例談初中幾何動態(tài)問題的有效突破

王曉衛(wèi)

【摘要】初中幾何動態(tài)問題是各類測試中的?？紗栴}，也常出現(xiàn)在中考中，且占有較高分值.因該類問題對學(xué)生分析問題能力及解題能力要求較高，很多學(xué)生遇到相關(guān)題目往往不知道如何下手.針對這一現(xiàn)狀，教師在教學(xué)中為提高學(xué)生的解題能力，提高其解題的自信心，應(yīng)做好初中幾何動態(tài)問題類型的匯總，展示相關(guān)習(xí)題的具體解題過程，使學(xué)生更好地掌握不同幾何動態(tài)問題的解題思路.

【關(guān)鍵詞】初中幾何;動態(tài)問題;突破;例談

初中幾何動態(tài)問題大致分為動點、動線和動形三大類問題，其中動形指的是整個圖形的運(yùn)動，其可進(jìn)一步細(xì)分為幾何圖形的運(yùn)動、函數(shù)圖像的運(yùn)動兩類.事實上，無論是動點、動線還是動形問題，其位置發(fā)生變化往往會引起一些參數(shù)的變化.如何運(yùn)用所學(xué)描述其變化或者建立變化參數(shù)與不變參數(shù)之間的關(guān)系成為解題的關(guān)鍵.為使學(xué)生更好地突破該類問題，教師既要做好基礎(chǔ)知識教學(xué)，又要優(yōu)選精講相關(guān)例題，尤其在講解相關(guān)例題時，應(yīng)注重明確習(xí)題考查的知識點，給學(xué)生預(yù)留獨立思考的時間，并根據(jù)學(xué)生的表現(xiàn)做好解題思路的點撥，使其盡快找到解題思路，增強(qiáng)其解題的自信心.

一、動點問題的有效突破

點是線的重要構(gòu)成部分.點的運(yùn)動會引起線的位置、方向的改變.不同動點問題的情境有所不同，其突破的方法也有所區(qū)別.實踐表明，突破該類問題的常用思路為：運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將動點轉(zhuǎn)化為動線段，再添加輔助線，運(yùn)用相關(guān)的幾何性質(zhì)進(jìn)行解答.教學(xué)中為使學(xué)生更好地突破該類問題，教師應(yīng)結(jié)合自身授課經(jīng)驗，做好優(yōu)秀習(xí)題的積累，并結(jié)合教學(xué)進(jìn)度展示與講解相關(guān)例題，注重制作相關(guān)的多媒體課件，為學(xué)生動態(tài)展示點的運(yùn)動，使學(xué)生能夠清晰地看到點運(yùn)動導(dǎo)致了哪些線段、參數(shù)的變化，給學(xué)生帶來直觀的認(rèn)識，降低其理解難度.同時，為使學(xué)生當(dāng)堂消化吸收所學(xué)，教師應(yīng)緊跟講解的例題設(shè)計相關(guān)的問題，要求學(xué)生結(jié)合所學(xué)及自身的理解進(jìn)行解答.如教師可通過以下例題的講解，使學(xué)生掌握添加輔助線解答動點問題的技巧.

例1 如圖1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10 cm，AF=2 cm，點E，D分別從A，B點出發(fā)，沿AC，BA方向勻速運(yùn)動，運(yùn)動的速度分別為2 cm/s，1 cm/s，設(shè)運(yùn)動的時間為t（0

習(xí)題要求t的值，而D點的運(yùn)動速度為1 cm/s，根據(jù)運(yùn)動速度、時間、距離的關(guān)系可將問題轉(zhuǎn)化為求BD的長.根據(jù)題意，過點C作平行于AB的直線，和DE的延長線交于點H，如圖2.

由題意，可知BD=t，AE=2t，DF=10-2-t=8-t，由AB∥CH，可知△DFG∽△CHG，△ADE∽△CHE.由三角形相似，可知DFCH=FGCG=12，∴CH=16-2t，又∵ADCH=AECE，∴t=2或t=253（舍去），因此，選擇B項.

二、動線問題的有效突破

動線問題在初中數(shù)學(xué)中較為常見，習(xí)題難度有所不同.線的運(yùn)動往往會引起圖形形狀的改變，因此，解答該類問題應(yīng)注重結(jié)合已知條件確定線段運(yùn)動過程中變與不變的量，在此基礎(chǔ)上運(yùn)用三角形全等、三角形相似等性質(zhì)尋找參數(shù)間的規(guī)律.教師在教學(xué)中為使學(xué)生更好地突破動線問題，一方面，應(yīng)在講解相關(guān)知識點時注重運(yùn)用多媒體技術(shù)為學(xué)生展示常見的動線情境，在學(xué)生頭腦中留下深刻印象，使其牢固記憶相關(guān)的模型，指引其以后更好地解題.另一方面，教師在講解相關(guān)習(xí)題時應(yīng)重視為學(xué)生留下一定的思考時間，尤其應(yīng)圍繞相關(guān)的問題在課堂上與學(xué)生積極互動，逐步指引其找到解題思路.如例2，突破的關(guān)鍵在于找到三角形全等的判定條件，而后找準(zhǔn)對應(yīng)相等的線段.課堂上教師可設(shè)計如下問題與學(xué)生互動：（1）MN繞點C運(yùn)動的過程中，△ACD，△CBE的形狀是否發(fā)生變化？（2）△ACD，△CBE的形狀是怎樣的？（3）判斷直角三角形全等需要哪些條件？（4）三角形全等有哪些性質(zhì)？當(dāng)學(xué)生認(rèn)真思考上述問題后，也就能很快找到解題思路.

例2 在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，直線MN經(jīng)過點C，且AD和BE均垂直于直線MN，垂足為D，E.

（1）當(dāng)MN處在圖3①位置，求證DE=AD+BE;

（2）當(dāng)MN分別處在圖3②、圖3③位置時，DE，AD，BE之間有怎樣的關(guān)系？并證明.

該題目屬于探究題，解答問題（2）可從問題（1）中獲得啟發(fā)，運(yùn)用三角形全等知識進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

對于問題（1），根據(jù)題意可知，∠ACD+∠DAC=90°，∠ACD+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠BCE，而∠ADC=∠BEC=90°，AC=BC，則△ACD≌△CBE，則AD=CE，CD=BE.又∵DE=CD+CE，∴DE=AD+BE.對于問題（2），可嘗試尋找圖中的全等三角形.對于圖3②，容易得到∠CAD=∠BCE，則△ACD≌△CBE，則AD=CE=CD+DE，CD=BE，則AD=BE+DE;在圖3③中，△ACD≌△CBE，BE=CD=CE+DE，AD=CE，則BE=AD+DE.

三、動形問題的有效突破

1.幾何圖形運(yùn)動

幾何圖形運(yùn)動會導(dǎo)致圖形諸多參數(shù)的變化，如角度、距離等.該類問題一般難度較大，學(xué)生需要具備全局意識，尤其需要具備靈活思維，大膽作出輔助線，借助幾何圖形的性質(zhì)、三角形全等、三角形相似等構(gòu)建等量關(guān)系，求解出未知量.教學(xué)中為使學(xué)生更好地突破動形問題，一方面，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生積極回顧所學(xué)的幾何圖形，做好幾何圖形相關(guān)性質(zhì)的匯總，尤其注重運(yùn)用思維導(dǎo)圖將學(xué)生所學(xué)的知識串聯(lián)起來，清晰地展現(xiàn)出不同知識點之間的關(guān)系，將幾何知識點形成網(wǎng)絡(luò)，其以后更好地應(yīng)用做好鋪墊.另一方面，教師在課堂上應(yīng)為學(xué)生精講相關(guān)的例題，并要求學(xué)生做好聽課的總結(jié)與反思，總結(jié)例題考查的知識點、相關(guān)的破題技巧，反思聽課中遇到的問題，認(rèn)真分析問題出現(xiàn)的原因是基礎(chǔ)知識掌握不牢固還是未能掌握相關(guān)的解題技巧，然后在課下通過針對性的鞏固，或積極向其他學(xué)生請教，及時解決聽課中的問題.如例3，完成例題講解后，教師要求學(xué)生總結(jié)解題技巧，最終學(xué)生經(jīng)過討論認(rèn)為，突破該題的關(guān)鍵在于作出正確的輔助線，借助三角形相似這一重要橋梁構(gòu)建對應(yīng)參數(shù)的比例等量關(guān)系，逐步求解未知參數(shù).

例3 一半徑為1的⊙O和Rt△ABC的兩直角邊AC，BC相切，如圖4所示，若⊙O沿邊BC平移至和AB相切，其中AC=6，BC=8，則⊙O平移的距離為（? ）.

A.3??? B.4

C.5D.6

該題求兩個圓心的距離，需要作出輔助線建立和已知條件的聯(lián)系.設(shè)平移后⊙O和AB的切點為點F，分別過O，O′作和CB垂直的直線，垂足分別為H，E，直線O′E和AB交于點G，連接DO，O′F，如圖5.

∵GE∥AC，

∴∠O′GF=∠A，

∠ACB=∠O′FG=90°，

∴△O′FG∽△BCA，

則O′GBA=O′FBC，

∴O′G=54，

則GE=54+1=94.

又∵△GEB∽△ACB，則GEAC=BEBC，

則BE=3，則OO′=HE=8-1-3=4，選擇B項.

2.函數(shù)圖像的運(yùn)動

函數(shù)圖像的整體運(yùn)動與一般幾何圖形的整體運(yùn)動不同.一方面，函數(shù)圖像有具體的解析式;另一方面，無論其怎樣運(yùn)動，可運(yùn)用拋物線的平移規(guī)律進(jìn)行表示.解答該類問題運(yùn)用的知識點主要有：函數(shù)圖像的性質(zhì)、函數(shù)圖像的平移規(guī)律、其他的一些幾何圖形性質(zhì).為使學(xué)生更好地突破函數(shù)圖像運(yùn)動問題，一方面，教師可通過鼓勵學(xué)生開展學(xué)習(xí)、探究活動，把握函數(shù)圖像平移的本質(zhì)，總結(jié)函數(shù)圖像平移與函數(shù)解析式之間的規(guī)律，做到知其然更知其所以然，提高解題的正確率.另一方面，教師可結(jié)合學(xué)生所學(xué)，注重創(chuàng)設(shè)一些新穎的問題情境，進(jìn)一步拓寬學(xué)生視野，使其通過對比新穎問題情境與常規(guī)情境，找到兩者的內(nèi)在聯(lián)系，更好地找到突破口.如例4，在平時訓(xùn)練中，學(xué)生遇到的多為函數(shù)圖像橫向和縱向平移分開的情境，而該題涉及的是函數(shù)圖像斜著平移，能很好地鍛煉學(xué)生思維的靈活性.事實上，突破該題的關(guān)鍵在于將函數(shù)圖像斜著平移轉(zhuǎn)化成橫向和縱向兩個方向上的平移，設(shè)出參數(shù)后運(yùn)用平移規(guī)律不難得出正確結(jié)果.

例4 如圖6，已知拋物線y=ax2+c（a≠0）的圖像交y軸于點A，交x軸于B，C兩點（C點在x軸正半軸上），其中△ABC為面積為4的等腰直角三角形.將拋物線沿BA方向平移，當(dāng)其經(jīng)過C點時，和x軸的另一交點為E，其頂點為F，連接OF.試判斷△OEF是否為等腰三角形，并說明理由.

解答該題需要學(xué)生根據(jù)已知條件求出拋物線y=ax2+c的具體解析式，而后通過設(shè)出在水平及豎直方向上的平移量，運(yùn)用拋物線的平移規(guī)律進(jìn)行求解.

根據(jù)已知條件容易得到OA=OB=OC=c，由△ABC的面積為4，可求得c=2或-2（舍去），將C（2，0）代入得到a=-12，則y=-12x2+2.設(shè)拋物線分別向左、向上平移m，n個單位，可知m=n，則F（m，m+2），平移后的解析式為y=-12（x-m）2+2+m，將C（2，0）代入，得到m=6或0（舍去），則其對稱軸為直線x=6，則E（10，0），F(xiàn)（6，8），則OF=62+82=10，OE=10，EF=（10-6）2+（0-8）2=45，OF=OE，∴△OEF是等腰三角形.

四、動圖問題的有效突破

在初中幾何動態(tài)問題中還存在著動圖的問題，教師要有效引導(dǎo)學(xué)生突破動圖問題，其中圖形的運(yùn)動變換主要包括三種基本的形式，分別是平移變換、旋轉(zhuǎn)變換及翻折變換.這三種變換主要是通過對一些給定的圖形進(jìn)行某種位置的變化，然后通過對新圖形的分析來探究其圖形之間存在的關(guān)系.對于動圖問題的考查，經(jīng)常是與探究性、存在性問題結(jié)合起來對學(xué)生進(jìn)行考查.動圖問題的解決主要是考查學(xué)生在解題過程中的動手實踐能力、觀察能力和探索能力等.因此，在初中數(shù)學(xué)結(jié)合動態(tài)問題的教學(xué)實踐中，教師要能夠有效結(jié)合動圖中的三種基本形式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題的突破，幫助學(xué)生結(jié)合不同變換形式的特點去找到解題的突破口，提高對動圖問題解題的效率和質(zhì)量.

1.圖形平移的運(yùn)動

圖形平移的運(yùn)動指的是將圖形上的所有點都按照某一個特定的方向進(jìn)行相同距離的移動，而這樣的圖形運(yùn)動就是圖形的平移運(yùn)動.圖形的平移并不會改變圖形的形狀及大小.

例5 如圖7，在一條直線上存在著四個點，分別是G，E，A，B，而Rt△EFG在圖中的位置開始進(jìn)行運(yùn)動，并且是沿著直線AB、從左到右進(jìn)行平移，當(dāng)Rt△EFG的點G與B點重合時，停止運(yùn)動.假設(shè)△EFG和矩形ABCD重合的部分所構(gòu)成的陰影部分的面積為S，那么當(dāng)圖形平移運(yùn)動的時間為t時，S與t的圖像大致為（? ）.

A

B

C

D

解答該題要能夠借助圖形平移的特點進(jìn)行觀察和分析，借助圖形平移中G和B點之間的距離、A和E點之間的距離等因素，認(rèn)識到面積S就是圖形PAEF，借助圖形PAEF所構(gòu)成的面積關(guān)系來進(jìn)行推算、驗證.

先根據(jù)題目和圖形中的信息進(jìn)行假設(shè)：假設(shè)GE的長度為a，EF的長度為b，AE的長度為m，AB的長度為c，假設(shè)Rt△EFG在向右移動時的速度為1，

那么當(dāng)點E在點A的左側(cè)時，此時兩個圖形并沒有相交，所以S=0.

當(dāng)點G在點A的左側(cè)、點E在點A的右側(cè)時，為如圖8的情況.

此時AE=t-m，GA=a-（t-m）=a+m-t，

∵PA∥EF，∴△GAP∽△GEF，

∴PAEF=GAGE，即PAb=a+m-ta，

∴PA=ba（a+m-t），

∴S=12（PA+FE）·AE=12·ba（2a+m-t）（t-m）.

∴S是t的二次函數(shù)，并且這個二次函數(shù)的二次項系數(shù)是負(fù)的，那么這也就能夠判斷出這個二次函數(shù)的開口是向下的.

當(dāng)點G在點A的右邊并且點E在點B的左側(cè)時，此時的面積S=ab2.

當(dāng)點G在點B的左邊并且點E在點B的右側(cè)時，

此時GB=a+m+c-t.

∵PB∥EF，∴△GBP∽△GEF，

∴PBEF=GBGE，即PBb=a+m+c-ta， ∴PB=ba（a+m+c-t），

∴S=GB·PB2=12·（a+m+c-t）·ba·（a+m+c-t）=b2a·（t-a-m-c）2.

所以，能夠得出此時面積S是t的二次函數(shù)，并且此二次函數(shù)的二次項系數(shù)為正數(shù)，所以能夠判斷此時的二次函數(shù)圖像的開口是向上的.

綜合以上情況，我們能夠了解到，S與t的圖像能夠分為四個部分，第一部分是x軸上的一條直線，表示的是當(dāng)S為0的時候，第二部分是函數(shù)圖像開口向下的拋物線中的一部分，第三部分是與x軸相平行的線段，第四部分是函數(shù)圖像開口向上時的拋物線中的一部分，以此就能夠推測出答案為D選項.

2.圖形的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動

圖形的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動指的是一個圖形，以圖形上的某一個點為定點進(jìn)行逆時針或者順時針的旋轉(zhuǎn).圖形旋轉(zhuǎn)問題則是以一個圖形或者兩個圖形的旋轉(zhuǎn)之下所形成的一種關(guān)系進(jìn)行解題.

例6 在Rt△ABC和Rt△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=EC=BC=DC，AB與EC相交于點F，ED和AB，BC分別相交于M，H兩點.

（1）求證：CF=CH;（2）在圖②中，Rt△ABC沒有移動，將Rt△EDC以點C為定點，繞著點C進(jìn)行逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到∠BCE=45°時，判斷四邊形ACDM的形狀，并進(jìn)行證明.

在解決該題目時，要能夠利用三角形在旋轉(zhuǎn)時與另外一個三角形之間存在的關(guān)系去思考如何解題.

（1）

∵∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC=CD=CE，

∴∠1=∠2=90°-∠BCE，∠A=∠B=∠D=∠E=45°.

在△ACF和△DCH中存在著三種關(guān)系，∠A=∠D，AC=CD，∠1=∠2，

∴△ACF≌△DCH，

∴CF=CH.

（2）四邊形ACDM為菱形.

證明：∵∠ACB=∠ECD=90°，∠BCE=45°，

∴∠1=∠2=90°- 45°=45°.

∵∠A=∠D=45°，

∴∠A+∠ACD=45°+90°+45°=180°.

同理可得∠D+∠ACD=180°.

∴AM∥DC，AC∥DM，

∴四邊形ACDM是平行四邊形.

又∵AC=CD，∴四邊形ACDM是菱形.

解答這一題目的關(guān)鍵在于借助Rt△EDC旋轉(zhuǎn)之后各個角度之間的關(guān)系去推測對應(yīng)邊、角之間的關(guān)系，就能夠幫助學(xué)生更好地去突破圖形在旋轉(zhuǎn)中所出現(xiàn)的問題，也能夠讓學(xué)生有一個更加清晰的思路去進(jìn)行思考.

五、小 結(jié)

幾何動態(tài)問題是初中階段的重難點問題，是學(xué)生間重要的拉分題型.為使學(xué)生掌握該類題型的解題技巧，教師應(yīng)增強(qiáng)其解題的自信，既要做好題型的匯總及對應(yīng)習(xí)題的講解，又要組織學(xué)生積極開展專題訓(xùn)練活動，使學(xué)生不斷積累解題經(jīng)驗、技巧，從而根據(jù)不同習(xí)題情境靈活作出輔助線，運(yùn)用所學(xué)幾何知識迅速構(gòu)建方程，正確求解相關(guān)參數(shù).

【參考文獻(xiàn)】

[1]貢青.初中幾何動點問題的教學(xué)例析[J].理科考試研究，2014（6）：3.

[2]呂錦秀.淺談初中幾何教學(xué)中常見的動點軌跡問題[J].讀寫算，2020（12）：190，204.

[3]王淑艷.一次函數(shù)解初中幾何動點問題[J].理科愛好者（教育教學(xué)），2019（22）：147.

[4]張福宗.試論初中動態(tài)幾何教學(xué)與數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)（教師通訊），2020（24）：5-6.

[5]孫莉.初中動態(tài)幾何教學(xué)及數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)研究[J].新智慧，2020（18）：130.

[6]胡文濤.初中數(shù)學(xué)動態(tài)幾何問題的教學(xué)難點及措施研究[J].考試周刊，2019（96）：71-72.

[7]王許兵.淺談動態(tài)幾何問題的一般化解題思路[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（12）：72-73.

[8]周海濤.初中數(shù)學(xué)動態(tài)幾何問題教學(xué)研究[J].數(shù)理化解題研究，2018（35）：38-39