一類平面幾何最值探秘

黃建棟 張淼

【摘要】 本文探究非局部平面中線長的最值.這類最值問題往往以求a+kb，或a+b+…（其中a，b，…是線段，k是系數(shù)）長的最值的形式出現(xiàn).而a+b+…可視作a+kb當(dāng)k=1時(shí)的推廣.所以研究這類幾何最值可以從研究不同的k值涉及何種最值入手.本文通過對k=0這種情況的深入研究，探得相應(yīng)的解題策略.

【關(guān)鍵詞】 幾何;最值;求解;規(guī)律

平面幾何最值，既有線長的最值.也有面積的最值.就最值所在平面來說，因整體與局部也會影響最值.本文僅涉及非局部平面中線長的最值.這類最值，本質(zhì)上都是點(diǎn)與點(diǎn)間連線的最值，基本依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短;垂線段最短.但由于點(diǎn)有定點(diǎn)和動點(diǎn)之分，點(diǎn)的個數(shù)有不同，動點(diǎn)的軌跡有顯或隱，有直線或圓，使之變化萬千，造成解題困惑.為此，找出這類最值問題解題的一般規(guī)律，就顯得十分必要.

通過對這類平面幾何最值問題的綜合思考.作者認(rèn)為所有這類平面幾何最值問題，皆是求a+kb或a+b+…（其中a，b，…是線段，k是系數(shù)）長的最值，而a+b+…可視作a+kb，當(dāng)k=1時(shí)的推廣.因此，只要就a+kb中不同的k，研究不同解題方法即可.本文僅就k=0作探究.

當(dāng)k=0時(shí)，即求一條線段的最值.這類問題，解題的關(guān)鍵是先求得動點(diǎn)運(yùn)動的軌跡，或借助旋轉(zhuǎn)變換、位似變換，轉(zhuǎn)換點(diǎn)的位置求解;當(dāng)動點(diǎn)軌跡已知時(shí)，往往要把幾何最值結(jié)合代數(shù)方法或轉(zhuǎn)化為代數(shù)最值求解.

例1 如圖1，AB為⊙O的直徑，C，D為半圓上的動點(diǎn)，且∠COD=90°.連接AC，BD交于點(diǎn)E，F(xiàn)為OB的中點(diǎn).若AB=4，求EF的最小值.

分析 本題F為定點(diǎn)，E為動點(diǎn)，關(guān)鍵是尋找動點(diǎn)運(yùn)動的軌跡.

由∠COD=90°，得∠CAB+∠DBA=45°，

所以∠AEB=135°.

點(diǎn)E在對AB張角為135°的一條圓弧上.設(shè)弧的圓心為P，則當(dāng)P，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線時(shí)，EF有最小值.（EF最小=22-5）

例2 如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)D是半徑為4的⊙A上一點(diǎn)，連接BD，點(diǎn)M是BD的中點(diǎn)，求線段CM的最大值.

分析 點(diǎn)M隨點(diǎn)D在⊙A上運(yùn)動而運(yùn)動.設(shè)AB的中點(diǎn)為O，連OM，

則OM=12AD=2，

所以隨著點(diǎn)D在⊙A上運(yùn)動，點(diǎn)M在半徑為2的⊙O上運(yùn)動，當(dāng)C，O，M共線，且點(diǎn)M在CO的延長線上時(shí)，CM有最大值.（CM最大=7）

例3 （1）如圖3，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，且A，B在半徑為3的⊙O上，當(dāng)點(diǎn)A在⊙O上運(yùn)動時(shí)，求OC的最小值.

（2）改（1）中的條件AB=AC為∠A=30°，如圖4，其他不變，求OC的最小值.

分析 （1）本題中，C隨A動而動，動點(diǎn)C的軌跡是什么？有一個公共頂點(diǎn)的一組相似三角形，當(dāng)它的一組對應(yīng)點(diǎn)在直線（或圓）上運(yùn)動時(shí)，它的另一組對應(yīng)點(diǎn)也必在直線（或圓）上運(yùn)動，所以點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡也是圓.當(dāng)AB是⊙O直徑時(shí)，由于BC=AB，AB丄BC，所以只要作直徑A′B，過B作BC′⊥A′B，且BC′=A′B.設(shè)BC′中點(diǎn)為P，則點(diǎn)C必在以BC′為直徑的⊙P上運(yùn)動，如圖5，當(dāng)點(diǎn)C在OP上時(shí)，OC有最小值.（OC最小=32-3）

（2）如圖6，解法與（1）基本相同，所不同的是，因?yàn)椤螦=30°，所以BC=3AB3，從而⊙P直徑為23，OC的最小值為3.

值得指出的是，本題還有一種解法：鑒于OC在圓內(nèi)，若能把它移到一點(diǎn)在圓上，另一點(diǎn)在圓外，也是一種方法.但這時(shí)就要用到旋轉(zhuǎn)變換.對于（1）來說，連OB，把△OCB繞點(diǎn)B按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，即能達(dá)到目的，此時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合.設(shè)O落在點(diǎn)O′的位置（圖7），則當(dāng)點(diǎn)A在OO′上時(shí)，O′A最小，即OC最小;但對（2）來說，如此旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C不與點(diǎn)A重合，為此還要借助于位似變換（位似比3），使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合（圖8）.但用這種方法求解，增加了難度，也不容易理解.

例4 如圖9，邊長為3的等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上移動.∠AOD=30°，頂點(diǎn)B在射線OD上隨之移動，求頂點(diǎn)C到原點(diǎn)O的最大距離.

分析 本題有兩種解題方法.

方法1 正△ABC在運(yùn)動過程中只改變位置關(guān)系，而不改變其數(shù)量關(guān)系.故其AB邊上的中線（設(shè)為CM）長不變，而OC≤OM+MC.

當(dāng)OC=OM+MC時(shí)有最大值.（此時(shí)OC過點(diǎn)M，又OC⊥AB，所以△OAB為等腰三角形，OM=3+332，MC=332，OC最大=33+3，圖略）

0

方法2 為了解題方便，不妨動靜互換，即△ABC不動，而∠AOB運(yùn)動.這時(shí)，點(diǎn)O在對AB的張角為30°的圓弧上運(yùn)動.設(shè)圓弧的圓心為P，連接CP并延長交圓弧于點(diǎn)O′，則O′C即為原點(diǎn)O到點(diǎn)C的最大距離.（如圖10）

上述4例，動點(diǎn)的軌跡都是圓弧，但也有動點(diǎn)的軌跡是直線（射線、線段）的.

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例5 如圖11，在直角坐標(biāo)系中，有等腰△ABC，∠CAB=120°，B（0，3），點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合.當(dāng)點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)A隨之運(yùn)動，求OA的最小值.

分析 點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上運(yùn)動，點(diǎn)A運(yùn)動的軌跡必

為射線.

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如圖12，連接AA′，即有

△A′BA∽△C′OB（△C′CB），

所以∠BAA′=∠BOC′=90°，

從而知道點(diǎn)A運(yùn)動的軌跡是過點(diǎn)A與AB垂直的射線AA′.所以又歸結(jié)為點(diǎn)線最值問題，由此OA的最小值即是點(diǎn)O到射線AA′的垂線段的長OH.

（OH=32，即OA最小=32）

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例6 如圖13，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y=2x（x>0）的圖象上運(yùn)動，且AB=42，M為AB的中點(diǎn)，連接OM，求線段OM的最小值.

分析 當(dāng)動點(diǎn)軌跡已知時(shí)，往往要把幾何最值結(jié)合代數(shù)方法或轉(zhuǎn)化為代數(shù)最值求解.

方法1 設(shè)Aa，2a，Bb，2b，

Ma+b2，1a+1b，

所以（a-b）2+2a-2b2=32，

所以O(shè)M2=a+b22+1a+1b2

=ab+4ab+8≥2ab·4ab+8

=12.

（當(dāng)a，b均為非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)，a+b≥2ab）

所以O(shè)Mmin=23.

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方法2 當(dāng)OM⊥AB時(shí)，OM最小，此時(shí)OA=OB，點(diǎn)A，B關(guān)于直線y=x對稱，設(shè)Aa，2a，B2a，a，

M1a+a2，1a+a2，

所以2a-2a2=32，

則a2+4a2=20，

所以O(shè)M2=21a+a22

=21a2+a24+1

=12，

所以O(shè)Mmin=23.