二維橋式吊車自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)消擺控制①

何熊熊 王逸文 朱錚旸 陳 強(qiáng)

(浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院 杭州 310023)

0 引言

吊車是用來運(yùn)輸超出人類自身能力范圍的負(fù)載的設(shè)備,被廣泛用于不同的環(huán)境作業(yè),例如建筑工地、倉庫、碼頭等[1]。其中,橋式吊車是一類典型的欠驅(qū)動機(jī)械系統(tǒng),實(shí)際運(yùn)行中受各種外界干擾的影響,其負(fù)載容易發(fā)生大幅擺動,導(dǎo)致系統(tǒng)工作效率降低,甚至帶來一定的安全隱患。因此,如何實(shí)現(xiàn)吊車的消擺控制和臺車的快速、準(zhǔn)確定位,是吊車控制器設(shè)計中的熱點(diǎn)問題之一。

近年來,國內(nèi)外學(xué)者提出多種控制方法實(shí)現(xiàn)欠驅(qū)動橋式吊車的有效消擺控制,主要分為開環(huán)控制和閉環(huán)控制。其中,開環(huán)控制代表性方法有輸入整形[2]、軌跡規(guī)劃[3-5]等。相比開環(huán)控制系統(tǒng),閉環(huán)控制魯棒性更強(qiáng),適用于室外作業(yè)的吊車控制器設(shè)計。常見的代表性閉環(huán)控制的方法主要包括比例積分微分(proportion integration differentiation,PID) 控制[6-7]、最優(yōu)控制[8-9]、滑?？刂芠10-12]等。文獻(xiàn)[13]提出一種新的滑?？刂品椒?通過對系統(tǒng)模型進(jìn)行變換并構(gòu)建新的滑模面,保證系統(tǒng)狀態(tài)沿滑模面收斂到零。文獻(xiàn)[14]同時考慮系統(tǒng)匹配和非匹配干擾,設(shè)計擾動觀測器估計和補(bǔ)償未知干擾,并設(shè)計滑?？刂破魈岣呦到y(tǒng)魯棒性。

文獻(xiàn)[15]針對一類欠驅(qū)動吊車系統(tǒng),通過設(shè)計滑模微分器保證控制輸入信號及其導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性,從而減小控制輸入的抖振問題。文獻(xiàn)[16]針對二維橋式吊車提出一種基于無源性方法通過構(gòu)造具有所需阻尼特性的新儲能函數(shù)引入耦合耗散信號以顯著降低負(fù)載擺動,并基于Lyapunov 穩(wěn)定性和LaSalle不變性原理設(shè)計控制器并證明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

上述文獻(xiàn)盡管可以實(shí)現(xiàn)橋式吊車的有效消擺控制,但控制器設(shè)計多依賴于較為精確的吊車系統(tǒng)模型。在實(shí)際系統(tǒng)中,由于存在未建模的動力學(xué)動態(tài)以及參數(shù)不確定性,吊車實(shí)際系統(tǒng)與其理論模型之間通常存在一定的差異。文獻(xiàn)[17]從系統(tǒng)無源性的角度出發(fā),針對二維吊車系統(tǒng)中存在未知質(zhì)量、未知繩長及摩擦力等問題,設(shè)計相應(yīng)的自適應(yīng)控制器,但要求未知不確定參數(shù)滿足線性參數(shù)化條件。為提高模型不確定系統(tǒng)的控制性能,模糊控制[18-19]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[20-22]等人工智能策略被廣泛應(yīng)用于控制器設(shè)計中。文獻(xiàn)[23]針對不確定二維橋式吊車系統(tǒng),利用多個誤差變量構(gòu)造滑模面和設(shè)計自適應(yīng)模糊滑?？刂?并利用模糊機(jī)制改變滑模面的梯度。文獻(xiàn)[24]將PID 控制與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償相結(jié)合設(shè)計吊車控制器,不僅能減小負(fù)載擺幅,還可補(bǔ)償重力、摩擦力等未知因素的影響。文獻(xiàn)[25]針對二維橋式吊車,利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近滑?？刂破髦懈鱾€參數(shù),實(shí)現(xiàn)臺車精確定位以及負(fù)載擺動有效消除。然而,現(xiàn)有的吊車神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法一般需要在控制器設(shè)計時將系統(tǒng)模型在平衡點(diǎn)處進(jìn)行線性化處理,導(dǎo)致系統(tǒng)在偏離平衡點(diǎn)時,負(fù)載需要多次震蕩才能消除擺動。

基于上述討論,本文提出一種不依賴于精確模型的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂撇呗?。通過模型變換,構(gòu)造包含臺車位移和擺角的誤差及導(dǎo)數(shù)的滑模面,并設(shè)計相應(yīng)的滑?？刂破骱妥赃m應(yīng)律,保證當(dāng)滑模變量收斂至平衡點(diǎn)時,各誤差信號均收斂到零點(diǎn),從而達(dá)到臺車位置控制和負(fù)載消擺的目的。此外,利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近吊車系統(tǒng)中的非線性不確定,使得控制器設(shè)計中無需臺車、負(fù)載質(zhì)量信息或?qū)ο到y(tǒng)模型進(jìn)行線性化處理。最后,利用Lyapunov 穩(wěn)定性理論分析閉環(huán)系統(tǒng)信號的有界性和誤差收斂性,并搭建二維橋式吊車實(shí)驗平臺驗證本文所提方法的有效性。

1 問題描述

二維橋式吊車模型如圖1 所示,其動態(tài)特性可用如下方程描述[13]:

圖1 二維橋式吊車模型

其中,x表示小車位移,θ表示擺角幅度,表示擺角速度,表示擺角加速度,M表示小車質(zhì)量,m表示負(fù)載的質(zhì)量,u表示控制輸入,d表示包括電磁干擾和風(fēng)力干擾等在內(nèi)的有界干擾,滿足|d(t)|＜,其中＞0 表示干擾上界。

定義吊車的期望軌跡xd,其具體表達(dá)式為xd=0.605(1-)。為便于控制器設(shè)計,進(jìn)行以下模型變換,定義下列狀態(tài)變量:

對式(3)求導(dǎo)可得

其中,

本文控制目標(biāo)是針對式(1)和(2)所示的二維橋式吊車系統(tǒng),設(shè)計自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器,使得式(3)中狀態(tài)變量η1、η2、η3和η4最終均趨于零點(diǎn)。

注1在實(shí)際狀況中,由于繩子質(zhì)量遠(yuǎn)小于臺車質(zhì)量,繩子的韌性可以忽略。因此,在描述二維橋式吊車時可以將繩視為剛性。此外,負(fù)載被視為質(zhì)點(diǎn)并且它的質(zhì)量是均勻的。

注2在二維橋式吊車中,負(fù)載擺角θ(t) 通常在(-π/3,π/3)內(nèi)。結(jié)合式(4)可知,b存在上界和下界,即0＜b0≤b≤b1,其中b1和b0分別表示其上、下界值。

2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)消擺控制

二維橋式吊車神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制結(jié)構(gòu)圖如圖2 所示,其中控制器采用滑?？刂?神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于估計包含未建模動態(tài)和不確定參數(shù)在內(nèi)的非線性不確定性。

圖2 二維橋式吊車神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制結(jié)構(gòu)圖

2.1 控制器設(shè)計

本文設(shè)計的滑模面形式如下:

對σ求導(dǎo)可得:

由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠逼近任意連續(xù)函數(shù),因此利用H(X) 來逼近非線性函數(shù)?n(t)。其中,H(X) 表達(dá)式為

X=∈R4表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入向量,?(X) 表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(neural network,NN)基函數(shù),具體表達(dá)式為

其中,W*=[w1,w2,w3,w4]T∈RN和ε分別表示理想有界的權(quán)值矩陣和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差,h、c、m、n為常數(shù),且‖W*‖≤WN,|ε|≤εN,WN為‖W*‖的上界,εN為ε的上界,WN＞0,εN＞0。為了后續(xù)設(shè)計中表達(dá)方便,將?(X) 記為?。

結(jié)合式(6)～(10),設(shè)計控制器為

其中,r＞0,β＞0。

注3控制器式(9)中的符號函數(shù)sgn(·)會帶來一定的控制器抖振問題,因此在實(shí)驗中將采用以下連續(xù)函數(shù)[26]代替sgn 函數(shù)。

其中,ι＞0 表示邊界層厚度。

2.2 收斂性分析

定理1針對式(1)和(2)所示的二維橋式吊車系統(tǒng),選擇滑模面式(6),且設(shè)置控制律式(10)中的參數(shù)滿足k1＞0,k2≥+(‖W*T?(X)‖F(xiàn)+|εN|)/b0,則當(dāng)t→∞時,滑模變量σ收斂至滑模面σ=0。

證明由式(9)可得:

構(gòu)造如下Lyapunov 函數(shù):

對式(13)求導(dǎo),并將式(7)和式(10)代入可得

由于d(t)＜||、‖W*T?(X)‖F(xiàn)、ε均有界,因此選擇k2≥+(‖W*T?(X)‖F(xiàn)+|εN|)/b0,將不等式代入到式(15)可得:

定理2當(dāng)滑模變量σ收斂至滑模面σ=0 時,各個狀態(tài)變量η1、η2、η3、η4最終均趨于零點(diǎn)。

證明當(dāng)滑模變量σ收斂至滑模面σ=0 時,根據(jù)式(6)可得:

將式(17)代入式(4)可得:

為便于后續(xù)分析,將式(18)改寫為

根據(jù)矩陣?yán)碚?存在一個可逆矩陣Γ,使得

其中,J=,k表示A的特征值。不失一般性,選擇λ1=k3,λ2=3k2,λ3=3k,可逆矩陣表示為

根據(jù)式(19)、式(21)和式(23)可得:

定義式(26)所示的新的狀態(tài)變量:

根據(jù)式(26)可得:

式(17)經(jīng)過變換可得:

其中,Λ=-[λ1λ2λ3]·Γ。則≤‖Λ‖2·‖ψ‖2,將不等式代入式(24),有

對式(26)求導(dǎo)可得:

將式(19)代入式(31)中可得:

將式(22)和式(27)代入式(32)可得:

定義如下Lyapunov 函數(shù):

對式(34)求導(dǎo)可得:

其中,Q=-(JT+J),且Q特征值為2k,2k±。

令k＞,則Q的每一個特征值都為正值,且Q的最小特征值為λm=2k-。因此ψTQψ≥λm‖ψ‖2,將不等式代入式(35)可得:

將式(24)和式(30)代入式(36)可得

其中,R0=λm,R1=2β1·‖Λ‖2,R2=,ρ=R1‖ψ‖2-R0‖ψ‖+R2。

由于R0＞0、R1＞0,則存在一個區(qū)間使得ρ＜0。該區(qū)間通過計算可得:

綜上所述,當(dāng)‖ψ‖初值在區(qū)間[0,R0/2R1)時有

由于ηu=[η1η2η3]T,因此η1、η2、η3將趨于0,再根據(jù)式(17)可知,η4將趨于0。證畢。

3 實(shí)驗分析

為進(jìn)一步驗證本文所提方法的有效性,搭建二維橋式吊車控制系統(tǒng)實(shí)驗平臺,并與不同的控制方法進(jìn)行對比。其中,方法1 為本文所提出的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法,方法2 為文獻(xiàn)[15]所提出的滑?？刂品椒?其中滑模面和控制器分別設(shè)計為

實(shí)驗平臺主要包括個人電腦、伺服驅(qū)動器、運(yùn)動控制板和角度編碼器,具體設(shè)備如圖3 所示。臺車的位移由嵌入在伺服電機(jī)內(nèi)的編碼器測量,而負(fù)載擺角由固定在小車下方的編碼器捕獲?？刂破魇褂媒?jīng)過低通濾波器后的測量數(shù)據(jù)在線估算臺車以及擺角速度?？刂破鬟x用DSP28335 芯片,開關(guān)頻率設(shè)置為50 kHZ,并采用CCS 編譯工具編寫相關(guān)軟件程序。

圖3 橋式吊車實(shí)驗系統(tǒng)

橋式吊車平臺的物理參數(shù)為m=1 kg,M=1.7 kg,l=0.8 m,g=9.8 m/s2。臺車參考軌跡為xd=0.605(1-)。在實(shí)驗中,其他相關(guān)參數(shù)如表1 所示。

表1 實(shí)驗控制參數(shù)

實(shí)驗結(jié)果如圖4～圖7 所示,其中圖4 描述了臺車在方法1 和方法2 的作用下的運(yùn)行軌跡。由圖4可以看出,在方法1 和方法2 控制下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時均存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差,但方法1 控制下的穩(wěn)態(tài)誤差遠(yuǎn)小于方法2,且方法1 更早到達(dá)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)。圖5給出了不同控制方法下負(fù)載擺角對比。由圖5 可以看出,方法1 和方法2 的最大負(fù)擺角為1.08 °和1.18 °,方法1 和方法2 的最大正擺角分別為0.99°和1.08 °。因此,方法1 具有更好的瞬態(tài)性能。

圖4 臺車位移對比

圖5 負(fù)載擺角對比

圖6 控制輸入對比

圖7 滑模變量σ 對比

圖6 給出了方法1 和方法2 的控制輸入信號。從圖6 中可以看出,方法1 的輸入信號比方法2 幅值更小,且能較早趨于穩(wěn)態(tài)。圖7 給出了在方法1和方法2 作用下系統(tǒng)滑模面的值。從圖7 中可以看出,隨著系統(tǒng)的運(yùn)行,方法1 滑模變量σ的值能夠更快收斂至零點(diǎn)附近。表2 給出了兩種方法具體的實(shí)驗性能指標(biāo)。

表2 實(shí)驗性能指標(biāo)

從表2 中可以看出,方法1 比方法2 在更快時間內(nèi)到達(dá)期望點(diǎn),且方法1 具有更小的穩(wěn)態(tài)誤差,這與圖4 描述的結(jié)果一致,即方法1 能夠提高系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能。方法1 和方法2 最終均未產(chǎn)生殘余擺角,但在運(yùn)行過程中,方法1 的最大正擺角和最大負(fù)擺角均小于方法2。結(jié)合圖5 與表2 可知,方法1 能夠提高系統(tǒng)的動態(tài)性能。

4 結(jié)論

本文針對二維橋式吊車系統(tǒng)的臺車精確定位與負(fù)載擺動消除等問題,提出一種自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)消擺控制方法。通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近系統(tǒng)中的非線性函數(shù),減少控制器對系統(tǒng)模型信息的依賴。同時,通過構(gòu)造包含臺車位置與負(fù)載擺角誤差在內(nèi)的滑模變量,將控制器目標(biāo)轉(zhuǎn)換為保證滑模變量收斂至平衡點(diǎn),從而使得臺車到達(dá)期望位置的同時能夠消除負(fù)載擺動。最后,在實(shí)際二維橋式吊車平臺上進(jìn)行了實(shí)驗驗證,實(shí)驗結(jié)果表明本文所提方法的有效性。