基于坐標旋轉(zhuǎn)變換意義下的三維全局耦合離散混沌系統(tǒng)對稱與隱藏動力學(xué)的識別與分析

姚瀟悅，李險峰，江 俊，梁以德，王淑英

(1.蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，蘭州 730070；2.西安交通大學(xué)機械結(jié)構(gòu)強度與振動國家重點實驗室，西安 710049；3.香港城市大學(xué)建筑與土木工程學(xué)系，中國香港 999077)

1 引 言

計算機圖形圖像處理技術(shù)是現(xiàn)代信息技術(shù)領(lǐng)域中的一個重要分支，在許多領(lǐng)域內(nèi)都有廣泛的應(yīng)用.計算機圖形圖像處理技術(shù)的發(fā)展在研究非線性動力系統(tǒng)的過程中發(fā)揮著關(guān)鍵作用，不但可呈現(xiàn)可視化的結(jié)果，而且在某種意義上還決定了非線性動力學(xué)的發(fā)展方向.通過計算機圖形圖像處理技術(shù)，對非線性現(xiàn)象進行數(shù)學(xué)建模、圖形渲染和模擬仿真等方式[1]，既可以提供清晰和準確的視覺圖像，將其中的復(fù)雜動力學(xué)行為可視化，又可為復(fù)雜系統(tǒng)中非線性現(xiàn)象的研究提供較為可靠的理論分析和仿真結(jié)果.

坐標變換在農(nóng)作物建模、車輛定位、分析圓筒混合機的運動和空間直線度誤差評定等許多領(lǐng)域都具有廣泛的應(yīng)用[2-5].坐標變換是通過兩個坐標系之間的對應(yīng)關(guān)系來實現(xiàn)的.它可以表述為向量與矩陣之間的計算，最終等價于在另一個坐標系下對點的位置的重新表述.目前對低維離散系統(tǒng)動力學(xué)行為分析及應(yīng)用的研究, 尤其是低維耦合動力學(xué)行為的研究比較深入，而對高維離散系統(tǒng)的研究較少[6].高維系統(tǒng)與實際生活密切相關(guān)，例如復(fù)雜的生物種群系統(tǒng)，復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)等[7].因而高維系統(tǒng)的動力學(xué)行為及混沌現(xiàn)象具有重要的研究意義.對于高維系統(tǒng)來說，坐標變換尤為重要，它不僅可以將復(fù)雜問題簡單化，將抽象圖像可視化，還是一種識別隱藏動力學(xué)的有力工具.

本文基于坐標旋轉(zhuǎn)變換研究三維耦合離散Logistic映射，對其中的對稱動力學(xué)與隱藏動力學(xué)行為在參數(shù)域內(nèi)進行識別和分析.首先，我們基于Logistic映射耦合構(gòu)造，由于原坐標系統(tǒng)中坐標軸x-y-z的輪換等價性，采用三維坐標旋轉(zhuǎn)變換.在不失系統(tǒng)維數(shù)的條件下，我們可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)吸引子在新的坐標系統(tǒng)X-Y-Z下的投影具有嚴格的三角對稱性.隨后，我們給出旋轉(zhuǎn)變換前后坐標系統(tǒng)下分岔動力學(xué)行為的對比，發(fā)現(xiàn)在新的坐標系統(tǒng)下的分岔圖更有助于識別到細致的周期分岔現(xiàn)象，但同時也可能誤判耦合系統(tǒng)分岔機制.基于上述原因，我們在雙參數(shù)域內(nèi)對等價耦合系統(tǒng)的動力學(xué)分布進行計算，同時采用并行延續(xù)算法計算主要分岔曲線對系統(tǒng)隱藏的動力學(xué)行為進行識別，找出可能存在的吸引子共存現(xiàn)象的參數(shù)域，并將共存吸引子及其吸引域在x-y平面及Y-X平面上的投影進行對比，發(fā)現(xiàn)吸引域在X-Y-Z坐標系統(tǒng)下的投影也呈三角對稱性.這進一步驗證了耦合系統(tǒng)在三維參數(shù)空間中關(guān)于對稱軸Δ三角對稱，且這種三角對稱性對所有的參數(shù)都具有不變性.

分岔和混沌等非線性現(xiàn)象廣泛存在于各個領(lǐng)域中.根據(jù)不同需要，人們不斷研究發(fā)現(xiàn)新的混沌系統(tǒng)，或從已有映射的基礎(chǔ)上耦合構(gòu)造來研究其復(fù)雜的動力學(xué)行為[8].在許多物理系統(tǒng)、神經(jīng)動力系統(tǒng)以及廣義同步運動過程中，耦合方式并非都是近臨耦合，而是遠距離耦合.全局耦合模式是平均場論中的一種重要耦合結(jié)構(gòu).在該耦合模式中，各個獨立單元相互耦合，且與它們各自的空間位置無關(guān)[9-11].全局耦合映射結(jié)構(gòu)為

Uj(n+1)=F(Vj(n))

(1)

其中,

(2)

(3)

(4)

式中分岔參數(shù)a與一維Logistic映射一致，其局部動力學(xué)完全由一維Logistic映射誘導(dǎo)給出.

2.1 三角對稱性

易知x,y,z在其坐標系統(tǒng)意義下具有輪換等價性，即系統(tǒng)在實施變換(x,y,z)→(y,z,x)及(x,y,z)→(z,x,y)后的動力學(xué)方程仍然保持不變.從而可得系統(tǒng)在三維空間中關(guān)于對稱軸Δ：直線x=y=z三角對稱，且這種三角對稱性對系統(tǒng)參數(shù)a和λ保持不變.

2.2 不動點分析

耦合映射系統(tǒng)(4)有8個不動點，其坐標與耦合參數(shù)λ沒有關(guān)系，分別標記為

A=(0,0,0)；

C1；C2；C3；D1；D2；D3.

其中C1，C2，C3，D1，D2，D3由六次代數(shù)方程決定，具體代數(shù)表達式不可求.點A與點B位于對稱軸Δ上.由于x，y，z的輪換等價性，C1(r,s,t)，C2(s,t,r)，C3(t,r,s)和D1(u,v,w)，D2(v,w,u)，D3(w,u,v)分別是兩個等邊三角形的頂點，它們分別位于平面x+y+z=Ci上(Ci為常數(shù)，i=1,2，C1=r+s+t，C2=u+v+w)，且均正交于對稱軸Δ.圖1描述了a=5時三維耦合映射系統(tǒng)(4)的8個不動點在三維空間中的數(shù)值結(jié)果.我們可以清晰看到，C1，C2，C3，D1，D2，D3在各自的平面上具有三角對稱性.

圖1 a=5時系統(tǒng)(4)的8個不動點

為了更方便觀察系統(tǒng)的三角對稱性和識別其中的隱藏動力學(xué)行為，我們將原本的x-y-z坐標系統(tǒng)轉(zhuǎn)換至新的正交X-Y-Z坐標系統(tǒng)，即經(jīng)過如圖2a所示的旋轉(zhuǎn)變換，將z軸旋轉(zhuǎn)至對稱軸Δ，構(gòu)建新的正交坐標系.

(a)

令OP′方向向量為v(a,a,a)，將向量v(a,a,a)通過旋轉(zhuǎn)變換變換至z軸正向方向上，其對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)變換與原坐標系統(tǒng)到X-Y-Z正交坐標系的旋轉(zhuǎn)變換一致.首先將向量v繞x軸正向旋轉(zhuǎn)α角度，使向量v旋轉(zhuǎn)至x-z平面，記為向量v′.然后再將向量v′繞y軸正向旋轉(zhuǎn)β角度，使向量v′旋轉(zhuǎn)至z軸的正向方向上，如圖2b所示.

基于布爾莎模型，利用兩次Givens旋轉(zhuǎn)變換可得，

(5)

其中，

不妨假設(shè)v(x,y,z)T為原坐標系下的任意一點，v′(x′,y′,z′)T為v在旋轉(zhuǎn)后的X-Y-Z正交坐標系下的坐標，則由(5)式可以得原坐標系統(tǒng)與旋轉(zhuǎn)后的X-Y-Z正交坐標系之間的坐標變換關(guān)系為:

v′=Ry(β)Rx(α)v

(6)

令A(yù)=Ry(β)Rx(α)，得

v′=Av

(7)

其中，

(8)

為一正交矩陣，且|A|=1，即得(7)式為第一種類型的正交旋轉(zhuǎn)變換.

圖3給出了耦合系統(tǒng)(4)在取不同參數(shù)a和λ時的周期吸引子，極限環(huán)吸引子和混沌吸引子在原坐標系統(tǒng)三維空間中的相圖及經(jīng)坐標變換后在Y-X平面上的投影.圖3a和3b展示了一個周期12吸引子(a=2.455,λ=1.62)，圖3c和3d展示了4個極限環(huán)吸引子(a=3.9,λ=0.865)，圖3e、3f(a=2.635,λ=1.454)與圖3g、3h(a=3.05,λ=1.19)分別給出了兩個混沌吸引子坐標變換前后的對比圖.通過比較，我們觀察到耦合系統(tǒng)(4)的吸引子在旋轉(zhuǎn)后的Y-X平面上的投影關(guān)于中心點(0,0)具有三角對稱性.這也就進一步驗證了上述的結(jié)論，即耦合系統(tǒng)(4)的吸引子在三維空間中關(guān)于對稱軸Δ：x=y=z三角對稱，且這種三角對稱性對系統(tǒng)的所有參數(shù)都保持不變.如此經(jīng)過坐標旋轉(zhuǎn)變換后，將便于我們觀察到系統(tǒng)演化軌跡的三角對稱性.

(a)

分岔分析是研究非線性系統(tǒng)在參數(shù)域內(nèi)動態(tài)動力學(xué)行為的一種強有力的工具.其主要目的是在變化參數(shù)的條件下，給出非線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)之間的轉(zhuǎn)遷過程.復(fù)雜非線性系統(tǒng)通向混沌的道路是多種多樣且多變的，即使是由穩(wěn)態(tài)周期解到擬周期的轉(zhuǎn)遷過程也有不同的機制[12].且由于視角的不同，耦合系統(tǒng)(4)在坐標旋轉(zhuǎn)變換前后所呈現(xiàn)的穩(wěn)態(tài)分岔過程也可能會有很大的差異.給定參數(shù)a，圖4給出了耦合系統(tǒng)(4)在原坐標系及X-Y-Z坐標系下，隨耦合參數(shù)λ變化的單變量穩(wěn)態(tài)分岔圖的對比效果.

圖4a為當a=2.635時，耦合系統(tǒng)(4)從唯一穩(wěn)態(tài)不動點B隨耦合參數(shù)λ的逐步增大的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)過程.在λ=1.22附近發(fā)生倍周期分岔(簡記為PD)，繼而出現(xiàn)周期2軌道；隨后發(fā)生內(nèi)依馬可-沙克分岔(簡記為NS)，系統(tǒng)出現(xiàn)兩個極限環(huán)；隨著參數(shù)λ繼續(xù)增加，兩個極限環(huán)增大變形并破裂，逐步形成奇異吸引子和混沌吸引子.同時我們可以觀察到在進入混沌區(qū)域后，系統(tǒng)(4)經(jīng)切分岔產(chǎn)生了周期6窗口，隨即發(fā)生NS分岔，出現(xiàn)了6個極限環(huán)，然后再次進入混沌.圖4b給出了X-Y-Z坐標系中的穩(wěn)態(tài)變化過程.然而在圖4b中，耦合系統(tǒng)(4)由周期1到周期2的PD分岔現(xiàn)象并沒有直觀地呈現(xiàn)出來，會誤認為由周期1解失穩(wěn)隨即發(fā)生NS分岔，出現(xiàn)1個穩(wěn)態(tài)極限環(huán).而實際上，經(jīng)過坐標旋轉(zhuǎn)變換后，周期2點在X-Y平面里的投影是重合的，所以在圖4b中表現(xiàn)為周期1軌道.因而僅從穩(wěn)態(tài)分岔圖4b分析，極易會出現(xiàn)誤判為如同圖4c這種機制下的分岔過程[8].

然而圖4d給出了旋轉(zhuǎn)變換坐標系下數(shù)值結(jié)果的優(yōu)勢.取定a=3.28，在原坐標系中，耦合系統(tǒng)(4)依舊從唯一穩(wěn)態(tài)不動點B開始衍化.在λ=0.53附近發(fā)生NS分岔，出現(xiàn)一個穩(wěn)態(tài)極限環(huán)；然后在λ=0.93附近極限環(huán)破裂，發(fā)生切分岔(簡記為LP)，隨即出現(xiàn)穩(wěn)態(tài)多周期軌道；隨著λ的繼續(xù)增加，耦合系統(tǒng)(4)隨后發(fā)生PD分岔通向混沌運動；之后又發(fā)生切分岔產(chǎn)生周期窗口，然后再次發(fā)生混沌.在圖4c所示分岔圖中，多周期窗口中周期數(shù)目難以辨析.圖4d給出了耦合系統(tǒng)(4)經(jīng)坐標旋轉(zhuǎn)變換后的穩(wěn)態(tài)分岔過程.其中清晰地表明了耦合系統(tǒng)(4)在分岔參數(shù)λ=0.93附近出現(xiàn)的是周期6軌道，歷經(jīng)PD分岔通向混沌運動.

(a)

單變量穩(wěn)態(tài)分岔圖可以清楚地將一維分岔行為在二維相圖上展現(xiàn)出來.通過不同坐標系統(tǒng)中的分岔圖的相互比較，可以發(fā)現(xiàn)耦合系統(tǒng)(4)經(jīng)由坐標旋轉(zhuǎn)變換后，有時有助于觀察具體的分岔現(xiàn)象，但有時也可能造成系統(tǒng)所發(fā)生的分岔行為的誤判.所以單從一維分岔圖去分析系統(tǒng)的分岔行為是不夠準確的，它會隨初始值的選擇、坐標系統(tǒng)的不同及“視角”的不同而不同.

為進一步展現(xiàn)由參數(shù)變化引起的系統(tǒng)動力學(xué)行為的變化，我們可以選擇雙參數(shù)聯(lián)合穩(wěn)態(tài)分布圖，其分布僅依賴于初始值的選擇，而與坐標旋轉(zhuǎn)變換無關(guān).此外，為消弭初始值對穩(wěn)態(tài)運動區(qū)域的決定性影響，在雙參數(shù)聯(lián)合穩(wěn)態(tài)分布圖中還附加了計算結(jié)果與初始值條件無關(guān)的余維1和余維2分岔線.另外，在做數(shù)值計算時充分考慮到正交矩陣的數(shù)值穩(wěn)定性，并能在計算高周期分岔時使用并行矩陣乘法加速運算連乘微分矩陣的乘子等關(guān)鍵判據(jù).我們采用對耦合系統(tǒng)(4)正交變換后的等價耦合系統(tǒng)進行處理.圖5描繪了在選擇不同初始值下，耦合系統(tǒng)(4)的穩(wěn)態(tài)動力學(xué)行為在雙參數(shù)域a×λ=[2,5]×[0,1.7]上的聯(lián)合分布[13].其中，逃逸區(qū)域標記為黃色，天藍色區(qū)域表示擬周期運動，紫紅色區(qū)域表示穩(wěn)態(tài)周期1區(qū)域，橘紅色區(qū)域表示穩(wěn)態(tài)周期2區(qū)域，直至淺灰色區(qū)域表示穩(wěn)態(tài)周期16，對應(yīng)的周期數(shù)目用右側(cè)的顏色欄給出.更高穩(wěn)態(tài)周期域由于在當前比例下，相較于低周期區(qū)域過于狹窄，所以連同混沌區(qū)域都歸類為白色區(qū)域.黑色線表示NS分岔，藍色線表示PD分岔，綠色線是由周期6點檢測到的極限點集(標記為LP).余維2分岔尖點(Cusp)與倍周期-內(nèi)依馬可-沙克分岔點(簡記為PDNS)也一并表示.事實上，隨著初始值選擇的改變，穩(wěn)態(tài)周期6區(qū)域的范圍也隨之呈現(xiàn)動態(tài)的變化，圖5a中的LPa與LPb分別為穩(wěn)態(tài)周期6區(qū)域的上、下邊界.

(a)

由于參數(shù)聯(lián)動變化及初始值的影響會導(dǎo)致耦合系統(tǒng)(4)呈現(xiàn)出復(fù)雜的動力學(xué)行為，在同一參數(shù)下出現(xiàn)多種吸引子共存的現(xiàn)象，在圖5a中不同顏色區(qū)域與分岔線的交叉部分存在吸引子共存的可能性.由對稱周期2到極限環(huán)的NS2分岔線與周期6區(qū)域的交叉部分就存在周期6吸引子與極限環(huán)的共存現(xiàn)象，分別如圖6a和6b所示.圖6a展示了在參數(shù)a=3.2,λ=1.1時，周期6吸引子與極限環(huán)吸引子的共存現(xiàn)象在x0-y0初始值平面上的投影，黑色點集為周期6吸引子，藍色區(qū)域為其吸引域，紅色不變曲線為兩個極限環(huán)，其吸引域為黃色區(qū)域.圖6b為在同一組參數(shù)值下，吸引子的共存現(xiàn)象在Y0-X0初始值平面上的投影.

除此之外，實際上由對稱周期2失去對稱性產(chǎn)生的NS2分岔線與PD2分岔線所圍成的區(qū)域與圖5a中重合部分的周期6區(qū)域，周期12區(qū)域，由對稱周期6吸引子失對稱性產(chǎn)生的NS分岔后擬周期運動區(qū)域(六個極限環(huán))，混沌區(qū)域均存在共存吸引子.圖6c展示了在參數(shù)a=3.53,λ=0.9時，周期2吸引子與六個極限環(huán)的共存在x0-y0初始值平面上的投影，藍色區(qū)域為六個極限環(huán)的吸引域，黃色區(qū)域為周期2吸引子的吸引域.圖6d為同一組參數(shù)值下，吸引子的共存現(xiàn)象在Y0-X0初始值平面上的投影，其中周期2點在Y0-X0平面上的投影是重合的，顯示為同一個點.

由于該三維系統(tǒng)中的x，y，z具有輪換等價性，所以吸引子與吸引域在原坐標系各二維平面上的投影都是相同的，所以在圖6中只展示了在x0-y0平面上的投影.相較在x0-y0平面上的投影，可以發(fā)現(xiàn)吸引子及其共存吸引域在Y0-X0平面上的投影都具有很好的三角對稱性.

(a)

本文用一維Logistic映射代替平均場，全局耦合構(gòu)造了一類三維混沌映射，其局部動力學(xué)完全由一維Logistic映射誘導(dǎo)給出.耦合系統(tǒng)在原坐標系中具有輪換等價性，在三維空間中關(guān)于對稱軸Δ：x=y=z三角對稱.坐標旋轉(zhuǎn)變換是一種特殊的正交變換，可將原耦合系統(tǒng)等價表示.我們利用坐標旋轉(zhuǎn)變換，給出了系統(tǒng)吸引子在原坐標系及旋轉(zhuǎn)后在相平面上的投影對比效果.我們證實了耦合系統(tǒng)的吸引子在三維空間中關(guān)于對稱軸Δ(直線x=y=z)三角對稱，且這種三角對稱性對系統(tǒng)的所有參數(shù)都保持不變.

本文利用單參數(shù)穩(wěn)態(tài)分岔圖，雙參數(shù)穩(wěn)態(tài)動力學(xué)行為在參數(shù)域上的分布對全局耦合系統(tǒng)的復(fù)雜動力學(xué)行為和隱藏動力學(xué)進行分析討論與識別.耦合系統(tǒng)經(jīng)由坐標旋轉(zhuǎn)變換后，單參數(shù)穩(wěn)態(tài)分岔圖會隨坐標系統(tǒng)的不同而顯得不同，甚至可能誤判為耦合系統(tǒng)發(fā)生的分岔行為的機制.這也意味著僅從一維穩(wěn)態(tài)分岔圖判別系統(tǒng)的分岔行為不夠精確.耦合系統(tǒng)的雙參數(shù)穩(wěn)態(tài)動力學(xué)分布僅與初始值的選擇有關(guān)，為此在分布圖中我們增加了與初值條件無關(guān)的余維1和余維2分岔線，從而提供了一種在參數(shù)域內(nèi)識別可能存在的共存吸引子的方法.雖然耦合系統(tǒng)的雙參數(shù)穩(wěn)態(tài)動力學(xué)分布與坐標旋轉(zhuǎn)變換無關(guān)，但使用正交變換后的等價耦合系統(tǒng)可加速運算.最后本文通過數(shù)值結(jié)果證明了耦合系統(tǒng)的吸引子及共存吸引域在相平面的投影都具有很好的三角對稱性.