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    經(jīng)歷知識(shí)生成 培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象

    2022-07-24 08:35:34李鑫華段賽花
    數(shù)理天地(高中版) 2022年9期
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)抽象雙曲線教學(xué)設(shè)計(jì)

    李鑫華 段賽花

    【摘 要】 隨著新課程改革的持續(xù)推進(jìn),核心素養(yǎng)逐步成為當(dāng)前教育教學(xué)的重心內(nèi)容,教師在課堂教學(xué)中不僅要維護(hù)學(xué)生的主體地位,更要促進(jìn)學(xué)生各項(xiàng)素養(yǎng)的同步發(fā)展,以具備當(dāng)前素質(zhì)教育要求的品格與能力.本文針對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)展開(kāi)研究,探析在“雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程”課程教學(xué)中培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維的教學(xué)思路與方案設(shè)計(jì),并通過(guò)教學(xué)反思提出教學(xué)過(guò)程中的優(yōu)勢(shì)與不足,進(jìn)一步提升教師的教學(xué)水平.

    【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)抽象;教學(xué)設(shè)計(jì);雙曲線

    《課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版)》明確將數(shù)學(xué)定義為“研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)”,數(shù)學(xué)抽象的對(duì)象是圖形、數(shù)量及其關(guān)系,從現(xiàn)實(shí)世界的事物中總結(jié)出數(shù)學(xué)的規(guī)律、結(jié)構(gòu)、概念、本質(zhì),并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)之表述,它是一種數(shù)學(xué)思維過(guò)程,也是一種非常重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).課程標(biāo)準(zhǔn)明確了數(shù)學(xué)抽象的表現(xiàn)形式,即獲得數(shù)學(xué)概念及規(guī)則,提出數(shù)學(xué)命題與模型,形成數(shù)學(xué)思想和方法,認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和體系.本文以“雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)設(shè)計(jì)為例,提出相應(yīng)路徑,以期促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提升.

    1 學(xué)情分析

    “雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程”一課面向高二學(xué)生,從方法掌握方面分析,學(xué)生已經(jīng)具備了高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本能力,掌握了其中的規(guī)律要點(diǎn),具有一定的空間想象、抽象概括以及推理運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng),但是學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象方面的思維能力還略顯淺薄,需要進(jìn)一步引導(dǎo)與訓(xùn)練.

    2 教材分析

    “雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程”在蘇教版高中數(shù)學(xué)選修2-1的第二章第三節(jié),在此課前學(xué)生學(xué)習(xí)了橢圓相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí),而雙曲線是學(xué)生學(xué)習(xí)的另一種圓錐曲線,基于學(xué)生對(duì)圓、橢圓等相關(guān)知識(shí)的了解,通過(guò)能力與理解遷移,可以幫助學(xué)生更輕松地掌握該課知識(shí),獲得數(shù)學(xué)抽象能力的進(jìn)一步提升.

    3 教學(xué)目標(biāo)

    本課的教學(xué)目標(biāo)在于引導(dǎo)學(xué)生掌握并理解雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程等內(nèi)容,并能夠熟練運(yùn)用推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程的方法,具有一定的數(shù)學(xué)審美能力.

    4 教學(xué)過(guò)程

    4.1 通過(guò)創(chuàng)設(shè)情景,獲得數(shù)學(xué)概念

    情境1 (利用多媒體播放圖片)花瓶、北京摩天大樓、巴西利亞大教堂、法拉利主題公園.引導(dǎo)學(xué)生欣賞圖片,并提出問(wèn)題:這些圖案中我們可以發(fā)現(xiàn)哪些幾何圖形呢?

    學(xué)生:雙曲線.

    情境2 (利用多媒體展示PPT)已知某地有A、B、C三個(gè)監(jiān)測(cè)站,A在B的正東方向,之間相距10km,而C在B的北偏西30°方向,之間距離為6km,而M為敵人堡壘,在某個(gè)時(shí)刻A收到了敵方的信號(hào),6s后B和C兩地同時(shí)收到該信號(hào),假設(shè)該信號(hào)的傳播速度為每秒一公里,那么請(qǐng)嘗試確定敵方碉堡的位置.

    針對(duì)上述情境問(wèn)題,學(xué)生采取畫(huà)圖的方式嘗試解決問(wèn)題,假設(shè)AB在直線軸x上,取AB中點(diǎn)為原點(diǎn)設(shè)立坐標(biāo)系,教師引導(dǎo)學(xué)生探尋M點(diǎn)位置的規(guī)律,并由教師引導(dǎo)提出當(dāng)|MB-MA|為固定值時(shí),M會(huì)形成怎樣的曲線軌跡?利用幾何畫(huà)板演示其軌跡.

    設(shè)計(jì)意圖 高中生雖然處于邏輯思維發(fā)展迅速的階段,但形象思維仍發(fā)揮著重要的作用,從具體形象的場(chǎng)景入手,有利于激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和求知的動(dòng)機(jī).利用其他學(xué)科的資源設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生從大量的具體實(shí)例中抽取出一般的、概括性的知識(shí),并讓學(xué)生嘗試用自己的語(yǔ)言去總結(jié)歸納共性的本質(zhì)知識(shí).學(xué)生通過(guò)親自操作獲得概念的過(guò)程,也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的過(guò)程.

    本環(huán)節(jié)通過(guò)兩個(gè)情境完成教學(xué)導(dǎo)入過(guò)程,情境一利用含有雙曲線的圖片引導(dǎo)學(xué)生從生活中的美學(xué)設(shè)計(jì)中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué),進(jìn)而引入本課課程;情境二則利用虛擬的情境,啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用畫(huà)圖的方式將抽象的問(wèn)題形象化,不僅為探究雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程奠定了基礎(chǔ),而且對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)有一定的培育作用.

    4.2 應(yīng)用建構(gòu)理論,內(nèi)化數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

    活動(dòng)1 (折紙)首先,準(zhǔn)備一張A4紙,在上面確定兩點(diǎn)分別為F1和F2,將F1作為圓心,以小于兩點(diǎn)之間的距離為半徑作一個(gè)圓,在圓上任意確定一點(diǎn)為P,通過(guò)折疊的方式,選擇一個(gè)點(diǎn)P1和F2重合,并將折痕繪出,確定為l1(如圖1);

    找到F1P1半徑所在直線并再次進(jìn)行折疊,該折痕與l1相交確定點(diǎn)M1.而后隨機(jī)確定點(diǎn)P2,P3,P4,P5,P6……并重復(fù)上述操作過(guò)程,由此便發(fā)現(xiàn)折痕逐步形成了兩條對(duì)稱的曲線(如圖2).

    由此引出雙曲線概念,并要求學(xué)生思考得到雙曲線的條件.

    學(xué)生 ①在同一個(gè)平面內(nèi)②存在一個(gè)動(dòng)態(tài)的點(diǎn)③該動(dòng)態(tài)變化的點(diǎn)距離兩個(gè)固定點(diǎn)之間距離差的絕對(duì)值固定不變.

    教師 根據(jù)上述條件,你能準(zhǔn)確得出一個(gè)雙曲線圖像嗎?

    教師與學(xué)生共同展開(kāi)研究,分別提出假設(shè)1|PF1-PF2|=F1F2和假設(shè)2|PF1-PF2|>F1F2,要求學(xué)生再次嘗試,并發(fā)現(xiàn)假設(shè)1形成兩條射線,假設(shè)2無(wú)法構(gòu)成圖形.由此得出完整的雙曲線定義.

    設(shè)計(jì)意圖 本環(huán)節(jié)采取折紙游戲的方式展開(kāi)活動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生確定了雙曲線這一抽象概念的具體形態(tài)與基本構(gòu)成條件,并由此得出完整的定義.在該過(guò)程中,學(xué)生不僅具有濃厚的探索興趣,而且還能將抽象的定義形象化,可以有效深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)抽象的理解.

    活動(dòng)2 (探究)

    教師提問(wèn) 根據(jù)上述所學(xué)內(nèi)容不難發(fā)現(xiàn),雙曲線與橢圓之間具有一定的相似關(guān)系,你們可以結(jié)合橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程,提出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)步驟嗎?

    學(xué)生 ①構(gòu)建坐標(biāo)系,F(xiàn)1F2為x軸上兩點(diǎn),且F1F2被y軸垂直平分.

    ②設(shè)點(diǎn)M(x,y)為雙曲線上任意一點(diǎn).

    ③根據(jù)等量關(guān)系列式:|MF1-MF2|=2a.

    ④代入等式:

    (x+y)2+y2-(x-y)2+y2=2a(*).

    ⑤化簡(jiǎn).

    化簡(jiǎn)過(guò)程相對(duì)較難,采取小組合作的方式.小組1通過(guò)等式兩邊分別做平方后進(jìn)行化簡(jiǎn);小組2則選擇去掉絕對(duì)值符號(hào),先轉(zhuǎn)化為±2a,在化簡(jiǎn)過(guò)程中再選擇等號(hào)兩端平方處理.

    設(shè)計(jì)意圖 本環(huán)節(jié)采取思維遷移的方式展開(kāi),以橢圓方程的推導(dǎo)過(guò)程遷移到雙曲線之上,并在遇到困難時(shí)引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)合作,不僅提升了學(xué)生解決問(wèn)題的能力,而且促進(jìn)了思維的轉(zhuǎn)化與推導(dǎo)能力.

    4.3 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,嘗試模型應(yīng)用

    問(wèn)題1 已知方程(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2),如何進(jìn)一步化簡(jiǎn)?

    學(xué)生 結(jié)合橢圓、雙曲線定義可知:

    2c>2a>0,

    即:c>a>0,

    所以:c2-a2>0,

    設(shè):c2-a2=b2(b>0),

    代入后可得:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).

    設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)公式講究簡(jiǎn)潔與對(duì)稱,在推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程的過(guò)程中,學(xué)生得出的結(jié)果相對(duì)復(fù)雜,這時(shí)就需要挖掘新的潛藏條件,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)公式的優(yōu)化,這對(duì)學(xué)生的邏輯推理以及數(shù)據(jù)分析能力有著重要的輔助效果.

    問(wèn)題2 判斷下列雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo),并計(jì)算其中的a,b,c值.

    (1)x225-y216=1. (2)y225-x216=1.

    (3)4x2-9y2=36. (4)4x2-9y2=-36.

    學(xué)生 將方程化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)方程形式,進(jìn)而得出所求內(nèi)容.

    問(wèn)題3 如何根據(jù)雙曲線方程判斷焦點(diǎn)所在軸?

    學(xué)生 同樣將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式,系數(shù)為正的變量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸為焦點(diǎn)所在軸.

    設(shè)計(jì)意圖 問(wèn)題二主要考察學(xué)生對(duì)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程要素的掌握能力,問(wèn)題三考察學(xué)生對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方程與圖形之間對(duì)應(yīng)的特征關(guān)系,可以強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想,提升數(shù)學(xué)抽象思維.

    4.4 基于深度學(xué)習(xí),感悟數(shù)學(xué)思想

    思考題 通過(guò)這節(jié)課你學(xué)會(huì)了什么?仔細(xì)說(shuō)說(shuō)你的收獲.

    設(shè)計(jì)意圖 利用開(kāi)放性的總結(jié)環(huán)節(jié),引導(dǎo)不同層次的學(xué)生依次回答,由基礎(chǔ)層學(xué)生開(kāi)始,從雙曲線的概念與定義、標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)方式,逐步深化細(xì)化到優(yōu)秀學(xué)生層次,提出方程化簡(jiǎn)的技巧、類比、數(shù)形結(jié)合等各種思想與要素,通過(guò)這樣的過(guò)程,完善學(xué)生核心素養(yǎng)的綜合發(fā)展.

    5 教學(xué)反思

    根據(jù)本課的教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程,總結(jié)了三點(diǎn)教學(xué)經(jīng)驗(yàn):第一,要精心設(shè)計(jì)問(wèn)題.在該課程教學(xué)的設(shè)計(jì)中,問(wèn)題是每一個(gè)環(huán)節(jié)之間相互聯(lián)系的關(guān)鍵要素,通過(guò)問(wèn)題層層推進(jìn),不僅強(qiáng)化了學(xué)生的思維能力,而且從開(kāi)始的觀察、比較,到后來(lái)的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出質(zhì)疑,以及最后的分析并解決問(wèn)題,學(xué)生的思維能力得到了快速成長(zhǎng),而且針對(duì)雙曲線這一抽象概念的理解不斷深化,這就是問(wèn)題引導(dǎo)下的教學(xué)成果;第二,要促進(jìn)學(xué)生的自主形成.在本課教學(xué)設(shè)計(jì)中,雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程主要由學(xué)生獨(dú)立完成,既沒(méi)有讓教師給出答案,也沒(méi)有過(guò)分限制學(xué)生的推導(dǎo)方式,僅僅通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)與啟發(fā),幫助學(xué)生搭建起思維的骨架,進(jìn)而通過(guò)“經(jīng)歷、發(fā)現(xiàn)、解答”的過(guò)程完成學(xué)習(xí)任務(wù),實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象思維的升華;第三,要巧妙滲透數(shù)學(xué)思想.這是學(xué)生數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)鍵要素,在問(wèn)題設(shè)計(jì)的過(guò)程中,需要融入遷移、對(duì)比、推理、數(shù)形結(jié)合等各種思想的運(yùn)用環(huán)境,幫助學(xué)生面對(duì)抽象問(wèn)題時(shí)找到關(guān)鍵要素,并得以有效解決.

    對(duì)于數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng),首先可以通過(guò)創(chuàng)設(shè)情景,獲得數(shù)學(xué)概念.將數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活建立了關(guān)聯(lián),這種生動(dòng)形象的情境創(chuàng)設(shè),容易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,使他們更自主地建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系,喚起認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有相關(guān)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),或改變?cè)姓J(rèn)知結(jié)構(gòu),以同化或順應(yīng)當(dāng)前新知識(shí),完成對(duì)事物本質(zhì)屬性即概念的清晰牢固的認(rèn)知與構(gòu)建.其次可以應(yīng)用建構(gòu)理論,內(nèi)化數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).

    教師要以學(xué)生為中心,采用“問(wèn)題解決”的教學(xué)模式,具體程序?yàn)椋孩偬岢鰡?wèn)題.引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,進(jìn)而提出有障礙性和探索性的問(wèn)題.②分析問(wèn)題.采用小組合作學(xué)習(xí)的方式,引導(dǎo)學(xué)生討論交流,開(kāi)展自主性探究活動(dòng).③解決問(wèn)題.教師引導(dǎo)學(xué)生實(shí)地解決問(wèn)題.最后是認(rèn)知升華階段.教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題解決的全過(guò)程進(jìn)行總結(jié)分析提煉,形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).再者可以構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,嘗試模型應(yīng)用.在數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用的過(guò)程中,學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象的能力不斷得到提升.最后基于深度學(xué)習(xí),感悟數(shù)學(xué)思想.

    綜上所述,在本課的教學(xué)設(shè)計(jì)中,以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形成過(guò)程為核心,引導(dǎo)學(xué)生在推導(dǎo)過(guò)程中不斷深化數(shù)學(xué)思想,并真正具備數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),能夠在潛移默化中建立數(shù)學(xué)眼光與抽象認(rèn)知,達(dá)到高效教學(xué)的目的.

    參考文獻(xiàn):

    [1]吳萍萍.基于數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”視角下的命題研究——雙曲線的“四心問(wèn)題”原創(chuàng)題為例[J].考試與評(píng)價(jià),2020(12):92.

    [2]姜相宇,張維忠.利用支架式教學(xué)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)——以“雙曲線定義與標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2019(02):32-34+54.

    [3]劉紅艷.“雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)設(shè)計(jì)[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2018(22):25-28.

    [4]郭元祥.知識(shí)的性質(zhì),結(jié)構(gòu)與深度教學(xué)[J].課程·教材·教法,2009,29(11):17-23.

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