考慮次同步分量下時(shí)間周期問(wèn)題的三維定點(diǎn)有限元法及變壓器電磁特性分析

孫佳安 李 琳

考慮次同步分量下時(shí)間周期問(wèn)題的三維定點(diǎn)有限元法及變壓器電磁特性分析

孫佳安 李 琳

（新能源電力系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（華北電力大學(xué)） 北京 102206）

次同步頻率分量注入導(dǎo)致變壓器鐵心產(chǎn)生周期性非對(duì)稱偏置磁化。該文以矢量磁位和繞組電流為待求量，考慮場(chǎng)路耦合關(guān)系并結(jié)合固定點(diǎn)法處理磁阻率非線性，建立計(jì)算變壓器鐵心靜磁場(chǎng)的三維時(shí)間周期有限元模型并編寫了計(jì)算程序，對(duì)含次同步頻率分量下變壓器鐵心的穩(wěn)態(tài)磁特性進(jìn)行研究。在前處理階段對(duì)繞組區(qū)域的各單元建立電流密度方向矢量矩陣。在迭代階段，對(duì)非線性各向異性鐵心區(qū)域需選擇合適的局部收斂定點(diǎn)磁阻率。利用二維時(shí)間周期有限元法計(jì)算得到的繞組電流穩(wěn)態(tài)解作為三維場(chǎng)路耦合計(jì)算的電流初值以減少迭代時(shí)間。通過(guò)計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該文算法的有效性，并分析了不同幅值、頻率、相序以及三相分布的次同步頻率分量對(duì)鐵心電磁特性的影響。

次同步頻率分量 非對(duì)稱偏置磁化 三維時(shí)間周期有限元法 場(chǎng)路耦合 固定點(diǎn)法

0 引言

以風(fēng)電為代表的新能源接入含串補(bǔ)裝置的輸電線路會(huì)引發(fā)電力系統(tǒng)次同步振蕩，且為抑制該現(xiàn)象而采用各類次同步振蕩抑制器，導(dǎo)致電力系統(tǒng)中注入了次同步頻率分量，并因此導(dǎo)致變壓器產(chǎn)生周期性非對(duì)稱磁飽和問(wèn)題[1-3]。對(duì)此非對(duì)稱磁飽和現(xiàn)象的研究包括基于實(shí)驗(yàn)對(duì)變壓器電流、飽和[4]、損耗[5]、溫升[6]、振動(dòng)、噪聲[7-9]等特性的建模研究，以及基于數(shù)值分析對(duì)變壓器在電路、磁場(chǎng)[10-11]、機(jī)械-噪聲場(chǎng)[12]等參數(shù)變化的預(yù)測(cè)分析。然而以上研究通常是在直流偏磁的條件下，次同步分量注入變壓器產(chǎn)生的影響與傳統(tǒng)直流偏磁問(wèn)題仍有不同：①直流偏磁所考慮的是直流電流注入變壓器，而次同步頻率分量既有可能是次同步電流，也有可能是次同步電 壓[13-14]；②若次同步頻率分量是以次同步電壓形式注入變壓器，該電壓分量會(huì)產(chǎn)生次同步頻率磁通，對(duì)變壓器的影響更為直接且顯著；③直流偏磁的抑制裝置可以消除變壓器中的直流分量，而對(duì)次同步振蕩抑制器則需通過(guò)換流變壓器或串聯(lián)變壓器注入反向次同步分量，導(dǎo)致相應(yīng)變壓器并不能擺脫次同步分量的影響[15-17]；④實(shí)驗(yàn)和仿真研究方面，傳統(tǒng)直流偏磁只需關(guān)注其注入的幅值以及三相分布狀況，次同步分量還需關(guān)注其頻率和相序的問(wèn)題。

在我國(guó)實(shí)際電網(wǎng)運(yùn)行中，華北沽源、東北通榆和新疆哈密等地都曾出現(xiàn)過(guò)不同程度的次同步振蕩現(xiàn)象[14, 18-19]；為抑制次同步振蕩現(xiàn)象引入的串聯(lián)靜止無(wú)功發(fā)生器（Static Var Generator, SVG）型次同步振蕩抑制器，也需經(jīng)串聯(lián)變壓器在閥側(cè)主動(dòng)施加相應(yīng)頻率和幅值的次同步分量[20]。隨著系統(tǒng)次同步振蕩現(xiàn)象的增加以及所接入次同步振蕩抑制器的增多，對(duì)含次同步頻率分量下變壓器電磁特性問(wèn)題的研究有重要意義。

針對(duì)次同步分量對(duì)變壓器影響的研究，有學(xué)者提出通過(guò)建立電路模型或磁路模型進(jìn)行求解[1-2, 21]，用以分析磁通和勵(lì)磁電流的變化情況，但并不能揭示次同步分量引起的磁場(chǎng)變化。還有學(xué)者建立2D有限元模型進(jìn)行計(jì)算[3, 22-23]，但只能對(duì)中間平面的磁場(chǎng)進(jìn)行計(jì)算，僅可對(duì)局部場(chǎng)域近似處理[24-25]，且不能考慮材料各向異性的影響。對(duì)于3D場(chǎng)路耦合有限元，分別有學(xué)者提出基于變壓器互感電路模型的間接耦合方法和基于電磁感應(yīng)定律的直接耦合方法進(jìn)行變壓器直流偏磁研究[26-27]，尚未有人將3D場(chǎng)路耦合模型應(yīng)用在含次同步分量下的變壓器電磁特性的研究中。

含次同步分量下的變壓器偏置磁化計(jì)算屬于非線性時(shí)不變問(wèn)題，對(duì)于有理次的次同步間諧波分量，變壓器的勵(lì)磁電流以及磁場(chǎng)場(chǎng)量仍滿足周期性條件，因此本文建立三維場(chǎng)路耦合時(shí)間周期有限元模型，引入定點(diǎn)磁阻率并開(kāi)發(fā)了計(jì)算程序?qū)υ搯?wèn)題進(jìn)行研究。針對(duì)前處理過(guò)程中繞組矢量矩陣的建立、迭代過(guò)程中各向異性材料的定點(diǎn)磁阻率選取以及3D場(chǎng)路耦合模型的初值方案進(jìn)行討論分析。最后通過(guò)一臺(tái)三相變壓器的實(shí)驗(yàn)和計(jì)算驗(yàn)證了本文算法的有效性和計(jì)算效率，并對(duì)該變壓器在不同次同步電壓分量激勵(lì)下的電磁特性進(jìn)行研究。

1 三維時(shí)間周期有限元法

1.1 基于定點(diǎn)磁阻率的有限元方程

三維變壓器鐵心磁場(chǎng)求解域如圖1所示。1和2分別為兩類計(jì)算邊界，給定1上矢量磁位的切向分量為0（對(duì)應(yīng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量為0），給定2上矢量磁位旋度的切向方向?yàn)?（對(duì)應(yīng)磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量為0），1和2包圍整個(gè)求解域。

圖1 變壓器鐵心磁場(chǎng)求解域

以矢量磁位為變量建立磁場(chǎng)微分方程邊值問(wèn)題為

式中，為電流密度矢量，在繞組區(qū)域?yàn)榱鬟^(guò)繞組的電流密度，其他區(qū)域?yàn)?；為材料的磁阻率，鐵心區(qū)域根據(jù)非線性磁化曲線計(jì)算非線性磁阻率，鐵心外為空氣磁阻率；為場(chǎng)域邊界法向量。

考慮到磁性材料的非線性特性，引入定點(diǎn)磁阻率，可以避免迭代中的磁阻率不連續(xù)問(wèn)題，并得到相較牛頓-拉夫遜法更好的收斂效率[29]。此時(shí)，磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量表示為

將式（3）代入式（2），將場(chǎng)域方程寫為

采用四面體網(wǎng)格劃分求解區(qū)域，并利用線性基函數(shù)對(duì)矢量磁位進(jìn)行插值，可將矢量磁位表示為

式中，A,i、A,i和A,i分別為網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上矢量磁位在、和三個(gè)坐標(biāo)軸方向上的分量；N（,,）為節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的分塊線性插值基函數(shù)；p為節(jié)點(diǎn)數(shù)。

根據(jù)伽遼金加權(quán)余量法，矢量基函數(shù)與方程余量在求解區(qū)域內(nèi)的標(biāo)量積為0，建立場(chǎng)域微分方程的弱形式為

式中，為各節(jié)點(diǎn)標(biāo)量基函數(shù)與方向矢量相乘建立的矢量基函數(shù)。

根據(jù)矢量恒等變換和高斯散度定理，對(duì)式（6）進(jìn)行降階轉(zhuǎn)換，邊界條件作為曲面積分形式考慮在方程中，變換后的方程為

將式（2）中的邊界條件代入對(duì)應(yīng)的曲面積分項(xiàng)，可將式（7）化簡(jiǎn)為

采用伽遼金法，矢量權(quán)函數(shù)的空間分布同插值基函數(shù)，且任意方向的矢量權(quán)函數(shù)與方程余量的標(biāo)量積均滿足式（8）。對(duì)于單元中的節(jié)點(diǎn)有

其中

1.2 耦合方程建立

電力變壓器運(yùn)行時(shí)，需向繞組上施加勵(lì)磁電壓源或負(fù)載，對(duì)變壓器各繞組電流建立方程為

式中，R和L分別為外電路等效串聯(lián)電阻和串聯(lián)電感；U為施加在繞組上的電壓，對(duì)無(wú)源負(fù)載支路U=0；E為繞組的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)電磁感應(yīng)定律，E滿足

1.3 場(chǎng)路耦合方程求解

對(duì)整個(gè)求解域及各繞組電流進(jìn)行聯(lián)立求解，根據(jù)式（9）和式（11）建立方程為

其中

2 算法求解設(shè)置

次同步頻率分量的注入會(huì)導(dǎo)致變壓器表現(xiàn)出更加顯著的非線性，且進(jìn)行3D場(chǎng)域計(jì)算時(shí)存在各向異性問(wèn)題，由此導(dǎo)致在迭代過(guò)程中矩陣需不斷更新且具有不對(duì)稱性；另外考慮計(jì)算精度以及迭代效率方面的問(wèn)題，本文對(duì)模型的求解作以下處理。

2.1 時(shí)間周期確定

對(duì)于非線性時(shí)不變電路，在含有基波和有理次次同步頻率分量的激勵(lì)時(shí)，磁場(chǎng)量及繞組電流的穩(wěn)態(tài)解仍滿足周期條件，只是計(jì)算周期不再是基波周期，而需擴(kuò)大數(shù)倍，有

式中，為計(jì)算周期；s、ssr為一對(duì)互質(zhì)整數(shù)；s、ssr分別為基波電壓和次同步電壓分量的周期。

對(duì)式（12）施加周期性條件即可通過(guò)時(shí)間周 期并行求解的方式獲得場(chǎng)路耦合問(wèn)題的穩(wěn)態(tài)計(jì)算 結(jié)果。

2.2 繞組方向矩陣建立

在2D場(chǎng)路耦合模型中，電流密度僅有流入和流出紙面方向，因此可作為標(biāo)量處理；在3D磁場(chǎng)計(jì)算的有限元模型中，其電流密度矢量的空間分布是預(yù)先給定的；對(duì)3D場(chǎng)路耦合有限元模型，繞組電流在電路中是以標(biāo)量形式計(jì)算，電流密度在場(chǎng)域中則以矢量形式處理，因此為實(shí)現(xiàn)兩種分量在不同求解空間的矢量轉(zhuǎn)化，需在前處理階段根據(jù)繞組的分布和繞向建立方向矩陣，忽略導(dǎo)體電流的趨膚效應(yīng)，建立關(guān)于電流的耦合方程為

式中，N和S分別為繞組匝數(shù)和截面積；為場(chǎng)域中繞組中的電流密度。

2.3 鐵心定點(diǎn)磁阻率及類磁化強(qiáng)度矢量計(jì)算

變壓器鐵心是由具有非線性及各向異性的材料制作而成，采用定點(diǎn)法對(duì)矢量磁位的雙旋度方程進(jìn)行處理時(shí)需選擇適當(dāng)?shù)亩c(diǎn)磁阻率以保證迭代的穩(wěn)定性及收斂效率。J. Saitz采用真空磁阻率作為定點(diǎn)磁阻率即可實(shí)現(xiàn)收斂，但需結(jié)合牛頓拉夫遜法才能得到較好的收斂效果[30]；Li Wei通過(guò)各向異性微分磁阻率矩陣進(jìn)行計(jì)算[31]，而E. Dlala指出，以各向最大和最小微分磁導(dǎo)率的平均值即可實(shí)現(xiàn)較好的局部收斂性，以避免采用各向異性矩陣引起的計(jì)算代價(jià)[32]；Ansys公司的Zhou Ping建立了對(duì)每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)采用矢量加權(quán)差分磁導(dǎo)率的迭代計(jì)算公式[33]，以處理磁導(dǎo)率在時(shí)步迭代中的誤差，但該方案會(huì)導(dǎo)致系數(shù)矩陣在迭代中不斷變化。在時(shí)間周期的問(wèn)題中，其目的是計(jì)算滿足周期性條件的穩(wěn)態(tài)解，因此本文直接利用各時(shí)間節(jié)點(diǎn)的微分磁導(dǎo)率計(jì)算，并根據(jù)E. Dlala的局部收斂性要求[32]，在定點(diǎn)磁阻率選取時(shí)兼顧軋制方向和垂直軋制方向微分磁阻率，因此對(duì)定點(diǎn)磁阻率的處理方法如下。

在前處理階段對(duì)變壓器空間結(jié)構(gòu)建模時(shí)令各心柱和鐵軛區(qū)域硅鋼片的軋制方向均在平面，方向?yàn)榀B片堆疊方向，則對(duì)于變壓器鐵心，疊片堆疊方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度遠(yuǎn)小于平面的磁感應(yīng)強(qiáng)度，其定點(diǎn)磁阻率選取為

由式（15），需要根據(jù)鐵心結(jié)構(gòu)確定各單元對(duì)應(yīng)的軋制方向，再根據(jù)軋制和垂直軋制方向的磁化曲線計(jì)算得到定點(diǎn)磁阻率。根據(jù)所得磁阻率及磁化曲線可計(jì)算出和方向上的類磁化強(qiáng)度矢量，對(duì)疊片堆疊方向上的磁化特性的計(jì)算按照硅鋼片與疊片間絕緣層磁路串聯(lián)方式得出[34]。以軋制方向?yàn)?i>方向?yàn)槔?，?jì)算類磁化強(qiáng)度矢量為

式中，G、G和G分別為類磁化強(qiáng)度矢量在、和三個(gè)坐標(biāo)軸方向上的分量；為鐵心的疊片系數(shù)；0為空氣磁阻率。

2.4 初值選取

由于采用2.2節(jié)所示的鐵心磁阻率設(shè)置，導(dǎo)致式（12）是一個(gè)變系數(shù)微分方程。為求解該方程，需要通過(guò)一個(gè)完整周期的計(jì)算結(jié)果形成各時(shí)間節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣和輸入矩陣的初值。在電力系統(tǒng)時(shí)域仿真中的常規(guī)方法是通過(guò)將初始時(shí)刻未知變量的值均設(shè)為0，但變壓器會(huì)有勵(lì)磁涌流現(xiàn)象，若電路等效串聯(lián)電阻很小會(huì)導(dǎo)致時(shí)間常數(shù)（=L/R）很大，造成迭代周期數(shù)很多，從而產(chǎn)生較大的計(jì)算代價(jià)。因此，為減少迭代次數(shù)，需要給定一個(gè)近似穩(wěn)態(tài)的解作為初值，一般可按如下方式計(jì)算：①以頻域穩(wěn)態(tài)解作為時(shí)域的初值；但在含次同步頻率分量的條件下，各基波周期內(nèi)的飽和情況有較大差異，因此頻域法不再適用。②以較大串聯(lián)電阻的情況作為初始算例，并不斷將串聯(lián)電阻減小到實(shí)際電阻；但該方法涉及串聯(lián)電阻的選擇問(wèn)題，且當(dāng)變壓器含有負(fù)載或飽和現(xiàn)象嚴(yán)重時(shí)，較大串聯(lián)電阻會(huì)導(dǎo)致加在繞組上的勵(lì)磁電壓較實(shí)際電壓有偏移（勵(lì)磁電壓基波分量變小，而諧波分量增大），因此處理實(shí)際問(wèn)題的效果可能受限。③以2D場(chǎng)路耦合模型對(duì)勵(lì)磁電流計(jì)算的穩(wěn)態(tài)解作為3D場(chǎng)域計(jì)算初值，通過(guò)3D場(chǎng)域有限元的磁場(chǎng)計(jì)算結(jié)果和2D場(chǎng)路耦合模型得到的繞組電流作為3D場(chǎng)路耦合模型的計(jì)算初值；由于2D模型的電路特性與3D模型相同，因此其繞組電流和勵(lì)磁電壓更接近最終穩(wěn)態(tài)解，且同網(wǎng)格尺寸下2D模型的節(jié)點(diǎn)數(shù)量和矩陣維度更小，相較于3D模型，應(yīng)用2D模型的計(jì)算代價(jià)很小。本文利用方案③作為初值計(jì)算方案，其中2D模型已在文獻(xiàn)[3]中給出，對(duì)于3D磁場(chǎng)有限元計(jì)算，繞組電流是已知的，可利用式（9）采用時(shí)步法進(jìn)行一個(gè)周期的迭代以計(jì)算矢量磁位初值；但在每個(gè)時(shí)間步的迭代中，類磁化強(qiáng)度及其形成的矩陣需作為時(shí)變分量處理[33]，因此在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的計(jì)算中，對(duì)進(jìn)行多次修正，以減小在非線性磁化曲線處理中引起的誤差。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本文以一臺(tái)380V三相一體殼式鐵心變壓器的空載實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文算法有效性，通過(guò)CSW5550可編程電源為實(shí)驗(yàn)提供基波勵(lì)磁電壓和次同步電壓分量，并利用其內(nèi)置波形采集裝置測(cè)量并導(dǎo)出電流結(jié)果，由于變壓器空載，因此該電流即為變壓器的勵(lì)磁電流。變壓器結(jié)構(gòu)及鐵心磁化曲線如圖2和圖3所示，變壓器結(jié)構(gòu)參數(shù)見(jiàn)表1。

圖2 變壓器模型及其鐵心結(jié)構(gòu)

文獻(xiàn)[35]結(jié)合有限元計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在沒(méi)有發(fā)生內(nèi)部故障時(shí)，非對(duì)稱偏磁導(dǎo)致變壓器總平均漏感變化不超過(guò)1.1%，單側(cè)漏感的變化不超過(guò)5%，且在空載條件下勵(lì)磁電感遠(yuǎn)大于漏感，因此忽略變壓器的漏感變化。經(jīng)短路實(shí)驗(yàn)測(cè)得基波下電源內(nèi)阻為1+j0.02W，變壓器一次側(cè)等效總漏抗為j0.64W（一次側(cè)單側(cè)電抗取j0.32W），故設(shè)置外部電路參數(shù)為=1W，=1.08mH。變壓器空載實(shí)驗(yàn)電路如圖4所示，次同步分量可通過(guò)CSW5550可編程電源的波形編輯器提供，并在該電路模型中以串聯(lián)電壓源形式接在各相電路中，在僅額定基波的算例中令該分量為0。

圖3 鐵心所用硅鋼片的B-H曲線

表1 實(shí)驗(yàn)變壓器結(jié)構(gòu)參數(shù)

Tab.1 Parameters of transformer

3.1 算例驗(yàn)證

1）2D與3D模型精度對(duì)比

設(shè)置相同的網(wǎng)格質(zhì)量對(duì)2D和3D空間模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分（即令同一區(qū)域的2D三角形網(wǎng)格邊長(zhǎng)和D四面體棱長(zhǎng)近似相等），分別設(shè)置額定系統(tǒng)電壓為額定基波電壓以及含10V/5Hz的三相正序次同步電壓分量，對(duì)勵(lì)磁電流的計(jì)算結(jié)果如圖5所示。

圖4 變壓器空載實(shí)驗(yàn)電路

圖5 2D和3D場(chǎng)路耦合模型勵(lì)磁電流計(jì)算結(jié)果

由圖5可知，在基波條件下2D和3D模型對(duì)A、C相勵(lì)磁電流峰值的計(jì)算誤差均較小，但2D模型對(duì)于處于中間的B相繞組勵(lì)磁電流計(jì)算誤差較大。施加次同步頻率分量后，鐵心飽和情況加劇，鐵心磁導(dǎo)率降低（磁阻率增大），漏磁通增加，導(dǎo)致在原等效鐵心厚度下的磁場(chǎng)能量偏小[36]，因此2D模型計(jì)算得到的勵(lì)磁電流較實(shí)際值更??；3D模型直接根據(jù)完整鐵心結(jié)構(gòu)描述其磁場(chǎng)能量，因此在鐵心過(guò)飽和時(shí)依然能得到較2D模型更準(zhǔn)確的結(jié)果。

2）算法計(jì)算效率分析

對(duì)變壓器分別施加額定電壓激勵(lì)以及疊加不同次同步頻率分量，對(duì)比采用傳統(tǒng)牛頓拉夫遜法、定點(diǎn)時(shí)步法[33]、定點(diǎn)時(shí)間周期法及以2D模型電流計(jì)算結(jié)果作為3D模型初值的改進(jìn)初值時(shí)間周期法，各算法效率對(duì)比見(jiàn)表2。

表2 不同次同步分量條件下算法效率對(duì)比

Tab.2 Comparison of calculation time with different subsynchronous components

注：①為傳統(tǒng)牛頓拉夫遜法；②為定點(diǎn)時(shí)步法；③為定點(diǎn)時(shí)間周期法；④為以2D電流穩(wěn)態(tài)解作3D初值的定點(diǎn)時(shí)間周期法。

由表2可知，在不同飽和條件下定點(diǎn)時(shí)間周期法均能得到很好的計(jì)算效率，并且在采用2D模型的電流穩(wěn)態(tài)解為3D模型賦初值的情況下，總計(jì)算時(shí)間進(jìn)一步減少60%以上。雖然計(jì)算2D模型需要花費(fèi)一定的時(shí)間，但為3D模型提供了一個(gè)接近穩(wěn)態(tài)的初值，因此極大地提高了總體的計(jì)算效率。

3）磁場(chǎng)計(jì)算

對(duì)于1）中的兩種算例，選取鐵心磁通在不同區(qū)域達(dá)到峰值的時(shí)刻，繪制鐵心主磁通的磁感線分布（中心平面等A線）如圖6所示。

由圖6可知，施加次同步分量導(dǎo)致變壓器出現(xiàn)非對(duì)稱飽和時(shí)，會(huì)對(duì)鐵心磁通分布造成較大影響：①對(duì)比圖6a、圖6b可知，在鐵心的A相（邊相）心柱磁通達(dá)到峰值的時(shí)刻，施加次同步分量后導(dǎo)致鐵心柱和公共鐵軛處出現(xiàn)了局部磁感線閉合，會(huì)導(dǎo)致鐵心漏磁通增大；②對(duì)比圖6c、圖6d可知，在鐵心B相（中間相）心柱磁通達(dá)到峰值的時(shí)刻，額定基波激勵(lì)下鐵心磁感線呈左右對(duì)稱分布，但施加次同步分量后鐵心磁感線明顯不對(duì)稱（右側(cè)大于左側(cè)）；③對(duì)比圖6e、圖6f可知，在A-B相間公共鐵軛中磁通達(dá)到峰值時(shí)刻，額定基波激勵(lì)下A相（左側(cè)）區(qū)域幾無(wú)磁感線通過(guò)，但施加次同步分量后磁感線在A相（左側(cè)）區(qū)域也形成了閉合回路。

圖6 不同時(shí)刻鐵心磁感線分布情況

圖7為鐵心不同區(qū)域中的節(jié)點(diǎn)在主磁通方向及漏磁方向（垂直主磁通方向）上磁通密度變化情況。

圖7 鐵心不同區(qū)域中磁通密度波形

由圖7可知，施加次同步頻率分量后，鐵心主磁通方向磁通密度在每一個(gè)基波周期內(nèi)會(huì)出現(xiàn)非對(duì)稱偏置磁化問(wèn)題，在漏磁通方向上還會(huì)出現(xiàn)更為明顯的諧波畸變，影響變壓器的正常工作。

3.2 次同步頻率分量對(duì)變壓器影響分析

在電力系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行中，次同步振蕩的頻率范圍涵蓋4～35Hz內(nèi)的多種頻率[14, 18-19]，檢測(cè)到主變壓器上感應(yīng)的次同步電壓分量可達(dá)基波分量的0.9%～5.5%[37-38]。設(shè)置有效值為5～15V（相對(duì)額定基波分量的2.3%～6.8%），并考慮不同頻率及相序的次同步頻率分量，分析其對(duì)變壓器電磁特性的影響。

1）三相次同步頻率分量分析

對(duì)變壓器三相繞組施加不同頻率、幅值及相序的次同步電壓分量，對(duì)比勵(lì)磁電流峰值以及鐵心最大磁通密度情況如圖8所示。

圖8 三相次同步分量下變壓器電磁特性計(jì)算

由圖8可知，頻率越低、幅值越大的次同步頻率分量，對(duì)變壓器勵(lì)磁電流峰值和鐵心最大磁通密度影響越為顯著。且三相一體式變壓器還會(huì)受次同步頻率分量的相序影響，正序分量在不同頻率下勵(lì)磁電流峰值和鐵心最大磁通密度的曲線較為平滑；負(fù)序分量對(duì)變壓器的影響情況與正序分量相近，但在施加10Hz以下的負(fù)序分量后，變壓器鐵心最大磁通密度隨頻率變化曲線較正序分量更陡；零序分量對(duì)變壓器影響最為嚴(yán)重，施加15V 5Hz的零序次同步頻率分量后，鐵心局部最大磁通密度將達(dá)到2.22T。

2）單相次同步頻率分量分析

文獻(xiàn)[39]提出可通過(guò)單相形式的不對(duì)稱串補(bǔ)結(jié)構(gòu)抑制系統(tǒng)次同步振蕩，以減小容量需求，此時(shí)次同步分量將僅出現(xiàn)在單一繞組中。

因此，選取變壓器A相（邊相）和B相（中間相）繞組分別施加有效值為15V、頻率不同的次同步分量，對(duì)比三相勵(lì)磁電流峰值結(jié)果如圖9所示。

圖9 單相次同步分量下變壓器勵(lì)磁電流計(jì)算

由圖9可知，對(duì)于三相一體式變壓器，施加單相次同步分量時(shí)，不僅會(huì)增加本相勵(lì)磁電流，還將增加臨近相的勵(lì)磁電流；邊相（A相）含次同步分量時(shí)，該相產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)經(jīng)過(guò)另一邊相（C相）形成的磁路較長(zhǎng)，因此對(duì)較遠(yuǎn)邊相的影響程度很小。

4 結(jié)論

1）提出考慮次同步頻率分量和鐵心各向異性的變壓器三維場(chǎng)路耦合時(shí)間周期有限元模型，以分析變壓器在非對(duì)稱偏置磁化條件下的穩(wěn)態(tài)磁特性。首先應(yīng)用定點(diǎn)技術(shù)建立三維磁場(chǎng)計(jì)算模型；在前處理過(guò)程中建立繞組方向矢量矩陣以形成電流密度空間矢量參數(shù)與繞組電流標(biāo)量參數(shù)之間的完整場(chǎng)路耦合關(guān)系；對(duì)迭代過(guò)程中的各向異性磁阻率問(wèn)題進(jìn)行分析，以獲取疊片鐵心的完整電磁特性；選擇2D模型的穩(wěn)態(tài)結(jié)果作為3D模型初值，提高了模型的總收斂效率。

2）結(jié)合物理變壓器的算例和實(shí)驗(yàn)表明，3D場(chǎng)路耦合模型不需要對(duì)變壓器在厚度方向進(jìn)行簡(jiǎn)化，因此相較2D模型對(duì)勵(lì)磁電流有更高的計(jì)算精度；但2D模型計(jì)算代價(jià)低，且為3D模型提供了一個(gè)接近穩(wěn)態(tài)的初值，因此混合迭代方案在不同飽和情況均可提升總體迭代效率。

3）次同步頻率分量會(huì)導(dǎo)致鐵心磁感線分布的變化，包括漏磁增加、分布不對(duì)稱及主磁通磁路改變；還會(huì)導(dǎo)致鐵軛區(qū)域在漏磁方向的諧波畸變更為嚴(yán)重。次同步分量對(duì)變壓器的影響與幅值、頻率、相序和三相分布情況有關(guān)。頻率低、幅值大、零序的次同步分量對(duì)變壓器影響更為顯著；若次同步分量出現(xiàn)在單一繞組中，不僅影響本繞組的勵(lì)磁電流，還會(huì)增加臨近繞組的勵(lì)磁電流。

附 錄

式（9）和式（11）中各系數(shù)矩陣及輸入向量的形態(tài)及形成方式如下。

（A1）

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3D Fixed-Point Finite Element Method for Time Periodic Problems with Subsynchronous Components and Analysis of Transformer Electromagnetic Characteristics

’

（State Key Laboratory of Alternate Electrical Power System with Renewable Energy Sources North China Electric Power University Beijing 102206 China）

The injection of subsynchronous frequency components causes periodic asymmetric bias of the transformer core. Taking the 3D magnetic vector potentialand the winding currentas the unknown variables, combining the fixed-point method and the field-circuit coupled relationship, a 3D time-periodic finite element model for calculating the magnetic field of the transformer core was established to study the steady-state magnetic properties of transformer core with subsynchronous frequency components. In the pre-processing, the current density direction vector was established for each element in the winding area. During the iteration, it is necessary to select a suitable local convergence fixed-point magnetoresistance for the non-linear anisotropic core region. The steady-state current calculated by the 2D time-periodic finite element method is used as the initial value of the 3D field-circuit coupled calculation to reduce the total iteration time. The calculation and experimental results were used to verify the effectiveness of the algorithm, and the effects of different amplitudes, frequencies, phase sequences and subsynchronous frequency components of three-phase distribution on the electromagnetic characteristics of transformer were analyzed.

Subsynchronous frequency component, asymmetric bias, 3D time-periodic finite element method, field-circuit coupled, fixed-point method

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.211496

TM41

2021-09-23

2021-10-26

孫佳安 男，1994年生，博士研究生，研究方向?yàn)殡姶艌?chǎng)數(shù)值計(jì)算與變壓器暫態(tài)建模。E-mail: 1182101023@ncepu.edu.cn

李 琳 男，1962年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)殡姶艌?chǎng)理論及應(yīng)用與電力系統(tǒng)電磁兼容。E-mail: lilin@ncepu.edu.cn（通信作者）

（編輯 崔文靜）