鏈中第j個(gè)運(yùn)動(dòng)副的相對速度,其中ω15、ω16、ω26始終為0。

對于恰約束運(yùn)動(dòng)支鏈3

式中,ω31、ω32為并聯(lián)機(jī)構(gòu)2 自由度關(guān)節(jié)的相對速度,即動(dòng)平臺(tái)歐拉角(z-y-x)的旋轉(zhuǎn)角速度,其中z軸不旋轉(zhuǎn)。

設(shè)旋量ξi0與對應(yīng)支鏈中被動(dòng)運(yùn)動(dòng)副旋量的互易積為0,而與對應(yīng)支鏈中主動(dòng)運(yùn)動(dòng)副旋量的互易積為1,即

通過求解線性方程組式(18),可求得旋量ξ10、ξ20。

設(shè)旋量ξ3k(k=3,4,5,6)與第3 條RR 鏈的所有運(yùn)動(dòng)副旋量的互易積為0,即

通過求解線性方程組式(19),可求得旋量ξ3k(k=3,4,5,6)。

根據(jù)李代數(shù)se(3)的雙線性對稱形式(Klein型)公式,可得并聯(lián)機(jī)構(gòu)的6 個(gè)速度輔助方程為

將式(20)根據(jù)需要組合成矩陣形式,得到該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸入速度與參考坐標(biāo)系原點(diǎn)重合點(diǎn)的6 維速度量之間的映射。

根據(jù)多剛體系統(tǒng)旋量加速度合成法則[24]:

式中的第2 項(xiàng)表示一條串行鏈上第n關(guān)節(jié)的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)旋量導(dǎo)數(shù),Lie[]為李括號(hào)運(yùn)算,其運(yùn)算結(jié)果為6維矢量。

應(yīng)用本節(jié)求速度的方法,可得到該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸入加速度與參考坐標(biāo)系原點(diǎn)重合點(diǎn)的6 維加速度量之間的映射。

式中,S為6 維矢量,ξLk(k=1,2,3)為對應(yīng)支鏈末關(guān)節(jié)的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)旋量導(dǎo)數(shù)。

4.2 擬人機(jī)械腿的速度分析

髖關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)與踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的速度映射為

式中,VH為髖關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)中動(dòng)平臺(tái)上與原點(diǎn)重合點(diǎn)的速度,VA為踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)中動(dòng)平臺(tái)上與原點(diǎn)重合點(diǎn)的速度,ωH11、ωH21、ωA11、ωA21為各關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的輸入速度。

混聯(lián)機(jī)械腿的速度方程為

式中,ΩHY為各等效串聯(lián)關(guān)節(jié)的角速度;VHY為機(jī)械腿末端桿上與原點(diǎn)重合點(diǎn)的速度。

聯(lián)合式(24),得:

由此可得混聯(lián)機(jī)械腿輸入速度與參考坐標(biāo)系原點(diǎn)重合點(diǎn)的6 維速度量之間的映射。

機(jī)械腿末端參考點(diǎn)的角速度就是VHY的原部,其線速度可表示為

式中,Vi為機(jī)械腿末端參考點(diǎn)線速度,v(VHY)為VHY的對偶部,ω(VHY)為VHY的原部,ri為坐標(biāo)原點(diǎn)到末端參考點(diǎn)位置的坐標(biāo)矢量。

4.3 擬人機(jī)械腿的加速度分析

髖關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)與踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的加速度映射為

混聯(lián)機(jī)械腿的加速度方程為

式中,AHY為混聯(lián)機(jī)械腿末端桿件與坐標(biāo)系原點(diǎn)重合點(diǎn)的6 維加速度量;ξLHY為機(jī)械腿等效串聯(lián)機(jī)構(gòu)的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)旋量導(dǎo)數(shù)。

當(dāng)AHY已知且JHY非奇異時(shí),可得各等效關(guān)節(jié)的加速度為

聯(lián)合式(27)、式(29)、式(31),可得混聯(lián)機(jī)械腿輸入加速度與參考坐標(biāo)系原點(diǎn)重合點(diǎn)的6 維加速度量之間的映射。

式中,ξL3H為髖關(guān)節(jié)第3 條支鏈的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)旋量導(dǎo)數(shù),ξL3A為踝關(guān)節(jié)第3 條支鏈的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)旋量導(dǎo)數(shù)。

機(jī)械腿末端參考點(diǎn)的角加速度就是AHY的原部,其線速度可表示為

式中,Ai為機(jī)械腿末端參考點(diǎn)線速度,a(AHY)為AHY的對偶部,ε(AHY)為AHY的原部。

5 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述方法對混聯(lián)機(jī)械腿運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的正確性,基于上述模型,利用Matlab 軟件驗(yàn)證該機(jī)構(gòu)的位置解析,利用Adams 仿真得到的末端P的速度、加速度數(shù)據(jù)與理論計(jì)算值進(jìn)行比較。機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1 所示。

表1 機(jī)械腿結(jié)構(gòu)參數(shù)

各驅(qū)動(dòng)器的表達(dá)式為

位置解析式的驗(yàn)證步驟如圖10 所示,對比結(jié)果如圖11 所示;速度、加速度驗(yàn)證步驟如圖12 所示;數(shù)值計(jì)算結(jié)果如圖13 所示,對比結(jié)果如圖14 所示;結(jié)果表明位移、角速度、角加速度、線速度、線加速度的最大誤差分別為1.5×10-11mm、-4.6×10-6°/s、2.8×10-6°/s2、1.5×10-3mm/s、9×10-4mm/s2,位移誤差值很小,速度與加速度存在一定的偏差,但最小的誤差數(shù)量級為10-4,可以忽略不計(jì),從而驗(yàn)證了機(jī)械腿運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性。

圖10 位置解析驗(yàn)證步驟

圖11 各驅(qū)動(dòng)器位置解誤差

圖12 速度、加速度驗(yàn)證步驟

圖13 使用旋量理論計(jì)算速度、加速度

圖14 理論計(jì)算與Adams 仿真的誤差

6 結(jié)論

(1)本文基于人體腿部的運(yùn)動(dòng)分析,提出了一種新型混聯(lián)擬人機(jī)械腿構(gòu)型,因其并聯(lián)關(guān)節(jié)均為2自由度部分解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu),無需采用復(fù)雜的求解算法,因此易于運(yùn)動(dòng)學(xué)解算。

(2)闡述了機(jī)械腿的布局形式,結(jié)合空間幾何法與Paden-Kahan 子問題,彌補(bǔ)了Paden-Kahan 子問題無法解決冗余運(yùn)動(dòng)鏈位置反解的不足,給出了擬人機(jī)械腿的位置反解方程。該方法物理意義明確,計(jì)算量少,易于編程;鑒于機(jī)構(gòu)的幾何特性,采用代數(shù)法推導(dǎo)了位置正解顯式表達(dá)式。

(3)結(jié)合旋量理論和Klein 型對該混聯(lián)機(jī)械腿的運(yùn)動(dòng)學(xué)傳遞矩陣進(jìn)行了推導(dǎo),得到了腿部末端點(diǎn)的速度與加速度,該方法無需計(jì)算并聯(lián)機(jī)構(gòu)中各支鏈被動(dòng)關(guān)節(jié)的速度與加速度,簡化了運(yùn)算過程。

(4)通過理論分析和虛擬樣機(jī)仿真,驗(yàn)證了基于旋量理論建立的混聯(lián)擬人機(jī)械腿運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性和有效性,為該機(jī)構(gòu)后續(xù)的研究奠定了理論基礎(chǔ)。