不均勻氣隙表貼式永磁同步電機(jī)磁場(chǎng)解析計(jì)算

趙士豪 陳進(jìn)華 張 馳 李 爭(zhēng) 孟玉龍

不均勻氣隙表貼式永磁同步電機(jī)磁場(chǎng)解析計(jì)算

趙士豪1,2陳進(jìn)華2張 馳2李 爭(zhēng)1孟玉龍1,2

（1. 河北科技大學(xué)電氣工程學(xué)院 石家莊 050018 2. 中國(guó)科學(xué)院寧波材料技術(shù)與工程研究所 浙江省機(jī)器人與智能制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 寧波 315201）

工業(yè)機(jī)器人與數(shù)控機(jī)床用永磁同步電機(jī)設(shè)計(jì)過(guò)程中為追求反電動(dòng)勢(shì)的正弦性和低轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，常采用面包型或偏心削極的不均勻氣隙結(jié)構(gòu)，該文基于微分原理對(duì)不均勻氣隙結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)子磁極進(jìn)行徑向等極弧分段，在二維極坐標(biāo)下將電機(jī)結(jié)構(gòu)劃分為永磁體、氣隙、槽開(kāi)口和定子槽四個(gè)精確子域的解析模型，并建立泊松方程和拉普拉斯方程，通過(guò)分離變量法與傅里葉級(jí)數(shù)法求解偏微分方程，通過(guò)邊界條件對(duì)各子域諧波系數(shù)求解以得到各分段磁極磁場(chǎng)分布，然后基于積分原理對(duì)其等效疊加得到電機(jī)二維磁場(chǎng)分布結(jié)果。該解析方法同時(shí)考慮到瓦片型、偏心式與面包型磁極轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，可以計(jì)算任意單元數(shù)電機(jī)的空載、電樞及負(fù)載的磁場(chǎng)特性，并在此基礎(chǔ)上計(jì)算轉(zhuǎn)矩和空載反電動(dòng)勢(shì)特性。通過(guò)樣機(jī)測(cè)試結(jié)果和有限元仿真結(jié)果與解析結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證解析方法的準(zhǔn)確性，能夠快速指導(dǎo)電機(jī)設(shè)計(jì)。

永磁同步電機(jī) 子域解析法 不均勻氣隙 等極弧分段 磁場(chǎng)性能

0 引言

永磁電機(jī)憑借其高轉(zhuǎn)矩密度、高效率等優(yōu)勢(shì)逐漸在工業(yè)機(jī)器人與數(shù)控機(jī)床場(chǎng)合廣泛應(yīng)用，其氣隙磁通密度及反電動(dòng)勢(shì)（Electromagnetic Force, EMF）波形對(duì)電機(jī)性能和效率的影響很大，因此正確而快速有效地分析電機(jī)磁場(chǎng)性能是電機(jī)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。精確子域解析法作為準(zhǔn)確高效分析電機(jī)電磁場(chǎng)的方法近年來(lái)被國(guó)內(nèi)外學(xué)者廣泛運(yùn)用，其中Zhu Ziqiang和Wu Lijian等分別提出了表貼式精確子域模型[1]和改進(jìn)模型[2]解析方法，A. Rahideh等提出無(wú)槽和開(kāi)槽內(nèi)外轉(zhuǎn)子的磁鋼表面插入式，以及交替極結(jié)構(gòu)的二維磁場(chǎng)解析方法[3-6]，T. Lubin等提出表貼式和表面插入式半閉口槽結(jié)構(gòu)精確子域解析法[7-8]，國(guó)內(nèi)亦有眾多學(xué)者以精確子域法對(duì)不同結(jié)構(gòu)電機(jī)進(jìn)行磁場(chǎng)計(jì)算分析[9-12]。但上述文獻(xiàn)都是以氣隙均勻的瓦片型磁鋼結(jié)構(gòu)進(jìn)行子域解析計(jì)算。

工業(yè)機(jī)器人與數(shù)控機(jī)床驅(qū)動(dòng)電機(jī)對(duì)反電動(dòng)勢(shì)正弦度和低轉(zhuǎn)矩波動(dòng)性能要求較高，面包型或偏心削極結(jié)構(gòu)等特殊磁鋼形狀引起不均勻氣隙的表貼式永磁同步電機(jī)成為研究的熱點(diǎn)[13-19]。文獻(xiàn)[13]提出多邊形轉(zhuǎn)子軛結(jié)構(gòu)的空載磁場(chǎng)解析模型，對(duì)空載磁通密度與磁通密度諧波進(jìn)行分析；文獻(xiàn)[14]利用卡特系數(shù)考慮定子開(kāi)槽影響，推導(dǎo)出負(fù)載下偏心磁極徑向磁通密度解析模型，以偏心距和極弧系數(shù)對(duì)磁通密度波形進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，并通過(guò)樣機(jī)測(cè)試結(jié)果對(duì)解析和有限元結(jié)果驗(yàn)證；文獻(xiàn)[15]提出兩種凸極不等厚磁極形狀的直口槽結(jié)構(gòu)精確子域解析模型，并分析磁極尺寸變化對(duì)電機(jī)性能的影響；文獻(xiàn)[16-17]都以等效面電流法對(duì)偏心磁極結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，分析空載氣隙磁通密度情況；文獻(xiàn)[18-19]將磁極分段等效，分別對(duì)無(wú)槽結(jié)構(gòu)磁場(chǎng)和電機(jī)空載磁通密度的優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行分析。上述文獻(xiàn)以不同磁場(chǎng)解析方法對(duì)單一特殊磁鋼形狀永磁電機(jī)進(jìn)行建模和磁場(chǎng)解析計(jì)算，未能統(tǒng)一考慮面包型和偏心削極結(jié)構(gòu)等特殊磁鋼形狀引起不均勻氣隙的表貼式永磁同步電機(jī)準(zhǔn)確磁場(chǎng)解析計(jì)算。

本文以完全子域解析法對(duì)不均勻氣隙結(jié)構(gòu)表貼式永磁同步電機(jī)進(jìn)行建模，通過(guò)引入矢量磁位，建立永磁體、氣隙、槽開(kāi)口、定子槽四個(gè)子域解析模型，根據(jù)微分原理對(duì)不均勻氣隙結(jié)構(gòu)的永磁體等效劃分為極弧均等但半徑不同的若干段磁極，利用傅里葉級(jí)數(shù)法、分離變量法求解分段磁極磁場(chǎng)分布，依據(jù)積分原理對(duì)各段磁極磁場(chǎng)等效疊加得到電機(jī)二維磁場(chǎng)結(jié)果，本文解析方法能同時(shí)考慮到瓦片型、偏心式和面包型磁極形狀，可計(jì)算任意單元數(shù)結(jié)構(gòu)電機(jī)的空載和負(fù)載下電機(jī)磁場(chǎng)特性，以研制的一臺(tái)24極36槽樣機(jī)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)試和有限元仿真結(jié)果驗(yàn)證解析法計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。

1 解析模型

本文對(duì)表貼式內(nèi)轉(zhuǎn)子不均勻氣隙結(jié)構(gòu)永磁同步電機(jī)進(jìn)行建模，電機(jī)的二維簡(jiǎn)化模型如圖1所示，基于精確子域模型分析原理，將電機(jī)模型劃分為永磁體、氣隙、定子槽開(kāi)口和定子槽四個(gè)子域。為便于對(duì)模型分析，作出如下基本假設(shè)：

圖1 磁極偏心式永磁同步電機(jī)簡(jiǎn)化模型

（1）永磁體的電導(dǎo)率為0，磁導(dǎo)率為實(shí)際相對(duì)磁導(dǎo)率，其退磁曲線為直線，且磁極之間空氣的磁導(dǎo)率與永磁體磁導(dǎo)率相同。

（2）定、轉(zhuǎn)子鐵心的磁導(dǎo)率為無(wú)窮大。

（3）忽略電機(jī)端部影響。

（4）定子槽形狀為如圖1所示的理想的半開(kāi)口槽。

1.1 轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)解析模型

轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)采用如圖2所示的不均勻氣隙結(jié)構(gòu)時(shí)，由于永磁體與氣隙子域之間的邊界條件較為復(fù)雜，以及磁化強(qiáng)度也難以用簡(jiǎn)單的表達(dá)式表示，基于方程求解更加困難，所以針對(duì)永磁體形狀的改變采用新的方法等效計(jì)算。

圖2 不均勻氣隙轉(zhuǎn)子簡(jiǎn)化模型

本文基于微積分思想，將永磁體極弧域進(jìn)行圓周區(qū)域分割，偏心式磁極等效結(jié)構(gòu)如圖3所示，面包型磁極等效結(jié)構(gòu)如圖4所示。R為偏心半徑，為偏心距，為第段磁極與磁極中線的夾角，m為永磁體最大厚度；當(dāng)分割段數(shù)足夠多時(shí)，每小段永磁體形狀就可看作為徑向瓦片型結(jié)構(gòu)。

圖3 偏心式磁極等效結(jié)構(gòu)

為永磁體分段數(shù)，p為永磁體極弧系數(shù)，為電機(jī)極對(duì)數(shù)，則第段磁極與永磁體中線夾角可表示為

圖4 面包型磁極等效結(jié)構(gòu)

根據(jù)三角形余弦定理求得第段磁極的外半徑mj為

對(duì)于不同形狀的兩種永磁體，第段磁極內(nèi)半徑rj可表示為

式中，r為轉(zhuǎn)子角速度。

當(dāng)=0時(shí)刻，磁極中心位置角和每小段磁極的極弧系數(shù)pj可表示為

永磁體的磁化強(qiáng)度見(jiàn)附錄式（A1）和式（A2）。

1.2 定子結(jié)構(gòu)解析模型

由圖1所示簡(jiǎn)化模型結(jié)構(gòu)，槽數(shù)為的第號(hào)槽以及槽開(kāi)口的中心位置角可表示為

對(duì)多相繞組條件下，第相線圈電流可表示為

對(duì)于36槽24極結(jié)構(gòu)，繞組排布方式如圖5所示。

式中，1和-1為電流流入流出的方向。槽電流密度表示為

式中，c為導(dǎo)線填充系數(shù)；c為導(dǎo)線橫截面積。

第槽左、右線圈電流密度Jl、Jr可以表示為

在永磁體域和定子槽域的有源區(qū)域內(nèi)，及氣隙域和槽開(kāi)口域的無(wú)源域內(nèi)，通過(guò)引入矢量磁位rj，sli，air和soi，建立對(duì)應(yīng)的泊松方程和拉普拉斯方程[1,2,8]，各子域的偏微分方程為

2 邊界條件

根據(jù)相鄰兩介質(zhì)邊界上矢量磁位的法向分量連續(xù)、切向分量相等的分布規(guī)則，在永磁體區(qū)域，其邊界條件可表示為

氣隙區(qū)域邊界條件為

其中

槽開(kāi)口區(qū)域邊界條件為

定子槽區(qū)域其邊界條件為

其中

3 各子域方程的解

為了簡(jiǎn)化方程解的表達(dá)式，本文定義一組內(nèi)置函數(shù)[8]為

針對(duì)永磁體子域建立的泊松方程，其rj的解[8]為

其中

在氣隙子域中建立的拉普拉斯方程，其air的解[8]為

在槽開(kāi)口區(qū)域建立的拉普拉斯方程，其soi的解[9]為

對(duì)于在定子槽區(qū)域建立的泊松方程，其sli的解[9]為

其中

4 合成磁通密度求解

通過(guò)相鄰邊界上邊界條件求解的方程聯(lián)立，建立各子域解中的諧波系數(shù)矩陣為

諧波系數(shù)有關(guān)方程參見(jiàn)附錄，聯(lián)立方程可得關(guān)于諧波系數(shù)的矩陣方程為

其中

合成氣隙磁通密度由各分段磁極氣隙磁通密度疊加，其結(jié)果如圖6所示，取磁極分段數(shù)為10段進(jìn)行等效的結(jié)果。在各子域諧波階數(shù)一定的情況下，磁極分段數(shù)越多，等效程度就越高，計(jì)算結(jié)果越精確。

5 有限元驗(yàn)證

為驗(yàn)證解析法的適用性與正確性，基于本文對(duì)不均勻氣隙轉(zhuǎn)子建模過(guò)程，表1給出了36槽24極偏心式和面包型磁極轉(zhuǎn)子電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)。

表1 電機(jī)結(jié)構(gòu)主要參數(shù)

Tab.1 Main parameters of motor structure

5.1 氣隙磁通密度分布

根據(jù)微積分原理對(duì)永磁體進(jìn)行等極弧分段，最后電機(jī)二維氣隙磁場(chǎng)可等效為每段磁極產(chǎn)生的磁場(chǎng)疊加效果總和，取氣隙中間位置e處=e= (ms)/2的磁場(chǎng)結(jié)果。

圖7～圖9分別給出兩種結(jié)構(gòu)的空載、電樞反應(yīng)以及負(fù)載工況下一對(duì)極結(jié)構(gòu)的氣隙磁通密度徑向和切向分量計(jì)算結(jié)果，可以看出，解析法計(jì)算結(jié)果和有限元仿真結(jié)果雖存在誤差，但整體吻合性較好。根據(jù)圖8結(jié)果可知，由于此電機(jī)結(jié)構(gòu)最小氣隙長(zhǎng)度為5mm，電樞反應(yīng)下氣隙磁通密度幅值小于0.02T，所以負(fù)載和空載下磁通密度波形結(jié)果較為接近；由于面包型結(jié)果是在偏心式基礎(chǔ)上只改變槽開(kāi)口寬、極弧系數(shù)和充磁方式后作為對(duì)比，兩者結(jié)果波形相近，但實(shí)際面包型磁鋼略厚以及槽開(kāi)口更寬，所以其磁通密度幅值略高，開(kāi)槽影響也較大。

圖8 電樞反應(yīng)氣隙磁通密度

圖9 負(fù)載氣隙磁通密度

5.2 轉(zhuǎn)矩計(jì)算

轉(zhuǎn)矩結(jié)果如圖10所示。由于面包型電機(jī)結(jié)構(gòu)槽開(kāi)口寬度增加為偏心式的2倍，極弧系數(shù)降低為0.8，齒槽轉(zhuǎn)矩明顯增大，其峰值為0.81N·m，偏心式為0.1N·m，其電磁轉(zhuǎn)矩均值都在15N·m左右，解析結(jié)果和有限元結(jié)果對(duì)比下，兩種結(jié)構(gòu)波形變化趨勢(shì)基本一致，面包型齒槽轉(zhuǎn)矩有限元結(jié)果略高于解析結(jié)果。

圖10 轉(zhuǎn)矩結(jié)果

5.3 空載反電動(dòng)勢(shì)

電機(jī)空載下，各相磁鏈和反電動(dòng)勢(shì)可由每槽線圈邊的磁位差計(jì)算得出，即

圖11給出了偏心式磁極電機(jī)其中一相的空載反電動(dòng)勢(shì)波形，峰值在140V，解析結(jié)果與有限元吻合較好。

圖11 空載相反電動(dòng)勢(shì)

6 樣機(jī)實(shí)驗(yàn)

研制了一臺(tái)24極36槽平行充磁偏心式磁極轉(zhuǎn)子的樣機(jī)，以實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文解析方法的準(zhǔn)確性。通過(guò)示波器（每格100V）測(cè)得額定空載轉(zhuǎn)速下線反電動(dòng)勢(shì)波形如圖12所示，實(shí)驗(yàn)測(cè)得線反電動(dòng)勢(shì)峰值為242V，根據(jù)圖13取一個(gè)電周期空載線反電動(dòng)勢(shì)對(duì)比，由于實(shí)測(cè)結(jié)果采樣點(diǎn)較高以及可能存在其他影響因素，波形存在畸變，但整體上有限元、解析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)值和波形趨勢(shì)高度吻合。

圖12 實(shí)測(cè)空載線反電動(dòng)勢(shì)

圖13 空載線反電動(dòng)勢(shì)對(duì)比

7 結(jié)論

本文基于精確子域模型建立了面包型和偏心削極等特殊磁鋼形狀引起不均勻氣隙的表貼式永磁同步電機(jī)空載磁場(chǎng)、電樞磁場(chǎng)和負(fù)載磁場(chǎng)分布的通用解析方法，同時(shí)考慮了徑向/平行充磁，半閉口槽的任意單元電機(jī)模型以及傳統(tǒng)均勻氣隙表貼式結(jié)構(gòu)。通過(guò)計(jì)算電機(jī)空載磁場(chǎng)、電樞磁場(chǎng)和負(fù)載磁場(chǎng)下的氣隙磁通密度分布，驗(yàn)證了通用解析方法的準(zhǔn)確性。在此基礎(chǔ)上，計(jì)算了電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩、電磁轉(zhuǎn)矩及反向感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，與有限元法的結(jié)果均吻合較好，研制的24極36槽偏心式磁極永磁同步電機(jī)實(shí)測(cè)反電動(dòng)勢(shì)波形與仿真結(jié)果吻合很好，驗(yàn)證了本文解析方法的正確性，為進(jìn)一步優(yōu)化該類電機(jī)的電磁性能奠定了良好的基礎(chǔ)。

附 錄

第段磁極的磁化強(qiáng)度分量表示為

1）徑向磁化

2）平行磁化

永磁體的磁化強(qiáng)度可表示為

根據(jù)各子域偏微分方程基礎(chǔ)解式（20）～式（27），通過(guò)各子域間邊界條件式（14）～式（19），得到下面求解方程，通過(guò)將方程聯(lián)立求得各子域諧波系數(shù)矩陣，然后進(jìn)行電機(jī)性能參數(shù)求解。

其中

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Analytical Calculation of Magnetic Field of Permanent Magnet Synchronous Motor with Uneven Air Gap Structure

1,22211,2

（1. School of Electrical Engineering Hebei University of Science and Technique Shijiazhuang 050018 China 2. Laboratory of Robotics and Intelligent Manufacturing Equipment Technology of Zhejiang Province Ningbo Institute of Materials Technology and Engineering Chinese Academy of Sciences Ningbo 315201 China）

In order to achieve sinusoidal back EMF and low torque ripple in the design process of permanent magnet motor for industrial robot and numerical control machine, the uneven air gap structure of bread-shaped or eccentric pole cutting is often used. Based on the differential principle, the rotor pole of the non-uniform air gap structure was divided into four subdomains: permanent magnet, air gap, slot opening and stator slot, and the Poisson equation and Laplace equation were established. The partial differential equation was solved by the variable separation method and the Fourier series method. The harmonic coefficients of each subdomain were solved by the boundary conditions to obtain the magnetic field distribution of each segmented pole, and then the two-dimensional magnetic field distribution of the electric machine was obtained by the equivalent superposition based on the integral principle. The analytical method also takes into account the pole rotor structure of tile type, eccentric type and bread type, and can calculate the no-load, armature and load magnetic field characteristics of the motor with any number of units. Accordingly, the torque and no-load back EMF characteristics can be calculated. The analytical method is verified by the comparison of the prototype test results, the finite element simulation results and the analytical results, which can quickly guide the motor design.

Permanent magnet synchronous motor, subdomain analysis method, uneven air gap, isopolar arc segmentation, magnetic field performance

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.210299

TM315

國(guó)家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金（51807194）和寧波市科技創(chuàng)新2025重大專項(xiàng)（2019B10077, 2021Z125, 2018B10026）資助項(xiàng)目。

2021-03-11

2021-05-13

趙士豪 男，1996年生，碩士，研究方向?yàn)槎嘞嘤来烹姍C(jī)設(shè)計(jì)與分析。E-mail: zhaoshihao@nimte.ac.cn

陳進(jìn)華 男，1985年生，博士，正高級(jí)工程師，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)樘胤N永磁電機(jī)及其控制。E-mail: chenjinhua@nimte.ac.cn（通信作者）

（編輯 崔文靜）