一道中考壓軸題的解法探究

趙霞

【摘要】2019年婁底市中考壓軸題是一道比較綜合且復(fù)雜的大題，涉及了函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合等四大數(shù)學(xué)思想方法，其（2）（3）問還涵蓋了動(dòng)點(diǎn)問題，彰顯了題目的開放性與靈活性.本題除了考查學(xué)生對基本知識、基本技能的掌握情況，還考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.文章主要對此題（1）（2）問進(jìn)行了多種解法的探究，并對每種解法進(jìn)行了相應(yīng)的分析，旨在不局限于常規(guī)思維，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性.

【關(guān)鍵詞】中考壓軸題;動(dòng)態(tài)幾何;一題多解;解法分析

三、解法分析

（一）第（1）問解法分析

解題思路：因?yàn)閽佄锞€參數(shù)a，b，c是未知的，所以求得a，b，c便可解得此題.

解法一，拋物線為y=ax2+bx+c，又因?yàn)檫^A，B，D三點(diǎn)，所以可以構(gòu)造三元一次方程組，用待定系數(shù)法去求二次函數(shù)的解析式，由三個(gè)未知數(shù)列三個(gè)方程，便可求得a，b，c，從而可以得到拋物線的解析式.

解法二是先根據(jù)拋物線對稱軸與兩根的關(guān)系列出等式，解得b=-2a，從而使拋物線解析式變?yōu)殛P(guān)于a，c的二元一次方程，即y=ax2-2ax+c（x，y看作常數(shù)，b用含a的表達(dá)式代替），達(dá)到了消元的目的，此時(shí)還剩兩個(gè)未知數(shù)a，c，如解法一，繼續(xù)用待定系數(shù)法將B，D兩點(diǎn)代入，解關(guān)于a，c的二元一次方程組，最終求得解析式.

解法三前面同解法二，再根據(jù)拋物線根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)一步達(dá)到消元的目的，使拋物線解析式變成關(guān)于a的一元一次方程.解法一到解法三是方程從三元一次方程到二元一次方程，再到一元一次方程，體現(xiàn)了將方程由難變易、由多元到一元的轉(zhuǎn)化，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法.

解法四則體現(xiàn)了更深層次的解題思路，因?yàn)閽佄锞€過特殊點(diǎn)（零點(diǎn)）A和B，因而可根據(jù)“交點(diǎn)式”直接設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），將點(diǎn)D代入，直接得到關(guān)于a的一元一次方程，解得a，最終求得拋物線解析式.此解題思路體現(xiàn)了思維的轉(zhuǎn)化，涉及了解題的基本方法，即綜合法與分析法.

以上各種解法都有其自身的特點(diǎn)，但都體現(xiàn)了一點(diǎn)，即用待定系數(shù)法求其拋物線的解析式.學(xué)生碰到此類型題時(shí)，不能僅僅局限于解法一與解法四這種常規(guī)解法，可嘗試應(yīng)用自己已學(xué)的知識，根據(jù)已有的知識結(jié)構(gòu)去積累更多的新的解題經(jīng)驗(yàn)，比如在遇到問題時(shí)，可多動(dòng)腦，勤思考，認(rèn)真去探索如何才能成功求解，且在解決問題的過程中嘗試一題多解，從多個(gè)角度去探究，不僅要掌握解題過程的具體步驟，還要能分析出為什么這樣做以及其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.

（二）第（2）問解法分析

此問涉及動(dòng)點(diǎn)問題以及分類討論的思想，主要考查動(dòng)點(diǎn)與靜態(tài)點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積最大值問題，此外，還需確定點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化過程中與圖形相關(guān)的某些量.解決此題的關(guān)鍵是先找準(zhǔn)△POD的底和高，再求出面積最大值.第一步可將重點(diǎn)放在題目的前提條件，因題目強(qiáng)調(diào)了點(diǎn)P在直線OD下方，因而可先通過直線OD與拋物線的交點(diǎn)求出點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍，為后面最值的討論提供一定的取值依據(jù)，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.第二步找到靜態(tài)點(diǎn)所構(gòu)成的靜態(tài)線段，也可分析靜態(tài)點(diǎn)與動(dòng)態(tài)點(diǎn)所構(gòu)成線段，將其作為三角形的底邊，再去確定相應(yīng)底邊上的高.基于此，可設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出△POD靜態(tài)或動(dòng)態(tài)線段的長度，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求出底邊上的高，利用三角形面積公式S=12×底×高列出等式，最后探索等式右邊滿足什么樣的條件時(shí)S有最大值.

本問因說明點(diǎn)P在直線OD下方，所以第一步應(yīng)先求出動(dòng)點(diǎn)P的取值范圍，再考慮△POD中線段OD的長度是固定的，因而可將線段OD視為△POD的底邊，最后找到底邊上高的最大值便可求解.

解法一是從點(diǎn)到直線的距離的定義出發(fā)，求點(diǎn)P到直線OD的距離（△POD底邊OD上的高）即為點(diǎn)H到直線OD的距離.求得距離是關(guān)于m的二次函數(shù)，圖像為開口向下的拋物線，且頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在動(dòng)點(diǎn)P的取值范圍之內(nèi)，因而頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為距離的最大值，從而求得三角形面積最大值.

解法二是觀察法與分析法的結(jié)合，分析底邊OD上高的最大值，觀察圖像，將直線OD往下平移至與拋物線相切時(shí)，高最大，則△POD面積最大，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法.

而解法三與解法四主要是分析靜態(tài)點(diǎn)與動(dòng)態(tài)點(diǎn)所構(gòu)成線段的關(guān)系，把動(dòng)態(tài)點(diǎn)、動(dòng)態(tài)線段當(dāng)成已知點(diǎn)、已知線段，主要依據(jù)是三角形三邊都可以作為三角形的底邊，再求底邊上對應(yīng)的高，代入三角形面積公式，最后把得到的二次函數(shù)進(jìn)行分析，便可求出△POD面積的最大值.

解法五是根據(jù)△POD可以拆分成△POG與△OGD，類似于以上解法可求解，本解法是找到兩個(gè)三角形共同的底邊OG，再分別求相應(yīng)的高，列式分析即可.

以上五種解法都離不開三角形的面積公式，要想知道面積最大值，相應(yīng)地要知道底邊乘以高的最大值.求解此問題的難點(diǎn)在于如何求解三角形的底邊和高，即能否實(shí)現(xiàn)幾何問題向代數(shù)問題的轉(zhuǎn)換.解此題最容易忽視的是確定動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍，是否能取到最值與是否符合題意息息相關(guān).因此，解決此類題目時(shí)，要學(xué)會(huì)認(rèn)真審題，分析題目隱含條件，從而把隱含條件展現(xiàn)出來，看是否能為最終的證明提供一定的引導(dǎo).

（三）第（3）問解法分析

本問考點(diǎn)主要涉及分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想方法.依據(jù)題意，要使△OBE與△ABC相似，則△OBE與△ABC的三個(gè)角都對應(yīng)相等.很顯然，∠OBE=∠ABC，則三角形各自剩下的角對應(yīng)相等有兩種情況：①∠BOE=∠BAC，∠OEB=∠ACB，則點(diǎn)O與點(diǎn)A、點(diǎn)B與點(diǎn)B、點(diǎn)E與點(diǎn)C對應(yīng)，即△OBE∽△ABC;②∠BOE=∠BCA，∠OEB=∠CAB，則點(diǎn)O與點(diǎn)C、點(diǎn)B與點(diǎn)B、點(diǎn)E與點(diǎn)A對應(yīng)，即△OBE∽△CBA.再根據(jù)三角形相似的概念，有對應(yīng)邊對應(yīng)成比例，根據(jù)已知線段求未知線段OE，BE，設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理列出方程組，便可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，從而可以求出直線OE的解析式，而點(diǎn)Q是直線OE與拋物線的交點(diǎn)，聯(lián)立可得點(diǎn)Q坐標(biāo).解決此題的關(guān)鍵是點(diǎn)Q為直線OE與拋物線的交點(diǎn)，要想求得點(diǎn)Q，便要求出直線OE的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，這里體現(xiàn)了逆推的思想.

四、啟示與思考

一題多解主要是培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.在教學(xué)過程中，教師不應(yīng)只局限于一種解法，限制學(xué)生思維的發(fā)展，而應(yīng)當(dāng)結(jié)合前后知識點(diǎn)強(qiáng)化學(xué)生的思維.這樣不僅能幫助學(xué)生溫習(xí)舊知，搭建橋梁，建立起新舊知識的聯(lián)系，同時(shí)鍛煉了學(xué)生的智力，使其體會(huì)到解題的快樂.教師在教學(xué)過程中也應(yīng)結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，重視學(xué)生知情意行的培養(yǎng)以及函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法的滲透，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李加祿.拋物線中三角形面積最大值問題的解法攻略[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2020（2）：41-44.

[2]任永生.一道中考數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題解析[J].新課程，2020（23）：236.

[3]李玉榮.從一道中考題的解法談起[J].河北理科教學(xué)研究，2019（1）：8-10.