小野下光子特征線混合筆束模型肺部劑量算法

崔鳳潔，王寧宇，顧少嫻，楊 鵬，尹楚歐，張盛元，胡金有,2，蔡蕓竹，吳章文，汪 俊，勾成俊

(1.四川大學(xué)原子核科學(xué)技術(shù)研究所 輻射物理及技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610064;2.四川省醫(yī)學(xué)科學(xué)院·四川省人民醫(yī)院，成都 610072)

隨著現(xiàn)代影像診斷技術(shù)和儀器設(shè)備的發(fā)展，適形調(diào)強(qiáng)、圖像引導(dǎo)和立體定向等精準(zhǔn)放療技術(shù)已廣泛應(yīng)用于腫瘤臨床治療.這些新技術(shù)采用小射野光子束照射靶區(qū)并調(diào)整靶區(qū)的劑量分布，從而提高腫瘤控制率，降低正常組織并發(fā)癥的概率[1,2].射野半徑小于次級(jí)電子最大射程的照射野為小射野，通常認(rèn)為小射野的尺寸小于3 cm×3 cm.小射野放療本就存在橫向電子不平衡，當(dāng)射線入射到低密度肺組織中時(shí)，次級(jí)電子的輸運(yùn)范圍增大，更易引起橫向電子不平衡，使劑量計(jì)算更復(fù)雜[3-5].精準(zhǔn)的劑量算法是精準(zhǔn)放療的關(guān)鍵，ICRU 24號(hào)報(bào)告[6]建議：劑量算法的誤差應(yīng)控制在3%以內(nèi).

現(xiàn)代放療計(jì)劃系統(tǒng)采用的劑量算法主要有解析法和蒙特卡羅(MC)模擬兩類.解析法簡(jiǎn)化了粒子與人體組織的相互作用過程，計(jì)算速度快，但在小射野、非均勻組織等復(fù)雜條件下，其計(jì)算精度會(huì)降低[7,8].例如，卷積疊加法(CS)、筆形束卷積法(PBC)、筒串卷積疊加法(CCC)、快速傅里葉卷積法(FFT)和各向異性解析法(AAA)等非均勻修正算法得到的肺組織劑量明顯高于MC模擬值[9,10].Hasani等[9]對(duì)CCC、FFT和CS算法的精度進(jìn)行了評(píng)估.在10 cm×10 cm射野下，CCC、FFT、CS算法與MC模擬得到肺中的平均劑量誤差分別為4.81%、-1.55%和4.96%，最大誤差分別為7.3%、5.26%和7.4%.Cristiano等[10]將MC模擬的深度劑量數(shù)據(jù)與PBC、AAA的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較.當(dāng)射野尺寸為1 cm×1 cm、肺密度為0.3 g/cm3時(shí)，PBC、AAA與MC計(jì)算的肺部平均劑量差異分別為21.9%和5.8%，最大差異分別為24.3%和11.5%.上述算法均不能精確模擬小射野下肺模體中散射光子和次級(jí)電子的輸運(yùn)行為，不適用于小射野肺部放療.而MC方法將概率統(tǒng)計(jì)原理與計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)相結(jié)合，可準(zhǔn)確計(jì)算出小射野下肺模體中的劑量分布，但計(jì)算時(shí)間太長(zhǎng)，不能完全用于臨床劑量計(jì)算[11].因此，有必要開展小射野下非均勻修正算法的研究.

本文提出了光子特征線混合筆束模型(Photon characteristic line hybrid pencil beam model, PCL-HPBM).該算法首先利用特征線方法[12,13]計(jì)算無限寬光子束在肺模體中的深度劑量分布；然后對(duì)水模體筆束核進(jìn)行非均勻修正，計(jì)算筆束光子在肺模體中的劑量分布；再利用有限筆束算法[14-16]計(jì)算任意照射野條件下肺模體中的三維劑量分布；最后與MC模擬結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證該算法的精度.

2.1 蒙特卡羅模擬

本文使用程序?yàn)镸C程序EGSnrc/Dosxyznrc.該程序具有完善的帶電粒子輸運(yùn)機(jī)制和低能作用截面，能準(zhǔn)確模擬在keV至GeV范圍內(nèi)的光子和電子在模體中的輸運(yùn)行為，從而得到不同射野條件下不同肺模體(肺組織深度、密度不同)中的劑量分布[17].模擬參數(shù)[18,19]如下：電子截止能量為0.521 MeV，光子截止能量為0.001 MeV，電子輸運(yùn)步長(zhǎng)算法為PRESTA-Ⅱ，邊界處理算法為EXACT，粒子源的類型選擇為0號(hào)(以平行的矩形光束垂直入射)，光子能譜數(shù)據(jù)文件為mohan6.spectrum.在MC模擬中，隨機(jī)抽樣的光子數(shù)越多，精確度越高.為確保整個(gè)模擬過程的統(tǒng)計(jì)誤差均小于1%，每次模擬的歷史粒子數(shù)應(yīng)足夠大.

本文模擬了四個(gè)肺模體，大小為40 cm×40 cm×40 cm，體元大小為0.25 cm×0.25 cm×0.25 cm.水、肺組織元素的組成及比例來源于EGSnrc的材料庫文件521cru.pegs4dat.其中，肺模體A、B和C均由水(5 cm)、肺(15 cm)、水(20 cm)三層介質(zhì)組成，肺密度分別為0.1、0.26 和0.4 g/cm3；肺模體D由水(15 cm)、肺(15 cm)和水(10 cm)三層介質(zhì)組成，肺密度為0.26 g/cm3.筆束大小為0.25 cm×0.25 cm.射野尺寸為0.5 cm×0.5 cm、1 cm×1 cm、2 cm×2 cm和不規(guī)則射野(如圖1所示).

圖1 不規(guī)則射野的尺寸和形狀

2.2 光子特征線混合筆束模型

放療能區(qū)內(nèi)的光子與人體組織的相互作用主要有光電效應(yīng)、康普頓效應(yīng)和電子對(duì)效應(yīng)三種形式.光電效應(yīng)和電子對(duì)效應(yīng)引起光子的吸收，而康普頓效應(yīng)使光子偏離初始的入射方向.其相互作用機(jī)理與光子能量有關(guān)，對(duì)于臨床上廣泛使用的6 MV光子束，康普頓效應(yīng)占優(yōu)勢(shì)[20].這三種相互作用的總微觀截面表示為

σtot=σpe+σcomp+σpair

(1)

其中σpe、σcomp和σpair分別為光電效應(yīng)、康普頓效應(yīng)和電子對(duì)效應(yīng)的微觀截面.當(dāng)能量為E0的無限寬光子束垂直入射到介質(zhì)表面時(shí)，光子在均勻介質(zhì)中輸運(yùn)的Boltzmann方程表示為[21]

Ω′→Ω)+S(z,E,μ)，S(z,E,μ)=

δ(z)δ(E-E0)δ(1-μ)/2π

(2)

其中?(z,E,μ)表示光子的微分注量分布；?(z,E,μ)dEdμ表示在深度z處，能量為[E,E+dE]、方向余弦為[μ,μ+dμ]的光子的注量；K(z,E′→E,Ω′→Ω)表示深度z處，能量為E′、方向?yàn)棣浮涞墓庾咏?jīng)過康普頓散射后，散射光子能量為[E,E+dE]、方向?yàn)閇Ω,Ω+dΩ]的幾率；S(z,E,μ)表示源項(xiàng)；∑(z,E)表示深度z處，能量為E的光子的線衰減系數(shù)，其表達(dá)式為

∑(z,E)=n(z)·σtot(z,E)

(3)

其中n(z)為介質(zhì)的原子數(shù)密度，表達(dá)式為

(4)

其中NA為阿伏伽德羅常數(shù)；A(z)為深度z處的物質(zhì)的原子質(zhì)量；ρ(z)為深度z處的介質(zhì)密度.

在光子的特征線算法中，光子注量?表示為

?(z,E,μ)=?0(z,E,μ)+?1(z,E,μ)+

?m(z,E,μ)

(5)

其中?0(z,E,μ)、?1(z,E,μ)、?m(z,E,μ)分別為初級(jí)光子注量、一次散射光子注量和多次散射光子注量.初級(jí)光子的輸運(yùn)方程表示為[12,13]

(6)

一次散射光子的輸運(yùn)方程表示為[12,13]

S1(z,E,μ)

(7)

多次散射光子的輸運(yùn)方程表示為[12，13]

(8)

(7)式、(8)式中λ表達(dá)式為

(9)

?0(z,E,μ)、?1(z,E,μ)有明確的解析解，?m(z,E,μ)只能由數(shù)值方法得到數(shù)值解.在計(jì)算?m(z,E,μ)的數(shù)值解時(shí)，可以將方向余弦μ按照特征線方向進(jìn)行離散化.則(7)式解的表達(dá)式為[12,13]

(10)

(8)式解的表達(dá)式為[12,13]

?1(z,E,μ)=

(11)

(9)式解的表達(dá)式為[12,13]

?m(z,E,μ)=

(12)

其中d為介質(zhì)的厚度.在得到光子的注量分布后，可以得到次級(jí)電子源和次級(jí)正電子源的注量分布，表達(dá)式為

(13)

其中dz為計(jì)算單元在深度方向的長(zhǎng)度.設(shè)電子的微分注量為N(z,E,μ)，則電子的輸運(yùn)方程可表示為

σe(z,E′,E′-E,Ω′·Ω)

(14)

其中∑e(z)為深度z處的電子在單位路徑上的作用次數(shù)；σe為電子總的作用截面，包括軔致輻射、彈性相互作用、非彈性相互作用.利用特征線方法和電子輸運(yùn)雙親模型，可以獲得電子的微分注量分布.根據(jù)微分注量分布就可以獲得能量為E0的無限寬光子束的深度劑量分布，表達(dá)式為

E,T)TdT

(15)

D(E0,z)=De(E0,z)+Dp(E0,z)

(16)

模體中的劑量分布可由入射光子束的能量注量分布和筆束核卷積得到.筆束核是指無限窄的射束垂直入射到半無限大平面介質(zhì)中沉積能量分布.該算法的關(guān)鍵是精準(zhǔn)表述筆束核.對(duì)于體積較大的肺組織，只要照射條件(如射線能量、源皮距等)和體元大小不變，就可以認(rèn)為筆束核具有空間不變性，可重復(fù)使用[20].為了利用有限筆束模型計(jì)算任意照射野條件下肺部的劑量分布，需要得到筆束光子在肺部的三維劑量分布.小射野下的肺組織可近似為層狀非均勻介質(zhì)，入射能量為E的筆束光子在肺部的三維劑量分布為

Dp(E,x,y,z)=Dp(E,0,0,z)·f(E,x,y,z)

(17)

其中Dp(E,x,y,z)表示筆束核，是筆束光子沿z軸正方向入射到原點(diǎn)時(shí)(x,y,z)點(diǎn)的劑量，為方便計(jì)算，將其進(jìn)行最大值歸一化處理；Dp(E,0,0,z)表示中心軸深度劑量分布；f(E,x,y,z)表示散射因子.本文采用Dosxyznrc程序模擬筆束光子在均勻水模體中的三維劑量分布，則f(E,x,y,z)的表達(dá)式為

f(E,x,y,z)=Dp(E,x,y,z)/Dp(E,0,0,z)

(18)

本研究考慮了散射因子在深度方向和離軸方向上的非均勻修正.首先，對(duì)散射因子在深度方向上進(jìn)行等效深度修正，即肺模體中的散射因子近似用水中等效深度處的散射因子表示，公式如下.

f′(E,x,y,z)=f(E,x,y,zeff)，

(19)

其中ρ(h)、ρw分別表示h深度處的密度和水的密度；zeff為肺模體z深度處的等效深度.其次，在等效深度修正的基礎(chǔ)上，對(duì)散射因子在離軸方向上進(jìn)行加權(quán)密度修正，公式如下.

f″(E,x,y,z)=f′(E,xeff,y,z)，

xeff=β·ρ(z)·x，

β=α+(1-α)·ρ(z)

(20)

其中α為散射權(quán)重系數(shù)；β為密度修正系數(shù).當(dāng)ρ(z)=1 g/cm3時(shí)，β=1；當(dāng)ρ(z)=0 g/cm3時(shí)，β=α.中間的密度修正系數(shù)可由線性插值得到.xeff為肺模體中離軸距離x處的等效距離.經(jīng)上述修正后，根據(jù)(1)式，得到肺模體中的筆束核Dp′(E,x,y,z).其表達(dá)式為

Dp′(E,x,y,z)=Dp(E,0,0,z)·f″(E,x,y,z)

(21)

無限寬束的中心軸劑量分布可疊加每個(gè)筆束光子的劑量貢獻(xiàn)得到.函數(shù)表達(dá)式為[14]

(22)

實(shí)際上是對(duì)x、y在有限的范圍內(nèi)積分，積分區(qū)間與光子和次級(jí)電子在非均勻介質(zhì)中的散射程度有關(guān).本文采用20 cm×20 cm的寬束光子作為參考射野，通過光子特征線方法得到參考射野下肺模體的中心軸深度劑量分布，表示為Dref(E,0,0,z).同時(shí)根據(jù)(22)式，得到參考射野下的中心軸深度劑量分布.其表達(dá)式為

(23)

其中a、b為10 cm.再利用Dref(E,0,0,z)、Dref′(E,0,0,z)重新定義筆束光子在肺模體中的中心軸深度劑量，表達(dá)式為

Dp″(E,0,0,z)=Dref(E,0,0,z)·

Dp(E,0,0,z)/Dref′(E,0,0,z)

(24)

根據(jù)(17)式，得到非均勻修正后肺組織中精確的筆束核.其表達(dá)式為

Dp″(E,x,y,z)=Dp″(E,0,0,z)·

f″(E,x,y,z)

(25)

因本研究采用平行光子束垂直照射肺模體，故不考慮錐形束校正.則根據(jù)有限筆束算法[14-16]可以計(jì)算出任意射野下人體組織中的劑量分布.其表達(dá)式為

Dp″(E,x-x′,y-y′,z)dx′dy′

(26)

其中I(x′,y′)是在入射點(diǎn)(x,y,0)處入射光子束的能量注量，表示射野形狀;Dp″(E,x-x′,y-y′,z)是入射到點(diǎn)(x′,y′,0)的光子束對(duì)計(jì)算點(diǎn)(x,y,z)的劑量貢獻(xiàn).(26)式可離散化表示為

D(E,i,j,k)=∑i′∑j′I(i′,j′)·

Dp″(E,i-i′,j-j′,k)

(27)

其中I(i′,j′)是射野形狀的離散化強(qiáng)度矩陣；Dp″(E,i-i′,j-j′,k)是入射到點(diǎn)(i′,j′,0)的光子束對(duì)計(jì)算點(diǎn)(i,j,k)的劑量貢獻(xiàn).臨床中使用的X射線通常具有連續(xù)的能譜分布，故本研究采用6 MV光子能譜，利用Dosxyznrc程序獲得了具有能譜信息的筆束核.最后，我們將該算法得到的小射野下肺模體的中心軸深度劑量分布與MC模擬結(jié)果進(jìn)行了比較，計(jì)算點(diǎn)劑量相對(duì)誤差以驗(yàn)證算法的精度.劑量相對(duì)誤差(Relative error)的表達(dá)式為

(28)

其中DMC表示MC模擬計(jì)算點(diǎn)的劑量；DPCL-HPBM表示由PCL-HPBM算法得到同一計(jì)算點(diǎn)的劑量；DMC,max表示肺模體中心軸上的最大劑量.

3 結(jié)果與分析

圖2為在0.5 cm×0.5 cm、1 cm×1 cm、2 cm×2 cm和不規(guī)則射野下，PCL-HPBM算法和MC方法得到6 MV光子束穿過肺密度為0.1 g/cm3的肺模體A時(shí)的中心軸深度劑量的對(duì)比.橫坐標(biāo)為肺模體深度(Depth).縱坐標(biāo)分別為以劑量最大值為單位進(jìn)行歸一化的百分深度劑量(Percentage Depth Dose，PDD)和兩組劑量數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差.在不同射野下，兩種方法得到的PDD基本符合，但在介質(zhì)交界處存在明顯的劑量差異.在重點(diǎn)關(guān)注的肺部，PCL-HPBM算法得到的深度劑量在水-肺交界處(圖2中深度為5 cm處)以及肺組織前部低于MC模擬結(jié)果, 而在肺-水交界處(圖2中深度為20 cm處)高于MC模擬結(jié)果.但在肺組織中部及后部，兩種方法得到的劑量符合得很好.在0.5 cm×0.5 cm、1 cm×1 cm、2 cm×2 cm和不規(guī)則射野下，最大誤差出現(xiàn)在水-肺交界處，最大相對(duì)誤差分別為36.9%、35.5%、32.2%和33.2%；在肺組織前部，相對(duì)誤差大于3%劑量點(diǎn)的最大深度分別為6.0、6.75、7.5 和7.25 cm.

圖2 不同射野下肺模體A中的PDD曲線和相對(duì)誤差曲線.射野尺寸：(a)0.5 cm×0.5 cm;(b)1 cm×1 cm;(c)2 cm×2 cm;(d)不規(guī)則射野

圖3為在0.5 cm×0.5 cm、1 cm×1 cm、2 cm×2 cm和不規(guī)則射野下，PCL-HPBM算法和MC方法得到肺密度為0.26 g/cm3的肺模體B中的PDD及相對(duì)誤差.兩種方法得到的PDD基本一致.在肺組織中部和后部，PCL-HPBM算法計(jì)算值和MC模擬值的平均相對(duì)誤差小于1%，但在肺前部及介質(zhì)交界處的相對(duì)誤差大于3%.在0.5 cm×0.5 cm、1 cm×1 cm、2 cm×2 cm和不規(guī)則射野下，出現(xiàn)在水-肺交界處的最大相對(duì)誤差分別為22.7%、21.1%、14.7%和16.7%；在肺組織前部，相對(duì)誤差大于3%的劑量點(diǎn)的最大深度分別為5.75、6.0、6.75和6.25 cm.

圖3 不同射野下肺模體B中的PDD曲線和相對(duì)誤差曲線.射野尺寸：(a)0.5 cm×0.5 cm;(b)1 cm×1 cm;(c)2 cm×2 cm;(d)不規(guī)則射野

圖4為在0.5 cm×0.5 cm、1 cm×1 cm、2 cm×2 cm和不規(guī)則射野下，由PCL-HPBM算法和MC方法得到肺密度為0.4 g/cm3的肺模體C中的PDD及相對(duì)誤差.兩種方法得到的PDD基本一致，在0.5 cm×0.5 cm、1 cm×1 cm、2 cm×2 cm和不規(guī)則射野下，最大誤差出現(xiàn)在第一水肺交界處，最大相對(duì)誤差分別為15.4%、12.9%、7.8%和8.7%，肺前部相對(duì)誤差大于3%劑量點(diǎn)的最大深度分別為5.5、5.75、6.0和5.75 cm.

圖4 不同射野下肺模體C中的PDD曲線和相對(duì)誤差曲線.射野尺寸：(a)0.5 cm×0.5 cm;(b)1 cm×1 cm;(c)2 cm×2 cm;(d)不規(guī)則射野

圖5為在0.5 cm×0.5 cm、1 cm×1 cm、2 cm×2 cm和不規(guī)則射野下，PCL-HPBM算法和MC方法得到肺密度為0.26 g/cm3的肺模體D中的PDD及相對(duì)誤差.PCL-HPBM算法得到的深度劑量在水-肺交界處(圖5中深度為15 cm處)及肺組織前部小于MC模擬結(jié)果，而在肺-水交界處(圖5中深度為30 cm處)大于MC模擬結(jié)果.在0.5 cm×0.5 cm、1 cm×1 cm、2 cm×2 cm和不規(guī)則射野下，出現(xiàn)在水-肺交界處的最大相對(duì)誤差分別為14.1%、13.3%、8.6%和10.8%；在肺組織前部，相對(duì)誤差大于3%劑量點(diǎn)的最大深度分別為15.5、15.75、15.75和15.75 cm.而在其他深度處，劑量點(diǎn)的相對(duì)誤差小于3%.

圖5 不同射野下肺模體D中的PDD曲線和相對(duì)誤差曲線.射野尺寸：(a)0.5 cm×0.5 cm;(b)1 cm×1 cm;(c)2 cm×2 cm;(d)不規(guī)則射野

從圖2～圖5可以看出，在不同條件下，PCL-HPBM算法得到的PDD與MC模擬結(jié)果在介質(zhì)交界處和肺前部存在較大差異，最大相對(duì)誤差在7.8%～36.9%之間.在水-肺交界處，最大相對(duì)誤差隨著射野尺寸和肺密度的增加而減小.同時(shí)，PCL-HPBM算法得到的深度劑量迅速跌落，而MC模擬結(jié)果變化得相對(duì)緩慢.這是因?yàn)榻橘|(zhì)密度的減小增大了次級(jí)電子的不平衡性，重建電子平衡需要一定的劑量沉積深度，使介質(zhì)交界處的深度劑量變化緩慢，而采用PCL-HPBM算法進(jìn)行非均勻修正時(shí)忽略了這一過程.并且隨著射野尺寸和肺密度的增大，由橫向電子不平衡導(dǎo)致的劑量跌落幅度減小.在肺組織前部，相對(duì)誤差大于3%的劑量點(diǎn)的深度范圍隨著射野尺寸增大和肺密度的減小而增大，在距水-肺交界面2.5 cm處的劑量點(diǎn)的相對(duì)誤差均能滿足小于3%的要求.而在肺組織中部與后部，兩種方法得到的深度劑量符合得較好，平均相對(duì)誤差均小于1%，并且隨著深度的增大，深度劑量逐漸減小.

表1列出了在不同射野下不同肺模體中，PCL-HPBM算法的散射權(quán)重系數(shù)和密度校正系數(shù).從表1可以看出，這些系數(shù)隨著射野尺寸及肺密度的增加而減小.

表1 在不同射野不同肺模體條件下，PCL-HPBM算法的散射權(quán)重系數(shù)和密度校正系數(shù)

本文通過構(gòu)建光子特征線混合筆束模型來進(jìn)行小射野光子束劑量計(jì)算.在對(duì)散射因子進(jìn)行非均勻修正時(shí)，我們考慮了電子不平衡性對(duì)能量沉積的影響，并重新生成了筆束卷積核.在分析不同小射野照射不同肺模體(肺組織密度、深度不同)時(shí)，該算法得到的中心軸深度劑量分布與MC模擬結(jié)果基本相符，大部分劑量點(diǎn)的相對(duì)誤差小于3%；在重點(diǎn)關(guān)注的肺組織中部和后部，平均劑量相對(duì)誤差小于1%，從而驗(yàn)證了該算法的準(zhǔn)確性.該算法同樣適用于不規(guī)則射野的劑量計(jì)算.當(dāng)忽略在介質(zhì)交界處和肺組織前部相對(duì)誤差較大的幾個(gè)深度時(shí)，射野尺寸越小，該算法的計(jì)算精度越高.

為了提高腫瘤與正常組織的劑量比值，現(xiàn)代放療技術(shù)越來越多地使用具有高度可調(diào)性的小射野.這推動(dòng)了小射野精準(zhǔn)劑量算法的發(fā)展.然而，前面提到的PBC、AAA和CCC等現(xiàn)有的非均勻修正算法均高估肺組織中的劑量，平均誤差范圍約為6%～22%，算法精度低.通過上述分析，在計(jì)算小射野下非均勻模體的深度劑量分布時(shí)，PCL-HPBM算法的精度均高于這些修正算法.該算法在小射野肺部劑量計(jì)算中有潛在的研究?jī)r(jià)值，但在介質(zhì)交界處和肺組織前部，誤差較大.因此我們需要進(jìn)一步提高該算法的性能，來獲得更精確的劑量分布，以便應(yīng)用于更復(fù)雜的條件.