淺談不等式中“一題多解”的教學(xué)思考

姚永亮

【摘要】不等式在高中的數(shù)學(xué)教學(xué)中有非常重要的地位和作用，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)和思維能力的訓(xùn)練起著非常關(guān)鍵的作用.高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究的基本問題是“教什么”和“怎么教”，或者說，“教學(xué)生什么”永遠(yuǎn)比“怎么教學(xué)生”重要，我們教學(xué)的形式理應(yīng)服務(wù)于教學(xué)的內(nèi)容.因此，要改進(jìn)當(dāng)前不等式教學(xué)中的諸多問題和弊端，真正地使學(xué)生理解和掌握不等式的相關(guān)知識(shí)，并在不等式的學(xué)習(xí)中，逐漸領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)自己的思維能力和創(chuàng)新意識(shí)，促進(jìn)自身的全面發(fā)展和素質(zhì)的不斷提高.

【關(guān)鍵詞】不等式；一題多解；數(shù)學(xué)教學(xué)

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是全面培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的主要途徑.數(shù)學(xué)是思維的體現(xiàn)，解決問題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的.但過多過密盲目地解題，不僅不會(huì)促進(jìn)思維能力的發(fā)展、技能的形成，反而易使學(xué)生疲勞、興趣降低，窒息學(xué)生的智慧，只有“聞一以知十”解題，才能激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)他們思維的發(fā)展.一題多解無疑是激發(fā)學(xué)生興趣，開拓思路，培養(yǎng)思維品質(zhì)和應(yīng)變能力的一種十分有效的方法.下面將以一典型例題來談?wù)劇耙活}多解”在高中教學(xué)中的神奇效果.

例 設(shè)a，b∈R+，a+b=1，求證：1a+1b≥4.

此題是一個(gè)內(nèi)涵豐富的不等式最值問題，問題中a+b=1這個(gè)條件，由于常數(shù)1的特殊性，我們會(huì)產(chǎn)生許多的聯(lián)想：（1）用a+b去乘任何數(shù)或式子，都不會(huì)改變它們的值；（2）利用三角函數(shù)進(jìn)行換元；（3）構(gòu)造函數(shù)等.這樣，我們就可以揭開此題“神秘的面紗”了.

解法1：

由于a，b∈R+，利用均值定理a+b≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立），則：

∵a+b≥2ab即2ab≤1，

∴ab≤14即ab≤a+b4，

∴a+bab≥4即1a+1b≥4.

解法2：

1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab≥2+2ba·ab=4（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí)等號(hào)成立）.

解法3：

由于a，b∈R+，根據(jù)柯西不等式，得1a+1b=1a+1ba+b=[（a）2+（b）2]1a2+1b2≥a×1a+b×1b2=4

當(dāng)且僅當(dāng)a1a=b1b即a=b=12時(shí)等號(hào)成立.

解法4：

根據(jù)sin2α+cos2α=1，利用換元法得：

令a=cos2α，b=sin2α，則：

1a+1b=1cos2α+1sin2α=sin2α+cos2αsin2α·cos2α=114sin22α=4sin22α≥4

（當(dāng)且僅當(dāng)sin22α=12α=π2+kπα=π4+k[]2π，即a=b=12時(shí)等號(hào)成立）.

解法5：

由a，b∈R+且a+b=1得b=1-a，則：1a+1b=1a+11-a0

f′（x）=-1x2+11-x2=2x-1x21-x2.

故x∈0，12時(shí)，f′（x）<0；x∈12，1時(shí)，f′（x）>0即f（x）在0，12上單調(diào)遞減，在12，1上單調(diào)遞増，

所以f（x）≥f12=4，即1a+1b≥4.

解法6：（反證法）

假設(shè)1a+1b<4，則：

∵a，b∈R+，故a+b<4ab.即ab>14.

而ab≤a+b22=14，兩者相違，故假設(shè)不成立.

∴1a+1b≥4.

上述主要是用綜合法、分析法、三角換元法、反證法、構(gòu)造函數(shù)法等解決不等式問題，解不等式的方法多種多樣，層出不窮，我們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中還要不斷探索、研究，不斷總結(jié).

總結(jié) 學(xué)生是學(xué)習(xí)活動(dòng)的主體，因此，在教育教學(xué)活動(dòng)中，必須充分尊重學(xué)生的主體地位.教學(xué)實(shí)踐不是單純地教授學(xué)生知識(shí)，而是引導(dǎo)學(xué)生自己探索，去發(fā)現(xiàn)去學(xué)習(xí).因此，教師要有側(cè)重點(diǎn)地設(shè)計(jì)教學(xué)，充分挖掘?qū)W生的潛能.做到深入淺出地進(jìn)行講解，對(duì)解答要有理有據(jù)，同時(shí)注意滲透數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并總結(jié)規(guī)律，把課堂交給學(xué)生，給學(xué)生足夠的時(shí)間、空間和機(jī)會(huì).