模糊度量空間中統(tǒng)計收斂的等價刻畫

胡楊麗，李長清

（閩南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，福建 漳州 363000）

模糊度量是模糊拓撲學(xué)中的一個重要的概念，現(xiàn)已得到眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注。1994年，George 等借助連續(xù)t模給出了模糊度量空間的概念[1]。隨后，Gregori等證明了模糊度量誘導(dǎo)出的拓撲空間可度量化，并舉例說明并非所有的模糊度量空間都可完備[2-3]，這與度量空間都可完備化存在極大區(qū)別。

統(tǒng)計收斂作為一般收斂的推廣，它的思想最早由Zygmund[4]提出。1951年，F(xiàn)ast和Steinhaus各自獨立定義了實空間序列的統(tǒng)計收斂概念[5-6]。之后，F(xiàn)ridy介紹了統(tǒng)計收斂在數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域的各種應(yīng)用[7-8]。Kostyrko等探討了度量空間中的統(tǒng)計收斂的概念[9]。Bilalov等則研究了統(tǒng)計收斂在完備度量空間中的等價性[10]。最近，文獻[11]給出了模糊度量空間中序列的統(tǒng)計收斂、統(tǒng)計柯西和統(tǒng)計完備的概念，并研究了三者間的關(guān)系，同時，提出了在模糊度量空間中統(tǒng)計完備與完備是否等價的問題。

為了進一步完善模糊度量空間中統(tǒng)計收斂的相關(guān)性質(zhì)，本文在已有的模糊度量空間中統(tǒng)計收斂、統(tǒng)計柯西和統(tǒng)計完備的概念的基礎(chǔ)上證明了完備的模糊度量空間中統(tǒng)計收斂和統(tǒng)計柯西的等價性，并證明了在模糊度量空間中統(tǒng)計完備與完備的一致性。

1 預(yù)備知識

在本文中，N表示正整數(shù)集；AC表示集合A?N的補集，即AC= N/A；-F表示集合F的閉包。

定義1.1[1]二元函數(shù)?:[0,1]×[0,1]→[0,1]稱為連續(xù)t模，如果它滿足以下條件：

（1）?滿足結(jié)合律和交換律；

（2）?是連續(xù)的；

（3）對任意a∈[0,1],a?1 =a；

（4）當(dāng)a≤c和b≤d且a,b,c,d∈[0,1]時，a?b≤c?d。

易知，對任意ε∈(0,1)，存在ε1,ε2∈(0,ε)，使得(1 -ε1)?(1 -ε2)＞1 -ε。

定義1.2[1]設(shè)X是任意非空點集，?是連續(xù)t模，M是X2×(0,∞)上的模糊集。三元組(X,M,?)被稱為模糊度量空間，若對任意x,y,z∈X和s,t∈(0,∞)滿足以下條件：

（i）M(x,y,t) ＞0；

（ii）M(x,y,t) = 1當(dāng)且僅當(dāng)x=y；

（iii）M(x,y,t) =M(y,x,t)；

（iV）M(x,y,t)?M(y,z,s) ≤M(x,z,t+s)；

（V）函數(shù)M(x,y, ?):(0,∞) →[0,1]是連續(xù)的。

若(X,M,?)是模糊度量空間，則可稱(M,?)為X上的模糊度量。

則稱diamt(F)為F關(guān)于t的模糊直徑。

引理1.2[13]設(shè)(X,M,?)是模糊度量空間，F(xiàn)為X的非空子集。則對于任意t＞0，F(xiàn)關(guān)于t的模糊直徑為0當(dāng)且僅當(dāng)F是單點集。

定義1.8[11]設(shè)(X,M,?)是模糊度量空間，{xn}為X中的序列。若對任意ε∈(0,1)和t＞0，存在nε,t∈N，使得δ({n∈N|M(xn,xnε,t,t) ＞1 -ε}) = 1，則稱{xn}是X上的統(tǒng)計柯西序列。

定義1.9[11]設(shè)(X,M,?)是模糊度量空間，若X上的任意統(tǒng)計柯西序列都統(tǒng)計收斂，則稱X是統(tǒng)計完備的。

引理1.3[11]設(shè)(X,M,?)是模糊度量空間，若X中的序列{xn}統(tǒng)計收斂，則它是統(tǒng)計柯西序列。

引理1.4[11]設(shè)(X,M,?)是模糊度量空間，若X是統(tǒng)計完備的，則它是完備的。

2 主要結(jié)果

在文獻[11]中，我們知道模糊度量空間中統(tǒng)計收斂比統(tǒng)計柯西性質(zhì)更強。現(xiàn)考慮對該空間附加完備的條件，則有以下結(jié)果。

定理2.1 設(shè)(X,M,?)是完備的模糊度量空間，{xn}為X中的序列，則以下條件等價：

（1）{xn}在X中統(tǒng)計收斂；

（2）{xn}為X中的統(tǒng)計柯西序列；

（3）存在序列{yn}n∈N?X，使得{yn}極限存在，且δ({n∈N|xn=yn}) = 1。

證明 （1）?（2）由引理1.3可得。

推論2.1 設(shè)(X,M,*)是模糊度量空間，則X是統(tǒng)計完備的當(dāng)且僅當(dāng)X是完備的。

證明 必要性由引理1.4可得。下證充分性。設(shè)(X,M,*)是完備模糊度量空間。設(shè){xn}為X中的任一統(tǒng)計柯西序列，則由定理2.1可知{xn}統(tǒng)計收斂，故由定義1.9知X是統(tǒng)計完備的。