考慮渦流及漏磁影響的徑向磁軸承耦合磁路建模方法①

王榮輝 胡雄心 譚大鵬 趙林杰

(浙江工業(yè)大學(xué)特種裝備制造與先進(jìn)加工技術(shù)教育部/浙江省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 杭州 310014)

0 引言

隨著工業(yè)技術(shù)的迅速發(fā)展,磁懸浮軸承因具有無(wú)機(jī)械磨損、噪聲小、使用壽命長(zhǎng)、無(wú)需潤(rùn)滑等優(yōu)點(diǎn),被廣泛用于航空航天、軌道交通、機(jī)床等高端機(jī)械裝備的工業(yè)領(lǐng)域機(jī)械系統(tǒng)中。磁懸浮軸承簡(jiǎn)稱磁軸承,是一種新發(fā)展起來(lái)的利用磁場(chǎng)力使轉(zhuǎn)子懸浮的高性能非接觸式軸承,具有傳統(tǒng)軸承所沒(méi)有的轉(zhuǎn)速高、能耗低、控制靈活等一系列突出優(yōu)點(diǎn),在高速運(yùn)動(dòng)和低速潔凈工況下,磁軸承都有潛在的應(yīng)用前景。這些特點(diǎn)恰恰滿足了高速高精度轉(zhuǎn)子的性能要求,使得磁懸浮主軸在能源、交通、航空航天、生命科學(xué)、真空技術(shù)、渦輪機(jī)械及機(jī)床等領(lǐng)域具有不可替代的優(yōu)勢(shì)[1-3]。

磁懸浮軸承因其消除了機(jī)械之間的摩擦所帶來(lái)的性能提升而引起關(guān)注,但其電磁、傳感器和執(zhí)行部件等導(dǎo)致物理尺寸較大、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜、動(dòng)態(tài)性能下降,傳感器造成的成本上升也阻礙了電磁軸承的產(chǎn)業(yè)化和推廣。針對(duì)以上問(wèn)題,國(guó)內(nèi)外學(xué)者紛紛開(kāi)始研究自傳感電磁軸承,將電磁部件和傳感器部件合二為一,簡(jiǎn)化了系統(tǒng)結(jié)構(gòu),也減小了尺寸與制造成本。目前自傳感電磁軸承的估計(jì)算法主要有2 類:第1 類為基于現(xiàn)代控制理論的狀態(tài)觀測(cè)法。1988年,文獻(xiàn)[4]提出依據(jù)磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的線性化數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器,使用電磁軸承的狀態(tài)空間模型,通過(guò)構(gòu)建狀態(tài)觀測(cè)器來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)轉(zhuǎn)子位移的觀測(cè)。第2 類為基于測(cè)量電感的參數(shù)估計(jì)法。它利用磁軸承線圈的等效電感與軸承氣隙之間近似成反比的函數(shù)關(guān)系,通過(guò)直接檢測(cè)線圈電壓和電感、電流等包含電感信息的量,來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)轉(zhuǎn)子的實(shí)時(shí)位移估計(jì)[5]。

過(guò)去,基于測(cè)量電感的參數(shù)估計(jì)法的自傳感磁軸承大都建立在電感估計(jì)模型完全理想的基礎(chǔ)上,但渦流效應(yīng)、邊緣效應(yīng)和漏磁、磁性材料非線性這些問(wèn)題可能會(huì)降低自傳感性能,因而準(zhǔn)確分析磁場(chǎng)是自傳感磁軸承設(shè)計(jì)、優(yōu)化的基礎(chǔ)[6-7]。目前,國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)磁軸承磁場(chǎng)建模方法進(jìn)行了大量研究。文獻(xiàn)[8]通過(guò)建立等效磁路模型對(duì)電磁軸承進(jìn)行了結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì),但模型中未考慮材料磁導(dǎo)率的非線性和磁極的邊緣效應(yīng)。文獻(xiàn)[9]建立了電磁軸承的非線性等效磁路模型,考慮磁飽和等因素及基于材料磁導(dǎo)率的非線性并用于分析磁軸承的承載力,但并未考慮渦流對(duì)磁場(chǎng)的影響。文獻(xiàn)[10]利用虛位移法求解軸向混合磁軸承的徑向承載力,并分析了徑向承載力與結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的解析式,但模型中沒(méi)有計(jì)及氣隙磁通的邊緣效應(yīng)。文獻(xiàn)[11]同時(shí)考慮渦流和鐵心磁導(dǎo)率的非線性這兩個(gè)因素,建立了考慮邊緣效應(yīng)、渦流、鐵心磁導(dǎo)率的等效磁路模型,分析了磁場(chǎng)分布和轉(zhuǎn)子振動(dòng)情況下懸浮力的分析,但模型中并未考慮漏磁的影響。文獻(xiàn)[12]提出了考慮磁極端部邊緣效應(yīng)的混合磁軸承改進(jìn)模型,采用磁場(chǎng)分割法求解不同邊緣磁通,提高了懸浮力計(jì)算精度,但是未考慮渦流和漏磁的影響。目前的文獻(xiàn)主要針對(duì)磁軸承磁路模型設(shè)計(jì)進(jìn)行優(yōu)化[13],在考慮渦流效應(yīng)的情況下,對(duì)磁軸承磁路模型進(jìn)行改進(jìn);在考慮磁飽和的情況下,對(duì)磁軸承結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì);在考慮邊緣氣隙及渦流的前提下,對(duì)等效磁路模型進(jìn)行研究,而國(guó)內(nèi)外針對(duì)磁軸承同時(shí)受渦流和漏磁影響情況的相關(guān)研究較少。

針對(duì)上述問(wèn)題,本文建立了一種8 極異極磁極軸承的集成模型,引入氣隙邊緣、復(fù)合磁導(dǎo)率等參數(shù),建立了包含漏磁通的耦合磁阻網(wǎng)絡(luò)模型(reluctance network model,RNM),采用等效建模替代的方法考慮渦流對(duì)磁場(chǎng)的影響,提高模型的精度;通過(guò)使用有限元方法以8 極異極磁軸承為研究對(duì)象在多物理場(chǎng)分析軟件中進(jìn)行參數(shù)化建模,分析了不同徑向偏心距下的電感和磁場(chǎng)分布情況,對(duì)基于RNM 的磁軸承估計(jì)精度進(jìn)行驗(yàn)證。

1 電磁軸承的耦合磁路建模

常用的異極型與同極型徑向磁懸浮軸承結(jié)構(gòu)如圖1 所示。異極型結(jié)構(gòu)N 極和S 極圓周交叉排列,同極型周向只有N 極或S 極,兩者同參數(shù)相比,異極型結(jié)構(gòu)具備更大的承載能力[14]。為了更好地實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定懸浮,保持高速運(yùn)轉(zhuǎn),實(shí)現(xiàn)高精度回轉(zhuǎn),本文采用8 極異極徑向電磁軸承結(jié)構(gòu)作為研究對(duì)象,其相鄰磁極耦合較弱,可簡(jiǎn)化成水平或垂直方向上相互獨(dú)立的對(duì)置磁極對(duì)來(lái)表示。磁極有2 種排列類型,包括N-S-S-N 和N-S-N-S(圖1)。如圖1(b)所示,在N-S-N-S 布置的磁性軸承中,相鄰定子齒之間存在磁耦合,這將使控制更加復(fù)雜,故本文8 極異極磁軸承選用N-S-S-N 的布置。

圖1 兩種結(jié)構(gòu)徑向磁軸承的結(jié)構(gòu)示意圖

1.1 氣隙磁阻計(jì)算

在優(yōu)化過(guò)程中,氣隙磁阻模型被認(rèn)為是造成建模誤差的機(jī)制之一,通常利用開(kāi)關(guān)紋波幅度調(diào)制方法來(lái)檢測(cè)開(kāi)關(guān)頻率下的線圈阻抗來(lái)估計(jì)轉(zhuǎn)子位置。因?yàn)榫€圈阻抗主要取決于氣隙磁阻,而氣隙磁阻取決于氣隙長(zhǎng)度。因此,準(zhǔn)確地模擬氣隙磁阻以獲得高精度的自感結(jié)果。

氣隙邊緣化是指通量在氣隙處的擴(kuò)散,擴(kuò)大了有效面積,進(jìn)而減小了氣隙的磁阻。在自檢測(cè)中,轉(zhuǎn)子位置信息是從氣隙磁阻中提取的,因此有必要研究和量化邊緣對(duì)于不同工作點(diǎn)對(duì)該參數(shù)的影響。

1.1.1 定子磁極端面正對(duì)氣隙處的主氣隙磁導(dǎo)

徑向磁軸承中的氣隙磁阻不僅取決于垂直于磁極表面的位移,而且取決于橫向位移,這是由于極面和轉(zhuǎn)子的曲面形狀所致。圖2 顯示了轉(zhuǎn)子和定子的幾何形狀以及橫向位移的影響。參照文獻(xiàn)[15],根據(jù)三角形內(nèi)部幾何關(guān)系可得氣隙長(zhǎng)度lg關(guān)于x、y、?的表達(dá)式:

圖2 徑向磁軸承磁極和轉(zhuǎn)子的幾何關(guān)系

通過(guò)微元法確定磁極端面氣隙磁導(dǎo)率Λg(x,y) 為

1.1.2 磁極的邊緣氣隙磁導(dǎo)率

邊緣氣隙是指磁通量在氣隙處的擴(kuò)散,擴(kuò)大了有效面積,進(jìn)而減小了氣隙的磁阻。根據(jù)以上分析采用磁場(chǎng)分割法對(duì)磁極及邊緣氣隙進(jìn)行分析,該方法的基本思想是通過(guò)圖解法確定兩極之間的氣隙磁場(chǎng)分布,通常通過(guò)引入構(gòu)成半圓的附加磁通路徑來(lái)模擬氣隙中的邊緣[16],并通過(guò)電磁場(chǎng)分析軟件進(jìn)行研究,對(duì)氣隙處網(wǎng)格進(jìn)行加密,如圖3(a)所示。從后處理中得到的磁場(chǎng)分布可以明顯地看到邊緣氣隙磁通分布,如圖3(b)所示,rl為其中一個(gè)邊緣氣隙的磁通路徑。圖3(c)和圖3(d)顯示了其中一個(gè)氣隙,主磁通量直接穿過(guò)該氣隙,邊緣磁通量由高磁導(dǎo)率材料而出并以1/4 圓的路徑行進(jìn),沿直線行進(jìn)長(zhǎng)度為lg,以1/4 圓的路徑返回到高磁導(dǎo)率的材料中。因此,總的氣隙磁導(dǎo)率為主磁導(dǎo)率Λgm和邊緣磁導(dǎo)率Λgf的2 倍之和。

圖3 徑向電磁軸承中的氣隙邊緣

1.1.3 總氣隙磁阻

邊緣氣隙磁導(dǎo)率通過(guò)積分求得,如式(4)所示。

其中da=laxdrl和l=lg+πrl,則式(4)可以化為

主磁導(dǎo)率由式(6)給出。

其中l(wèi)ax是轉(zhuǎn)子鐵芯中硅鋼疊片的軸向長(zhǎng)度。

將式(5)和式(6)代入式(3)可得總氣隙磁導(dǎo):

式(7)中唯一未知的參數(shù)是邊緣磁導(dǎo)在極點(diǎn)兩側(cè)延伸的長(zhǎng)度,用Rl表示。Rl通常選擇為氣隙長(zhǎng)度lg的倍數(shù),并且精確值不是關(guān)鍵性的,因?yàn)殡S著轉(zhuǎn)子的距離進(jìn)一步遠(yuǎn)離氣隙,磁導(dǎo)率的貢獻(xiàn)減小。因此,Rl必須選擇得足夠大,以確保當(dāng)進(jìn)一步增加Rl時(shí),總氣隙磁導(dǎo)率的變化可忽略不計(jì)。

而后,對(duì)氣隙磁導(dǎo)率進(jìn)行反轉(zhuǎn)即可確定包含邊緣效應(yīng)的氣隙磁阻[17]:

1.2 定、轉(zhuǎn)子鐵心磁阻計(jì)算

磁極、轉(zhuǎn)子和定子的磁鐵磁阻根據(jù)式(9)確定。

式中,l表示磁性材料的有效路徑長(zhǎng)度,μ0表示自由空間的磁導(dǎo)率,μr表示磁性材料的相對(duì)磁導(dǎo)率,ag表示氣隙面積。磁極、轉(zhuǎn)子和定子的磁路長(zhǎng)度l近似為

圖4 為某一磁極對(duì)的結(jié)構(gòu),極距θ=2α(即極之間的角度)由主動(dòng)磁軸承(active magnetic bearings,AMB)中的極數(shù)確定,而rc、rs、rp、rr和rj的半徑如表1 所示。

圖4 任意一磁極對(duì)結(jié)構(gòu)

表1 電磁軸承參數(shù)

1.2.1 鐵心材料磁導(dǎo)率的非線性

為更準(zhǔn)確地計(jì)算電磁軸承的磁場(chǎng),考慮到磁性材料的非線性,因此需要在模型中研究定子和轉(zhuǎn)子鐵心材料磁導(dǎo)率的非線性。目前擬合B-H 近似曲線通常多采用指數(shù)方程、多項(xiàng)式逼近以及分段線性方程[18]、正切方程[19]、冪方程等[9]。其中冪方程具有擬合效果好、計(jì)算簡(jiǎn)潔的特點(diǎn),因此本文采用冪方程進(jìn)行擬合。JFE_Steel_35JN270 硅鋼片的擬合曲線如圖5 所示,分別是B-H 磁化曲線和B-H 擬合曲線,擬合方程為

圖5 硅鋼片B-H 曲線

式中,a=-3.036,b=-0.1552,c=2.55。

1.2.2 渦流對(duì)鐵心磁阻的影響

當(dāng)AMB 轉(zhuǎn)子產(chǎn)生徑向位移時(shí),由于線圈電流的交變作用,會(huì)在定轉(zhuǎn)子鐵心中產(chǎn)生渦流,進(jìn)而影響磁場(chǎng)的分布特征。為了減小渦流,電磁軸承一般采用硅鋼片疊片結(jié)構(gòu)。在頻率較低時(shí),渦流對(duì)磁場(chǎng)的影響比較小;但當(dāng)頻率較高時(shí),渦流對(duì)磁場(chǎng)具有顯著影響。渦流造成歐姆損失,降低磁芯的磁通承載能力。有研究者為了考慮包括渦流在內(nèi)的影響,引入了動(dòng)態(tài)相對(duì)磁導(dǎo)[16]。

常見(jiàn)的疊片結(jié)構(gòu)鐵心利用堆壓在一起且互為絕緣的硅鋼片將鐵心渦流分割在相對(duì)狹小的區(qū)域內(nèi),增大了鐵心的電阻率并抑制了集膚效應(yīng)。疊片結(jié)構(gòu)鐵心在中低頻范圍對(duì)渦流有良好的抑制效果,但在高頻激勵(lì)下仍然會(huì)出現(xiàn)明顯的渦流?？蓪B片結(jié)構(gòu)鐵心中渦流的影響等效為頻率升高時(shí)鐵心材料相對(duì)磁導(dǎo)率的顯著降低,其關(guān)系為[20]

取真空磁導(dǎo)率μ0=4π×10-7H/m,鐵心材料電導(dǎo)率σ=2.5×106H/m。鐵心材料靜態(tài)相對(duì)磁導(dǎo)率μr0=3500 H/m,疊片厚度d分別取0.35 mm、0.5 mm、0.65 mm。疊片結(jié)構(gòu)鐵心動(dòng)態(tài)磁導(dǎo)率隨頻率的變化如圖6 所示。

圖6 疊片結(jié)構(gòu)鐵心動(dòng)態(tài)磁導(dǎo)率隨頻率的變化曲線

由式(14)可知,動(dòng)態(tài)相對(duì)磁導(dǎo)率是一個(gè)隨頻率變化的復(fù)數(shù)。由圖5 可知,疊片結(jié)構(gòu)鐵心等效動(dòng)態(tài)磁導(dǎo)率隨頻率增大出現(xiàn)顯著降低,其相位也隨之產(chǎn)生滯后,在頻率較低時(shí),動(dòng)態(tài)相對(duì)磁導(dǎo)率變化并不明顯。由不同厚度的鐵片比較可得,較小厚度的疊片能有效地抑制渦流,延遲動(dòng)態(tài)相對(duì)磁導(dǎo)率出現(xiàn)顯著下降的頻率點(diǎn)。但隨著頻率不斷升高,動(dòng)態(tài)磁導(dǎo)率的變化趨向一致,針對(duì)上述研究本文選用0.35 mm的鐵芯疊片作為參考。

1.3 RNM 耦合磁路模型

本文建立了8 極異極磁軸承的自泄漏磁阻網(wǎng)絡(luò)模型,該模型是基于Meeker[16]模型開(kāi)發(fā)的,包括漏磁和邊緣效應(yīng)以及渦流效應(yīng)。如圖7 所示,使用RNM 分析8 極異極AMB,通過(guò)以互補(bǔ)極性連接它們各自的線圈來(lái)配對(duì)相鄰的極,一共分為4 個(gè)磁極對(duì)。

圖7 8 極異極AMB 的配置

根據(jù)Skricha 和Markert[15]的方法推導(dǎo)了互泄漏RNM 的控制電磁方程式。如圖8 所示,考慮了一個(gè)包含P 極數(shù)和5P 磁阻的8 極異極磁性軸承,單個(gè)磁極分析的RNM 模型如圖9 所示,由基爾霍夫定律可得,連接5P 磁通量的線性方程如下。

圖8 RNM 磁阻網(wǎng)絡(luò)模型

圖9 單極P-1 的RNM 模型

對(duì)于定子中的P-1 回路方程(沿極點(diǎn)向下,沿泄漏路徑順時(shí)針?lè)较?沿下一個(gè)極點(diǎn)向上,然后逆時(shí)針?lè)较虼┻^(guò)定子):

對(duì)于氣隙周?chē)腜-1 回路方程(從磁極到轉(zhuǎn)子,在轉(zhuǎn)子中順時(shí)針?lè)较?從轉(zhuǎn)子到下一個(gè)磁極,然后通過(guò)泄漏路徑逆時(shí)針?lè)祷?:

根據(jù)磁通守恒,磁極P-1 中有3 個(gè)節(jié)點(diǎn)處的磁通方程守恒,分別為磁極連接到定子鐵心背部的節(jié)點(diǎn)守恒,連接磁極與氣隙和泄漏路徑的節(jié)點(diǎn)處守恒,連接氣隙和轉(zhuǎn)子的節(jié)點(diǎn)處守恒。

所有流入轉(zhuǎn)子的磁通和從定子鐵芯背部流出來(lái)的所有磁通守恒,則有

轉(zhuǎn)子、定子和泄漏路徑周?chē)幕芈贩匠谭謩e為

將上述方程用矩陣形式表示為

式中,R為磁阻矩陣,Φ為磁通向量,N為線圈繞組矩陣,I為線圈電流矢量。通過(guò)將磁阻矩陣求逆,可以確定RNM 每個(gè)分支中的磁通為

磁通量求出后便可根據(jù)式(22)求出電感。

式中,T為5P 行m列(線圈數(shù))的矩陣。T的(l,j)項(xiàng)表示第j個(gè)線圈繞第l個(gè)磁通的匝數(shù),并根據(jù)所選約定包含符號(hào)。在式(22)中,對(duì)角線項(xiàng)表示線圈的自感,非對(duì)角線項(xiàng)表示互感。

1.4 RNM 磁路模型的求解

首先RNM 模型接收轉(zhuǎn)子位置(x,y) 和平均線圈電流(I1～I(xiàn)4)作為輸入,然后使用x和y坐標(biāo)帶入式(8)獲取氣隙的準(zhǔn)確氣隙磁阻值。其次將氣隙磁阻與平均線圈電流I1～I(xiàn)4一起用于獲得具有初始材料磁阻值的RNM 每一分支的磁通量中,最后將新的磁通量水平用于求解RNM 中每個(gè)分支的相對(duì)磁導(dǎo)率值μr。如式(23)中采用迭代的方法進(jìn)行逐步求解,直到收斂到確定點(diǎn)為止。

其中,P為極點(diǎn)數(shù),k為迭代步驟。

非線性RNM 流程圖見(jiàn)圖10。

圖10 非線性RNM 流程圖

一旦磁通量問(wèn)題收斂,則可確定RNM 的每個(gè)分支的增量材料磁導(dǎo)率,然后根據(jù)式(14)利用磁導(dǎo)率增量計(jì)算動(dòng)態(tài)磁導(dǎo)率。最后,帶入式(22)電感矩陣計(jì)及渦流的影響。

上述磁軸承仿真確定了磁性軸承極中的8 種磁通密度。然后,根據(jù)式(24)確定施加在轉(zhuǎn)子上的力。

其中ak是磁極極面面積,Bk是氣隙中的磁通密度。

2 仿真分析

本文采用上述建立的RNM 磁路模型來(lái)計(jì)算其磁場(chǎng)分布特征,根據(jù)表1 所示參數(shù)建立的徑向磁軸承,并與有限元(finite element method,FEM)仿真給出的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,來(lái)檢驗(yàn)所建等效磁路模型的準(zhǔn)確性和有效性。使用仿真軟件分析渦流影響下對(duì)主動(dòng)磁軸承參數(shù)的影響,在渦流場(chǎng)中建模分析可以考慮磁軸承材料的非線性磁導(dǎo)率和漏磁問(wèn)題。有限元方法作為數(shù)值計(jì)算法的一種,通過(guò)對(duì)求解區(qū)域進(jìn)行離散元?jiǎng)澐?不同單元上的方程求解相對(duì)容易,特別是非線性磁導(dǎo)率引起的迭代計(jì)算,從而獲得磁軸承動(dòng)態(tài)變化磁場(chǎng)的整體分布[13]。但是獲得準(zhǔn)確并且穩(wěn)定的數(shù)值解的條件是單元數(shù)量足夠多且網(wǎng)格精度高,相比三維有限元模型,使用二維有限元模型更利于計(jì)算精度和速度,因此本文分析是基于二維的磁軸承有限元模型,網(wǎng)格數(shù)量為79 897 個(gè)。由于渦流的集膚效應(yīng)靠近表面的區(qū)域會(huì)出現(xiàn)磁飽和現(xiàn)象,因此對(duì)該部分網(wǎng)格進(jìn)行了加密處理,定轉(zhuǎn)子材料選用JFE_Steel_35JN270 硅鋼片,繞組材料選用copper_75C,圖11 為8 極異極徑向磁軸承網(wǎng)格劃分圖和磁通密度云圖。

圖11 8 極徑向磁軸承的網(wǎng)格劃分圖和磁通密度云圖

為進(jìn)一步研究漏磁對(duì)磁通密度的影響,本文對(duì)比分析了前述所設(shè)計(jì)8 極異極磁軸承在偏心距分別為-0.4 mm、0 mm、0.4 mm 處的氣隙磁通密度。由圖12 中的例子可以看出,不同氣隙長(zhǎng)度對(duì)磁通影響比較大,但不同氣隙長(zhǎng)度的磁通密度沿軸向長(zhǎng)度的變化趨勢(shì)基本一致,對(duì)應(yīng)的磁極磁感應(yīng)強(qiáng)度幅值上稍有差距。該結(jié)果表明當(dāng)轉(zhuǎn)子在初始位置轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),氣隙磁場(chǎng)與磁極中的磁場(chǎng)接近,經(jīng)過(guò)磁極的磁通幾乎都進(jìn)入轉(zhuǎn)子表面,磁軸承的漏磁較少[21]。

圖12 氣隙磁通密度與周向長(zhǎng)度之間的關(guān)系

2.1 RNM 耦合磁路驗(yàn)證

根據(jù)RNM 磁路模型和有限元法計(jì)算磁懸浮轉(zhuǎn)子在徑向y方向位移從-400 μm 到+400 μm 的自感、互感及磁通分布,通過(guò)改變靜態(tài)電流的大小,計(jì)算不同電流激勵(lì)下的結(jié)果,如圖13～圖15 所示,其中L11表示磁極1 中的自感,L12表示磁極1 和磁極2 的互感,Φ1表示磁極1 中的磁通。由于AMB結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性,這里只列舉2 個(gè)磁極的自感和互感結(jié)果。由圖12 可知,隨著電流的增大,自感有所減少,互感逐漸增加,而磁通則是緩慢增加,在小的位移范圍內(nèi)近似成線性。

圖13 不同電流激勵(lì)下考慮渦流和漏磁的RNM 和FEM對(duì)比分析,自感L11隨y 方向偏移的變化

圖14 不同電流激勵(lì)下考慮渦流和漏磁的RNM 和FEM對(duì)比分析,互感L12隨y 方向偏移的變化

圖15 不同電流激勵(lì)下考慮渦流和漏磁的RNM 和FEM對(duì)比分析,磁通Φ1 隨y 方向偏移的變化

對(duì)比RNM 和有限元計(jì)算數(shù)據(jù)可知,在電流為2～6A 時(shí),L11計(jì)算誤差不超過(guò)1.21%,L13計(jì)算誤差不超過(guò)4.91%,磁通計(jì)算誤差不超過(guò)0.66%,計(jì)算結(jié)果如圖16 所示。由上述分析可知RNM 和FEM結(jié)果之間的良好相關(guān)性,同時(shí)也驗(yàn)證了考慮渦流和漏磁的RNM 計(jì)算方法的準(zhǔn)確性。

圖16 不同電流激勵(lì)下基于RNM 與FEM 計(jì)算磁路參數(shù)的相對(duì)誤差分析

2.2 不同偏心距下電磁軸承磁場(chǎng)的懸浮力分析

為更好地分析同時(shí)考慮渦流和漏磁的磁軸承懸浮力與轉(zhuǎn)子偏心距變化之間的關(guān)系,將氣隙磁通密度帶入式(26),并將通常情況下不考慮渦流和漏磁以及考慮渦流不考慮漏磁2 種情況下計(jì)算的懸浮力進(jìn)行比對(duì)。假定x方向位移不變,當(dāng)y方向位移從-400 μm 到+400 μm,y方向的承載力Fy與徑向位移的關(guān)系如圖17 所示,其中x和y的正方向如圖7所示。隨著y方向上的位移增大懸浮力逐漸增大,又因?yàn)闅庀堕g距與位移成反比,故Fy承載力隨著氣隙減小而增大,在小的氣隙范圍內(nèi)近似為線性。理論上當(dāng)氣隙趨于無(wú)窮小時(shí)承載力可以無(wú)限大,但是磁軸承在實(shí)際運(yùn)動(dòng)中并非如此,氣隙不可能無(wú)限小。圖17中FEM 為參考值,因?yàn)橛邢拊?jì)算更接近實(shí)際情況,對(duì)比其他3 種情況下的懸浮力結(jié)果可以看出,相較于不考慮渦流和漏磁影響,考慮渦流影響后,電磁力有一定程度的衰減,這是因?yàn)闇u流在電磁軸承中產(chǎn)生的懸浮力與實(shí)際方向相反具有阻抗作用。在考慮渦流的前提下,考慮漏磁產(chǎn)生的懸浮力略大于不考慮漏磁的結(jié)果。

圖17 電流2 A 時(shí)徑向力Fy 隨y 向位移的變化關(guān)系

表2 對(duì)比了不同電流激勵(lì)下電磁力的分析。由計(jì)算結(jié)果可以看出,同時(shí)考慮渦流和漏磁的RNM計(jì)算模型更接近實(shí)際值,其計(jì)算精度也會(huì)受電流激勵(lì)的影響,激勵(lì)越大精度越差。這主要是因?yàn)殡娏骷?lì)越大飽和現(xiàn)象越明顯,文中對(duì)于磁性材料的飽和計(jì)算并未考慮,這也是導(dǎo)致理論計(jì)算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果誤差較大的原因。

表2 懸浮力計(jì)算誤差對(duì)比

3 結(jié)論

采用常規(guī)磁路計(jì)算法對(duì)自傳感磁軸承磁路進(jìn)行建模時(shí),通常會(huì)忽略渦流效應(yīng)和漏磁影響。本文以8 極異極磁軸承為研究對(duì)象入手,通過(guò)對(duì)氣隙主磁導(dǎo)和邊緣磁導(dǎo)分析,得到了考慮邊緣效應(yīng)的氣隙磁阻值;利用等效建模替代方法,得到磁性材料的動(dòng)態(tài)相對(duì)磁導(dǎo)率,進(jìn)而分析了渦流影響下的磁路。

本文基于基爾霍夫定律建立了一種包含漏磁的RNM 耦合磁路模型,同時(shí)采用有限元分析法進(jìn)行驗(yàn)證。磁路各參數(shù)仿真結(jié)果表明,RNM 法與FEM 法相比最大誤差不超過(guò)5%,驗(yàn)證了RNM 模型的準(zhǔn)確性。解析式可用于對(duì)自傳感磁軸承的磁路建模設(shè)計(jì),為進(jìn)一步提高自傳感磁軸承的精度提供了依據(jù)。

在同時(shí)考慮渦流和漏磁的情況下RNM 計(jì)算的懸浮力與FEM 中計(jì)算的懸浮力具有較小的誤差,驗(yàn)證了本文所提出建模及求解方法的正確性,同時(shí)也說(shuō)明考慮漏磁是非常有必要的。相對(duì)于約80 000個(gè)網(wǎng)格的FEM 方法,只有40 個(gè)結(jié)點(diǎn)的RNM 法更具應(yīng)用價(jià)值。其缺點(diǎn)是隨著外加激勵(lì)的增加精度有所下降,這是因?yàn)榇判圆牧系拇棚柡臀醇{入考慮,后續(xù)研究工作將圍繞這方面展開(kāi)。