分?jǐn)?shù)槽永磁電機(jī)永磁體諧波渦流損耗建模與分析

陳湞斐 邢 寧 馬宏忠 李志新 章黃勇

分?jǐn)?shù)槽永磁電機(jī)永磁體諧波渦流損耗建模與分析

陳湞斐1邢 寧1馬宏忠1李志新2章黃勇1

（1. 河海大學(xué)能源與電氣學(xué)院 南京 211100 2. 國網(wǎng)江蘇省電力有限公司營銷服務(wù)中心 南京 210019）

準(zhǔn)確求解分?jǐn)?shù)槽永磁電機(jī)電樞磁場下的永磁體渦流損耗解析解，探究諧波渦流損耗隨繞組結(jié)構(gòu)的變化規(guī)律是改進(jìn)繞組結(jié)構(gòu)抑制渦流損耗的關(guān)鍵。針對此問題，該文提出四層繞組電流密度建模方法，實(shí)現(xiàn)對三相/雙三相、雙層/四層繞組結(jié)構(gòu)的建模?；诂F(xiàn)有的子域模型，將四層繞組結(jié)構(gòu)的槽身區(qū)域劃分為上層繞組和下層繞組區(qū)域，增加上層繞組與下層繞組交界處的邊界條件，確定各子域磁場的諧波系數(shù)。通過設(shè)計(jì)瞬態(tài)電樞磁場求解程序，建立渦流損耗解析模型。以四臺(tái)僅繞組結(jié)構(gòu)不同的10極12槽永磁電機(jī)為例，利用有限元仿真驗(yàn)證了損耗模型的精確性?；谠摀p耗模型，探究了諧波渦流損耗隨繞組相數(shù)和層數(shù)的變化規(guī)律，并使用磁動(dòng)勢從機(jī)理上分析該規(guī)律，為改進(jìn)繞組結(jié)構(gòu)抑制渦流損耗的研究方向提供一些思路。

分?jǐn)?shù)槽永磁電機(jī) 電樞磁場 永磁體渦流損耗 諧波渦流損耗 雙三相繞組 四層繞組

0 引言

分?jǐn)?shù)槽永磁電機(jī)具有繞組端部短、槽利用率高、齒槽轉(zhuǎn)矩低、容錯(cuò)能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，近年來在風(fēng)力發(fā)電與電動(dòng)汽車等領(lǐng)域受到高度關(guān)注[1-2]。然而，分?jǐn)?shù)槽永磁電機(jī)的電樞磁場中含有高幅值的空間諧波分量，其旋轉(zhuǎn)速度與轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)速度不同。當(dāng)永磁電機(jī)高速運(yùn)行時(shí)，諧波磁場會(huì)在永磁體中感應(yīng)出較大的渦流損耗，使得永磁電機(jī)的轉(zhuǎn)子發(fā)熱、效率降低，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)?dǎo)致永磁體退磁，損壞永磁電機(jī)[3-4]。

針對該問題，研究人員提出了多種解決辦法，如使用不等匝繞組[5]、在定子軛部設(shè)置隔磁橋[6]，但這兩種方法會(huì)使電機(jī)的制造工藝變得復(fù)雜。除了上述方法，一些文獻(xiàn)還通過改進(jìn)分?jǐn)?shù)槽繞組的相數(shù)和層數(shù)在抑制諧波磁場上取得了理想的效果。文獻(xiàn)[7-8]使用雙三相繞組抑制了10極12槽永磁電機(jī)電樞磁場中的1次諧波。文獻(xiàn)[9-10]提出了一種四層繞組設(shè)計(jì)方法，且以兩臺(tái)8極9槽和10極12槽永磁電機(jī)為例進(jìn)行有限元仿真和實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明四層繞組結(jié)構(gòu)可抑制轉(zhuǎn)子渦流損耗。

然而，雙三相繞組和四層繞組結(jié)構(gòu)的分?jǐn)?shù)槽永磁電機(jī)永磁體渦流損耗的計(jì)算多采用有限元法，其仿真結(jié)果無法直接反映渦流損耗與電樞磁場諧波分量的映射關(guān)系，使改進(jìn)繞組結(jié)構(gòu)抑制渦流損耗的研究方向面臨難題。為此，本文將建立分?jǐn)?shù)槽永磁電機(jī)的永磁體諧波渦流損耗解析模型，探究電樞磁場空間諧波造成的諧波渦流損耗隨繞組相數(shù)和層數(shù)的變化規(guī)律。

目前，現(xiàn)有文獻(xiàn)主要通過推導(dǎo)標(biāo)量或矢量磁位函數(shù)的Laplace/Poisson偏微分方程組求解分?jǐn)?shù)槽永磁電機(jī)永磁體渦流損耗解析解[11-18]。根據(jù)是否考慮定子開槽因素，該解析方法可大致分為以下兩類：第一類方法是不考慮定子開槽影響，如將電樞繞組等效為分布在定子槽口的電流片，利用轉(zhuǎn)子鐵心外半徑和定子鐵心內(nèi)半徑處的邊界條件，求解永磁體區(qū)域的矢量磁位函數(shù)，進(jìn)而求解永磁體渦流損耗解析解。文獻(xiàn)[19-21]分別使用該方法探究了兩臺(tái)42極36槽和10極12槽永磁電機(jī)永磁體周向分段數(shù)對空間諧波渦流損耗的影響，對比了兩臺(tái)單層和雙層繞組結(jié)構(gòu)的10極12槽永磁電機(jī)永磁體空間諧波渦流損耗，求解了10極12槽永磁電機(jī)永磁體分段時(shí)渦流損耗的分布，并用有限元仿真對其進(jìn)行驗(yàn)證。第一類解析方法雖然建模過程較簡單，但是忽略了定子開槽因素，而且需通過定子繞組的繞組因數(shù)求解等效電流片的電流密度，不便于比較不同繞組結(jié)構(gòu)電機(jī)的永磁體渦流損耗。

第二類方法則是考慮定子開槽影響，該方法將電機(jī)整個(gè)二維面域劃分為不同子域，利用各子域交界處的邊界條件，推導(dǎo)出永磁體內(nèi)的標(biāo)量或矢量磁位函數(shù)，求解永磁體渦流損耗。文獻(xiàn)[22]基于標(biāo)量磁位的子域模型分析了三臺(tái)不同極、槽組合的分?jǐn)?shù)槽永磁電機(jī)空載永磁體渦流損耗。文獻(xiàn)[23-24]分別基于矢量磁位的子域模型求解了8極12槽分?jǐn)?shù)槽永磁電機(jī)、2極18槽整數(shù)槽永磁電機(jī)電樞磁場下的永磁體諧波渦流損耗。相比于第一類方法，第二類方法考慮了定子開槽和定子槽之間的相互影響，且便于對比分析不同繞組結(jié)構(gòu)電機(jī)的永磁體渦流損耗。然而，現(xiàn)階段基于子域模型方法求解永磁體渦流損耗的研究僅針對三相繞組和雙層繞組結(jié)構(gòu)電機(jī)，還未涉及到雙三相繞組和四層繞組結(jié)構(gòu)電機(jī)。

因此，為了求解雙三相繞組和四層繞組結(jié)構(gòu)的分?jǐn)?shù)槽永磁電機(jī)電樞磁場下的永磁體渦流損耗，首先，本文提出一種四層繞組電流密度建模方法，將四層繞組的槽身區(qū)域劃分為上層繞組區(qū)域和下層繞組區(qū)域，與永磁體、氣隙及定子槽口一起構(gòu)成研究區(qū)域。然后，本文建立各子域矢量磁位函數(shù)，增加上層繞組與下層繞組交界處的邊界條件，確定各子域磁場的諧波系數(shù)。接著，本文通過設(shè)計(jì)瞬態(tài)電樞磁場的計(jì)算程序，求解永磁體內(nèi)的渦流密度分布，建立永磁體渦流損耗解析模型。最后，本文利用有限元軟件對四臺(tái)分別采用三相雙層、雙三相雙層、三相四層及雙三相四層繞組結(jié)構(gòu)的10極12槽永磁電機(jī)進(jìn)行仿真，通過對比四臺(tái)電機(jī)的渦流損耗解析解和有限元仿真結(jié)果驗(yàn)證損耗模型的精確性?；谠摀p耗模型，本文探究了空間諧波渦流損耗隨繞組相數(shù)和層數(shù)的變化規(guī)律，并使用磁動(dòng)勢從機(jī)理上分析該規(guī)律。

1 電樞磁場建模

為了實(shí)現(xiàn)對四層繞組結(jié)構(gòu)電機(jī)的建模，本文將四層繞組的槽身區(qū)域劃分為上層繞組區(qū)域和下層繞組區(qū)域，其子域模型如圖1所示。

圖1 四層繞組分?jǐn)?shù)槽表貼式永磁電機(jī)子域模型

圖1中，區(qū)域1為永磁體，區(qū)域2為氣隙，區(qū)域3t和區(qū)域3b分別為第個(gè)槽身的上層繞組和下層繞組，區(qū)域4為第個(gè)槽口；r、m、s分別為轉(zhuǎn)子鐵心外半徑、永磁體外半徑、定子鐵心內(nèi)半徑；t、sb分別為槽身內(nèi)、外半徑；sm為上層繞組和下層繞組交界處的半徑；bs、bo分別為槽身寬、槽口寬對應(yīng)的圓心角；為第個(gè)槽身的中心位置；1、2和3、4分別為第個(gè)槽身的上層繞組和下層繞組區(qū)域的電流密度；r為轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度；0為轉(zhuǎn)子初始位置角，0=0°記為N磁極中心與水平軸線重合。記電機(jī)極對數(shù)為，定子槽數(shù)為。

為便于分析，本文對該電機(jī)模型做如下假設(shè)：忽略電機(jī)端部效應(yīng)；忽略繞組趨膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng)；忽略定子鐵心和轉(zhuǎn)子鐵心飽和，即鐵心相對磁導(dǎo)率為無窮大；忽略定子鐵心和轉(zhuǎn)子鐵心的渦流，即鐵心電導(dǎo)率為0；永磁體內(nèi)的渦流均勻分布。

1.1 四層繞組電流密度分布

四層繞組電流密度分布如圖1所示。上層繞組和下層繞組區(qū)域的電流密度1、2和3、4的分布如圖2所示。

上層繞組區(qū)域即當(dāng)t≤＜sm時(shí)，電流密度t的表達(dá)式為

圖2 四層繞組電流密度分布

下層繞組區(qū)域即當(dāng)sm≤≤sb時(shí)，電流密度b的表達(dá)式為

電流密度1、2和3、4滿足

式中，為第個(gè)槽內(nèi)層線圈的電流；c為每層線圈串聯(lián)匝數(shù)。

針對同一極、槽組合的電機(jī)，繞組相數(shù)和層數(shù)的不同主要體現(xiàn)在1、2和3、4分布的不同。為三相電流分布時(shí)，可視為三相繞組；為兩組相位相差30°的三相電流分布時(shí)，可視為雙三相繞組。1=3且2=4時(shí)，可視為雙層繞組；1≠3或2≠4時(shí)，可視為四層繞組。

將t和b展開為傅里葉級數(shù)，有

其中

式中，為電流密度分布的空間諧波階數(shù)；t0、tn和b0、bn分別為t和b傅里葉級數(shù)中的系數(shù)，其表達(dá)式見附錄式（A1）和式（A2）。

1.2 各子域矢量磁位函數(shù)

為求解電機(jī)電樞磁場下的永磁體渦流損耗，電機(jī)內(nèi)磁場僅由電樞電流建立，不考慮永磁體勵(lì)磁作用。在二維極坐標(biāo)系下，矢量磁位、電流密度僅有軸分量。

因此，在永磁體區(qū)域內(nèi)即r≤＜m、0≤≤2p，矢量磁位軸分量A1[23]滿足

其中

式中，為永磁體磁場的空間諧波階數(shù)；1k、1k為磁場的諧波系數(shù)。

在氣隙區(qū)域內(nèi)即m≤≤s、0≤≤2p，矢量磁位軸分量A2滿足

式中，2k、2k、2k及2k為氣隙磁場的諧波系數(shù)。

在上層繞組區(qū)域內(nèi)即t≤＜sm、-bs/2≤≤+bs/2，矢量磁位軸分量A3it滿足

式中，3it0和3itn、3itn分別為磁場的常系數(shù)、諧波系數(shù)。

在下層繞組區(qū)域內(nèi)即sm≤≤sb、-bs/2≤≤+bs/2，矢量磁位軸分量A3ib滿足

其中

式中，3ibn為下層繞組區(qū)域磁場的諧波系數(shù)。

在定子槽口區(qū)域內(nèi)即s≤＜t、-bo/2≤≤+bo/2，矢量磁位軸分量A4i滿足

其中

式中，為槽口磁場的空間諧波階數(shù)；4i0和4im、4im為磁場的常系數(shù)、諧波系數(shù)。

1.3 邊界條件

各區(qū)域中磁通密度的徑向分量r和切向分量a與矢量磁位軸分量A滿足

為確定式（7）、式（10）～式（12）、式（14）中矢量磁位函數(shù)中的諧波系數(shù)，施加如下的邊界條件。

永磁體與氣隙交界面即=m處，滿足

上層繞組區(qū)域與下層繞組區(qū)域交界面即=sm處，滿足

槽口與上層繞組區(qū)域交界面即=t處，滿足

槽口與氣隙交界面即=s處，滿足

式中，a為切向磁場強(qiáng)度，下角標(biāo)1、2、3t、3b及4表示相應(yīng)的區(qū)域。

由式（17）～式（20）可得關(guān)于各區(qū)域磁場諧波系數(shù)的方程組，通過求解該方程組確定各諧波系數(shù)，實(shí)現(xiàn)電機(jī)電樞磁場的求解。具體的求解過程見附錄式（A3）～式（A32）。

1.4 氣隙磁通密度

結(jié)合式（10）和式（16），氣隙磁通密度中2r和2a可計(jì)算為

2 永磁體諧波渦流損耗建模

式（1）、式（2）中電流密度t、b與式（7）、式（10）～式（12）、式（14）中矢量磁位軸分量A1、A2、A3it、A3ib、A4i僅是關(guān)于半徑和空間角的函數(shù)，所求得的是某一時(shí)刻下電樞電流產(chǎn)生的磁場，即靜磁場。然而永磁體渦流損耗是基于瞬態(tài)磁場計(jì)算的，即瞬時(shí)功率經(jīng)過轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)周期積分后的平均值。因此，本節(jié)首先設(shè)計(jì)瞬態(tài)電樞磁場求解程序，其流程如圖3所示，圖中，max為永磁體磁場的最大空間諧波階數(shù)。

圖3 瞬態(tài)電樞磁場計(jì)算流程

將式（23）、式（24）代入式（7）中，并利用三角函數(shù)積化和差、和差化積公式對其變換，可得永磁體瞬態(tài)磁場的表達(dá)式為

其中

式中，j為虛數(shù)單位。

又由=r+r，r為轉(zhuǎn)子空間角，則永磁體矢量磁位函數(shù)在轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系下的表達(dá)式為

永磁體內(nèi)部渦流密度e的表達(dá)式為

由于永磁體表面的絕緣材料，()是為了保證每塊永磁體的總電流為0，有

式中，為永磁體電導(dǎo)率；1、2為永磁體兩邊的周向位置；m為永磁體的極弧，m=2-q1。

則永磁體在一個(gè)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)周期的平均渦流損耗ave表達(dá)式為

其中

式中，a為電機(jī)的軸向長度。

電樞磁場階空間諧波造成的諧波渦流損耗可計(jì)算為

3 有限元驗(yàn)證與分析

為驗(yàn)證永磁體諧波渦流損耗模型的精確性，本節(jié)以四臺(tái)分別采用三相雙層、雙三相雙層、三相四層及雙三相四層的10極12槽永磁電機(jī)為例，將解析模型計(jì)算的永磁體渦流損耗與有限元軟件計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比。解析模型中，永磁體、氣隙磁場的最大空間諧波階數(shù)max設(shè)置為60，上層繞組、下層繞組區(qū)域磁場的最大空間諧波階數(shù)max設(shè)置為25，槽口磁場的最大空間諧波階數(shù)max設(shè)置為25。永磁體磁場的最大時(shí)間諧波階數(shù)max設(shè)置為60。

為便于對比分析，四臺(tái)電機(jī)的定子鐵心、轉(zhuǎn)子鐵心及永磁體參數(shù)全部相同，每槽導(dǎo)體數(shù)和槽身面積相同，定子槽內(nèi)的額定電流密度設(shè)計(jì)為12.66A/mm2。四臺(tái)電機(jī)的基本參數(shù)見表1，繞組參數(shù)見表2。為確保四臺(tái)電機(jī)的每槽導(dǎo)體數(shù)相同，雙層繞組結(jié)構(gòu)中每層導(dǎo)體數(shù)為96，四層繞組結(jié)構(gòu)中每層導(dǎo)體數(shù)為48。

四臺(tái)電機(jī)的繞組結(jié)構(gòu)分布如圖4所示，圖中，A～C和X～Z表示繞組相序，符號(hào)+、-表示繞組的繞向。雙三相繞組結(jié)構(gòu)是將三相繞組結(jié)構(gòu)A相中相鄰線圈分為兩個(gè)獨(dú)立的、機(jī)械角相差30°的A相和X相，B相、C相也是按照相同的規(guī)律劃分為B相和Y相、C相和Z相，通過兩組相位相差30°的三相電流供電。四層繞組結(jié)構(gòu)中，下層繞組通過上層繞組逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°得到。

表1 四臺(tái)電機(jī)的基本參數(shù)

Tab.1 Basic parameters of the four machines

表2 四臺(tái)電機(jī)的繞組參數(shù)

Tab.2 Winding parameters of the four machines

圖4 四臺(tái)電機(jī)的繞組結(jié)構(gòu)

由式（3）可知，=0ms時(shí)四臺(tái)電機(jī)的電流密度分布如圖5所示。

圖5 t =0ms時(shí)四臺(tái)電機(jī)的電流密度分布

此時(shí)，繞組Ⅱ、繞組Ⅳ的4號(hào)和10號(hào)槽的電流密度為5.91A/mm2；瞬態(tài)電流密度的計(jì)算如圖3所示，確定求解時(shí)刻后，計(jì)算該時(shí)刻的電流分布，進(jìn)而計(jì)算電流密度分布。

電樞磁場分布由繞組的電流密度分布決定，圖6為=0ms時(shí)四臺(tái)電機(jī)的電樞磁場分布。表3為定子軛、定子齒、齒尖及永磁體的電樞磁通密度。

由圖6和表3可知，由于四臺(tái)電機(jī)電流密度分布的不同，其電樞磁場分布有所不同，但定子軛、定子齒、齒尖及永磁體的磁通密度一致，表明四臺(tái)電機(jī)定子和永磁體的磁化程度相同；由于齒尖的面積小，磁力線分布密集，出現(xiàn)了輕微的磁飽和現(xiàn)象，但定子軛和定子齒部位的磁力線分布均勻且稀疏，說明忽略鐵心飽和是合理的；由于大部分磁力線均是徑向穿過永磁體，只有少量磁力線聚集在靠近槽口的永磁體表面，說明假設(shè)渦流在永磁體內(nèi)分布均勻，采用積分法求解渦流損耗是合理的。

表3 各部件電樞磁通密度

Tab.3 Armature flux density of the four parts（單位: T）

3.1 磁通密度和渦流損耗驗(yàn)證

由式（21）和式（22）可知，四臺(tái)電機(jī)在電樞磁場下氣隙磁通密度的解析解和有限元計(jì)算結(jié)果如圖7所示。

由圖7可知，四臺(tái)電機(jī)氣隙磁通密度的解析解均與有限元計(jì)算結(jié)果一致，驗(yàn)證了磁場計(jì)算的準(zhǔn)確性。由圖6可知，磁力線總是均勻且徑向穿過靠近定子齒的氣隙，而呈橢圓狀穿過靠近槽口的氣隙，所以氣隙磁通密度的徑向分量在定子齒處近似為常值、在槽口處出現(xiàn)尖峰，切向分量在定子齒處近似為0、在槽口處出現(xiàn)尖峰；機(jī)械角度0°～180°范圍內(nèi)的氣隙共包含6個(gè)定子槽，所以氣隙磁通密度共存在6處尖峰，體現(xiàn)了該磁場模型能夠考慮齒槽效應(yīng)。

由式（33）可知，當(dāng)電機(jī)由額定電流供電時(shí)，四臺(tái)電機(jī)在電樞磁場下的永磁體渦流損耗隨轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律如圖8所示。當(dāng)電機(jī)運(yùn)行在額定轉(zhuǎn)速時(shí)，渦流損耗隨電樞電流的變化規(guī)律如圖9所示。

圖8 電流為13A時(shí)永磁體渦流損耗隨轉(zhuǎn)速的變化曲線

圖9 轉(zhuǎn)速為1 500r/min時(shí)永磁體渦流損耗隨電樞電流的變化曲線

由圖8和圖9可知，渦流損耗的解析計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果的吻合程度較好，最大誤差僅有2.5%，驗(yàn)證了損耗模型的精確性；在四種繞組結(jié)構(gòu)中，三相四層繞組電樞磁場諧波分量造成的渦流損耗最小，三相雙層繞組最大。

3.2 三相雙層繞組諧波渦流損耗分析

本文所提出的諧波渦流損耗模型，除了可以得到電機(jī)總的渦流損耗，還可以得到各次空間諧波磁場分別產(chǎn)生的渦流損耗大小，如式（40）所示。因而，可深入分析空間諧波渦流損耗隨繞組相數(shù)和層數(shù)的變化規(guī)律。表4為四臺(tái)電機(jī)運(yùn)行在額定轉(zhuǎn)速、額定電流時(shí)的空間諧波渦流損耗分布。

由表4可知，對于三相雙層10極12槽繞組而言，1次、7次、17次、19次諧波渦流損耗比重大，分別占總損耗的8.8%、79.8%、2.2%、5.7%；偶數(shù)與3的整數(shù)倍階次諧波渦流損耗為0。磁動(dòng)勢理論可從機(jī)理上解釋該分布規(guī)律，三相雙層10極12槽繞組的階諧波磁動(dòng)勢分布如圖10所示。圖中，A1k～-A4k、B1k～-B4k、C1k～-C4k分別表示A相、B相、C相的線圈磁動(dòng)勢矢量，其正負(fù)與線圈的繞向相關(guān)。

表4 額定轉(zhuǎn)速、額定電流下空間諧波渦流損耗分布

Tab.4 Space harmonic eddy-current loss distribution at 1 500r/min and 13A

圖10 三相雙層繞組k階諧波磁動(dòng)勢分布

當(dāng)為偶數(shù)階次時(shí)，A1k與-A3k、A2k與-A4k的夾角為0°，A相合成磁動(dòng)勢為0，電樞磁場中不存在偶數(shù)階次空間諧波；當(dāng)為3的整數(shù)倍階次時(shí)，A、B、C三相合成磁動(dòng)勢為0，電樞磁場中不存在3的整數(shù)倍階次空間諧波。所以偶數(shù)與3的整數(shù)倍階次諧波渦流損耗為0。

那么，電樞磁場次諧波（階次小于轉(zhuǎn)子永磁體極對數(shù)）中僅有1次諧波分量，因其階次低、幅值高，所以1次諧波渦流損耗占比大。電樞磁場超諧波（階次大于永磁體極對數(shù)）中有7, 11,…, 6±1（=2, 3, 4,…）次諧波，其中7, 17,…, 12±5（=1, 2, 3,…）次諧波磁動(dòng)勢分布與5次基波相同，其分布系數(shù)相同，所以7, 17, 19次諧波幅值高、渦流損耗占比大。

3.3 相數(shù)對諧波渦流損耗的影響分析

相比于三相雙層繞組，雙三相雙層繞組1, 11, 13, 23次諧波渦流損耗減小為0；7, 17, 19, 29, 31次諧波渦流損耗增大7.2%，諧波渦流損耗的下降幅度高于升高幅度，所以總的渦流損耗減小。相比于三相四層繞組，雙三相四層繞組的諧波渦流損耗也呈現(xiàn)出相同的規(guī)律。但由于三相四層繞組的1次諧波渦流損耗較低，雙三相四層繞組的諧波渦流損耗下降幅度低于升高幅度，所以總的渦流損耗增大。

當(dāng)繞組相數(shù)由三相變?yōu)殡p三相時(shí)，A相、X相階諧波磁動(dòng)勢分布如圖11所示。

圖11 雙三相雙層繞組A相與X相k階諧波磁動(dòng)勢分布

由圖11可知，當(dāng)為1, 11,…, 12±1（=1, 2, 3,…）階次諧波時(shí)，A1k與X1k、-A2k與-X2k的夾角由150°變?yōu)?80°、相互抵消，A相與X相合成磁動(dòng)勢為0，所以諧波渦流損耗為0；當(dāng)為7, 17,…, 12±5（=1, 2, 3,…）階次諧波時(shí)，A1k與X1k、-A2k與-X2k的夾角由30°變?yōu)?°，合成磁動(dòng)勢的分布系數(shù)增大3.4%，諧波渦流損耗增大7.2%。

3.4 層數(shù)對諧波渦流損耗的影響分析

相比于三相雙層繞組，三相四層繞組1次諧波渦流損耗減小93.3%，7, 17, 19, 29, 31次諧波渦流損耗減小6.7%，所以總的渦流損耗減小。相比于雙三相雙層繞組，雙三相四層繞組7, 17, 19, 29, 31次諧波渦流損耗同樣減小6.7%，總的渦流損耗減小。

當(dāng)繞組層數(shù)由雙層變?yōu)樗膶訒r(shí)，A相階諧波磁動(dòng)勢分布如圖12所示，t1k、t2k、-t3k、-t4k表示上層繞組的線圈磁動(dòng)勢矢量，b1k、b2k、-b3k、-b4k表示下層繞組的線圈磁動(dòng)勢矢量。需要說明的是，由于磁動(dòng)勢矢量幅值與線圈匝數(shù)呈正相關(guān)，四層繞組每層導(dǎo)體數(shù)是雙層繞組的1/2，所以四層繞組線圈磁動(dòng)勢矢量的幅值是雙層繞組的1/2。

圖12 三相四層繞組A相k階諧波磁動(dòng)勢分布

由圖12可知，當(dāng)為1, 11,…, 12±1（=1, 2, 3,…）次諧波時(shí)，三相四層繞組A相合成磁動(dòng)勢的分布系數(shù)相比于雙層繞組下降74.1%，1次諧波渦流損耗減小93.3%；當(dāng)為7, 17,…, 12±5（=1, 2, 3,…）次諧波時(shí)，A相合成磁動(dòng)勢的分布系數(shù)相比于雙層繞組下降3.4%，諧波渦流損耗減小6.7%。

相比于三相雙層繞組，雙三相四層繞組1, 11, 13, 23次諧波渦流損耗下降為0。由于雙三相繞組抵消了四層繞組給7, 17,…, 12±5（=1, 2, 3,…）次諧波帶來的分布系數(shù)減小的作用，所以7, 17, 19, 29, 31次諧波渦流損耗沒有變化。

4 結(jié)論

本文提出了一種四層繞組分?jǐn)?shù)槽永磁電機(jī)電流密度的建模方法，建立了永磁體諧波渦流損耗解析模型，能夠用于求解三相/雙三相、雙層/四層繞組電機(jī)電樞磁場下的永磁體渦流損耗。以四臺(tái)分別采用三相雙層、雙三相雙層、三相四層及雙三相四層繞組結(jié)構(gòu)的10極12槽永磁電機(jī)為例，進(jìn)一步探究了諧波渦流損耗隨繞組相數(shù)和層數(shù)的變化規(guī)律，并使用繞組的磁動(dòng)勢從機(jī)理上分析該規(guī)律。研究表明，本文所提出的永磁體諧波渦流損耗模型準(zhǔn)確度高，與有限元計(jì)算結(jié)果的最大誤差僅有2.5%。三相雙層10極12槽永磁電機(jī)的7次諧波渦流損耗占比最大，1次諧波渦流損耗次之。當(dāng)繞組相數(shù)由三相變?yōu)殡p三相時(shí)，1, 11,…, 12±1（=1, 2, 3,…）階次諧波渦流損耗減小為0；當(dāng)繞組層數(shù)由雙層變?yōu)樗膶訒r(shí)，1次諧波渦流損耗減小93.3%，雙三相繞組、四層繞組抑制1次諧波渦流損耗的效果顯著。若想取得更為理想的永磁體渦流損耗抑制效果，未來改進(jìn)繞組的研究應(yīng)關(guān)注電樞磁場7次諧波的抑制。

附錄 諧波系數(shù)求解

1. 電樞繞組電流密度傅里葉級數(shù)

上層繞組電流密度t傅里葉級數(shù)中t0、tn的表達(dá)式為

下層繞組電流密度b傅里葉級數(shù)中b0、bn的表達(dá)式為

2. 矢量磁位諧波系數(shù)的求解

在永磁體與氣隙交界面即=m處，由式（17）中徑向磁通密度連續(xù)可得

其中

由式（17）中切向磁場強(qiáng)度連續(xù)，可得

式中，r為永磁體相對磁導(dǎo)率。

在上層繞組區(qū)域與下層繞組區(qū)域交界面即=sm處，由式（18）中徑向磁通密度連續(xù)可得

由式（18）中切向磁場強(qiáng)度連續(xù)可得

聯(lián)立式（A6）、式（A7）可解得3itn、3itn的表達(dá)式為

在槽口與上層繞組區(qū)域交界面即=t處，由式（19）中切向磁場強(qiáng)度連續(xù)，可得

其中

聯(lián)立式（A11）、式（A13）～式（A15）可解得

由式（19）中矢量磁位連續(xù)可得

其中

在槽口與氣隙交界面即=s處，由式（20）中切向磁場強(qiáng)度連續(xù)可得

其中

由式（20）中矢量磁位連續(xù)可得

其中

聯(lián)立式（A3）、式（A5）、式（A12）、式（A21）、式（A24）及式（A31），可解得永磁體、氣隙、上層繞組、下層繞組及槽口區(qū)域矢量磁位的諧波系數(shù)。

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Analytical Modeling and Analysis of Magnet Harmonic Loss in Fractional Slot Permanent-Magnet Machines

11121

（1. College of Energy and Electrical Engineering Hohai University Nanjing 211100 China 2. Marketing Service Center State Grid Jiangsu Electric Power Co. Ltd Nanjing 210019 China）

The key to optimize winding layouts and reduce magnet eddy-current loss of fractional slot permanent-magnet machines is to calculate the loss under armature magnetic field and investigate the variation of harmonic loss with winding layouts. To solve this problem, this paper proposes a current density modeling method of four-layer winding to realize the modeling of three- phase/dual-three-phase, double-layer/four-layer windings. Based on the subdomain model, the slot area of four-layer winding is further divided into the top-layer winding part and the bottom-layer winding part, the boundary condition between the two winding parts is added, and the harmonic coefficients of each subdomain are determined. The analytical model of eddy-current loss is established by solving the transient armature magnetic field. Four 10-pole/12-slot machines with different windings are taken as examples to validate the proposed model by finite element simulation. Based on the proposed model, the variation of harmonic eddy-current loss with the number of winding phases and layers is summarized and analyzed by magnetomotive force, which provides some ideas for optimizing the winding configurations to reduce eddy-current loss.

Fractional slot permanent-magnet machine, armature magnetic field, magnet eddy- current loss, harmonic eddy-current loss, dual three-phase winding, four-layer winding

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.210112

TM341

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51907052）、中國博士后科學(xué)基金項(xiàng)目（2017M621606）和江蘇省博士后科研項(xiàng)目（2016-416109）資助。

2021-01-21

2021-03-25

陳湞斐 女，1987年生，副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)橛来烹姍C(jī)設(shè)計(jì)與電磁分析、電力設(shè)備故障診斷。E-mail: chenzhenfei@hhu.edu.cn（通信作者）

邢 寧 男，1997年生，碩士研究生，研究方向?yàn)橛来烹姍C(jī)電磁分析。E-mail: 1292983488@qq.com

（編輯 崔文靜）