促進自然生成 凸顯數(shù)學本質

聶亞芝 崔立梅

摘 要：在新時代的背景下，隨著素質教育的不斷發(fā)展，以及科技的不斷進步，對教師的教學模式和教學方法都提出了嚴峻挑戰(zhàn)，如何提高學生的綜合素質，如何培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)成為了廣泛關注的問題。而這一問題，在數(shù)學教學中的表現(xiàn)就是要讓學生的知識自然生成，掌握數(shù)學的本質問題，為此本文以等差數(shù)列的教學為例，并結合具體的教學設計案例來進行分析。

關鍵詞：自然生成;數(shù)學本質;等差數(shù)列

高中階段是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的關鍵時期，為此對學生進行數(shù)學本質的教學有著重要的意義。教師應當充分發(fā)揮數(shù)學學科的優(yōu)勢，培養(yǎng)學生的思維能力、邏輯推理能力、數(shù)據(jù)分析能力等一系列素養(yǎng)，如此不僅能提高學生的學習質量，還能促進學生的全面健康發(fā)展。教師在教學時應借助現(xiàn)代化技術手段，改進教學方式，對課堂的教學活動進行充實，以此來確保學生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。

一、關于數(shù)學的本質

數(shù)學教學要以促進學生的發(fā)展為根本出發(fā)點，教師應當堅持立德樹人、提升學生核心素養(yǎng)的基本理念，不斷對學生的科學精神和創(chuàng)新意識進行培養(yǎng)，以此來達到素質教育的目標，使不同的學生都能夠得到很好的發(fā)展，為社會建設培養(yǎng)出優(yōu)秀的人才[1]。數(shù)學教學的本質問題就是讓學生們在學習的過程中，了解數(shù)學知識的內在聯(lián)系，掌握好數(shù)學的基本規(guī)律，養(yǎng)成良好的數(shù)學思維習慣，鍛煉學生的邏輯思維水平。教師在具體的教學過程中應當通過情境的創(chuàng)設、目標的分析、問題的導入，以及課后的練習等方式來引導學生融入教學的整個過程，讓同學們知道數(shù)學知識具體是怎樣形成的，以此來讓學生深刻地感受到數(shù)學所獨有的魅力和它所體現(xiàn)的理性與科學精神，讓同學們在掌握到數(shù)學知識的同時，了解數(shù)學的本質，從而提高學生的綜合素質，實現(xiàn)學生的全面發(fā)展。因此在數(shù)學教學過程中通過具體的課程設計、問題引導等讓學生的知識在自然生成的過程中把握數(shù)學的本質。

二、內容與目標分析

筆者對“等差數(shù)列（新人教A版（2019））”進行了具體的教學設計，讓同學們在具體的課堂學習中自然而然地掌握到關于等差數(shù)列的知識，了解等差數(shù)列的本質，體會其中的數(shù)學思維和方法，掌握其中的規(guī)律，以此來培養(yǎng)學生的核心能力，促進學生的全面發(fā)展。首先對教學內容和教學目標進行了分析：

筆者首先讓學生們了解本節(jié)課的基本內容和目標。本節(jié)課要讓學生們掌握好等差數(shù)列的定義;等差數(shù)列的通項公式;等差中項的概念。因為數(shù)列是定義在正整數(shù)集（或正整數(shù)集的有限子集）上的一類離散的函數(shù)，無論在理論上還是在實際應用中，都有非常重要的應用.在函數(shù)的研究中，在理解了函數(shù)的一般概念，了解了函數(shù)變化規(guī)律的研究內容（如單調性，奇偶性等）后，通過研究基本初等函數(shù)，不僅加深了對函數(shù)的理解，并且掌握了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等非常有用的函數(shù)模型，在了解數(shù)列的一般概念后，研究具有特殊變化規(guī)律的數(shù)列——等差數(shù)列和等比數(shù)列，建立它的通項公式和前項和公式，可以加深學生對數(shù)列的理解，等差數(shù)列是特殊的數(shù)列，在現(xiàn)實世界中，等差數(shù)列的模型有著廣泛的應用，同時，對等差數(shù)列的研究思路與方法，對研究等比數(shù)列有很大的幫助，因此，本節(jié)課的教學內容與方法，具有承上啟下的作用[2]。

本節(jié)課的教學目標一共有四點內容，第一點，讓學生們理解和掌握等差數(shù)列的定義;第二點，能夠利用等差數(shù)列的定義歸納出等差數(shù)列的通項公式;第三點，讓學生能利用等差數(shù)列、等差中項的定義和等差數(shù)列的通項公式，解決等差數(shù)列的問題;第四點，讓學生能將生活實際抽象成數(shù)學的問題，能進行自然語言與符號語言之間的轉換，提升數(shù)學抽象素養(yǎng)。而要達成上述目標的標志主要有以下幾點內容：能夠準確表述等差數(shù)列的定義，注意“從第二項起”“同一個”“常數(shù)”等關鍵詞的重要作用，知道用數(shù)學的符號語言表述等差數(shù)列的定義時，對的要求;會利用等差數(shù)列的定義，歸納出等差數(shù)列的通項公式;能夠根據(jù)定義，列舉等差數(shù)列的例子;能用定義求等差數(shù)列的公差及判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列;會利用等差數(shù)列的通項公式，將數(shù)列中的其他項轉化為基本量a1，d，體會方程的思想;能通過觀察等差數(shù)列的通項公式，從函數(shù)的角度，觀察發(fā)現(xiàn)數(shù)列與一次函數(shù)之間的關系;會利用等差中項的定義，將題目中的已知條件進行轉化;經歷從生活實例中抽象出數(shù)列問題的過程，能用數(shù)學的自然語言和符號語言表述等差數(shù)列的定義，應用數(shù)學的符號語言表達數(shù)學對象，積累數(shù)學抽象經驗。

然后筆者對具體的教學問題進行了診斷和分析：數(shù)列是一類離散函數(shù)，在函數(shù)的研究中，我們理解了函數(shù)的一般概念，了解了函數(shù)的變化規(guī)律的研究內容后，通過研究基本初等函數(shù)，從而加深了對函數(shù)的理解，在了解了數(shù)列的一般概念后，我們研究一些具有特殊變化規(guī)律的數(shù)列——等差數(shù)列，可以加深對數(shù)列和函數(shù)的理解。認識等差數(shù)列并不困難，難點在于對等差數(shù)列定義的理解不夠準確;如何利用等差數(shù)列的定義、等差中項的定義和通項公式解決數(shù)列問題;如何辨析數(shù)列與一次函數(shù)的關系。

三、教學過程設計

（一）創(chuàng)設情境，導入新課

通過多媒體展示生活實例

生活實例1：教學樓的樓道地面，學生餐廳的地面，都貼有警戒帶，直觀感受到每相鄰兩條警戒帶之間都是一米，通過對生活中比較常見的排隊這件事，抽象出數(shù)列0，1，2，3，4[3]。

通過一米線，加強對學生進行疫情防控的安全教育，讓學生學會保護自己和他人。

生活實例2：通過2022年在北京和張家口舉辦第24屆冬奧會，讓學生推算出第23、22、21、20屆冬奧會舉辦的時間，抽象出數(shù)列2022，2018，2014，2010，2006。

通過奧運會的主題，加強對學生愛國教育，增強學生作為中國人的自豪感。

生活實例3：擺放有序的臺球，通過每兩排臺球個數(shù)都相差1，抽象出數(shù)列5，4，3，2，1。

通過結合生活實際，觀察幾個數(shù)列的共同特點，并列舉類似的生活實例，讓學生感受生活中的數(shù)學。

師生活動：教師引導，師生互動，教師點評。

設計意圖：通過生活實例的情境導入新課，樸實、親切，符合學生的認知習慣，容易引起學生的共鳴，通過生活實例的引入，增加對學生的人文關懷及愛國教育，讓數(shù)學課堂成為有溫度的課堂。

（二）概念的生成

問題1：結合生活實際，歸納幾個特殊數(shù)列的共同特征，類比遞增（減）數(shù)列的定義，讓學生嘗試著歸納等差數(shù)列的定義。

設計意圖：引導學生用數(shù)學的眼光觀察和發(fā)現(xiàn)，生活中具有特殊變化規(guī)律的事物或過程，將它們抽象成數(shù)列的問題;用數(shù)學的思維去思考，這些數(shù)列在取值上的變化規(guī)律，從而初步形成等差數(shù)列是“每一項與前一項的差都是常數(shù)的數(shù)列”，在學生提出質疑并不斷完善的過程中，加深學生對等差數(shù)列定義的理解。

（三）概念的理解

問題：請同學們列舉幾個等差數(shù)列的例子。

師生活動：學生代表發(fā)言。

設計意圖：引導學生列舉不同類型的等差數(shù)列的例子，讓學生初步認識到，給定等差數(shù)列的首項和公差，就能確定這個數(shù)列，為等差數(shù)列的通項公式的推導做鋪墊，增強了學生推導通項公式的勇氣和信心。

（四）等差數(shù)列通項公式的推導

探究：設數(shù)列{an}是首項為a1，公差為d的等差數(shù)列，你能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導它的通項公式嗎？

師生活動：學生先獨立思考，并請學生講述推導過程，教師板演。

設計意圖：給出首項和公差，使得問題的探究指向性更加明確，將等差數(shù)列的前幾項用首項和公差表示，通過觀察、猜想、歸納通項公式的過程，體會從特殊到一般的數(shù)學思想方法。

（五）概念的鞏固應用

例：已知等差數(shù)列a，1，b，-3，...，求a，b的值。

師生活動：讓同學們動筆作答，學生代表到黑板板演，教師規(guī)范解題過程、對解題方法進行總結，小組之間相互交流解法，手機投屏學生的兩種不同的思路。

設計意圖：教師展示問題，小組之間合作探究，教師深入學生中與他們交流，了解學生思考問題的進展過程，投影學生的解題過程，糾正出現(xiàn)的錯誤，規(guī)范書寫格式，進行適當點撥，幫助他們突破思維障礙;引導學生，在應用數(shù)學知識解決問題時，要注重利用概念的原理分析問題，形成數(shù)學基本思想和方法的“滲透—明確—應用”的有序過程，使得學生在掌握“四基”發(fā)展“四能”的過程中有效地發(fā)展核心素養(yǎng);利用-3-b=b-1這個等式，得到推出數(shù)列1，b，-3是等差數(shù)列，引出等差中項的概念，利用新概念，設置新的問題，同時使同學們在數(shù)列中提煉出等差數(shù)列的首項，利用等差數(shù)列的定義求等差數(shù)列的公差，能通過通項公式解決等差數(shù)列中項的問題。

（六）等差數(shù)列與一次函數(shù)之間的關系

思考題：你認為等差數(shù)列與我們熟悉的哪一類函數(shù)有關？

師生活動：師生共同完成，教師課件上，直接展示分析的過程，并通過GeoGebra作圖軟件，展示一次函數(shù)的圖像與數(shù)列{an}的圖像的一般與特殊的關系。

設計意圖：通過思考題的設置，讓學生加深對數(shù)列的理解，利用課件演示數(shù)列與一次函數(shù)的圖像，加深學生對數(shù)列與函數(shù)之間關系的理解，從而培養(yǎng)學生在研究等差數(shù)列時，可以從代數(shù)及函數(shù)這兩個角度出發(fā)，體現(xiàn)了數(shù)學的網(wǎng)絡性與多維性，也為學生對其他數(shù)列的問題研究提供一種思路。

（七）作業(yè)

1.（必做題）課本15頁1-4題;（選做題）課本15頁5。

2.拓展作業(yè)：以小組為單位制作課件或者視頻。供參考的方向包括中外建筑中的等差數(shù)列;工藝產品設計中的等差數(shù)列;日常生活中的等差數(shù)列。

設計意圖：設置不同類型的題目，符合因材施教的教學原則，讓不同層次的學生都得到發(fā)展。設計拓展作業(yè)，能較有效地激發(fā)他們學習數(shù)學的積極性，最大限度地拓展學習數(shù)學的空間，建立數(shù)學與生活之間聯(lián)系，讓學生用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表達世界。

四、數(shù)學本質與教學反思

通過上述內容的設計，可以讓學生們在掌握到知識的同時，還能夠對數(shù)學問題的核心內容進行把握，要知道數(shù)學教學的本質就蘊含在數(shù)學知識的結構體系當中。同時在授課的過程當中，教師應結合先進的學習理論和教學規(guī)律來進行教學設計，例如，在對等差數(shù)列的和的教學過程中，教師需要對相關的理論進行研究與分析，并要在心中進行提前設計規(guī)劃，有一個明確的指導方向[4]。此外，教師還應根據(jù)課標的具體要求來進行教學計劃，把課標所規(guī)定的教學理念作為指導，教會學生們不僅是在課堂之上，在具體的生活中也要用數(shù)學思維來分析問題解決問題。

教師在進行教學設計的時候還要結合學生的具體情況，要根據(jù)新課標的要求，充分考慮學生的自身特點，根據(jù)學生的不同興趣和學習水平，并結合恰當?shù)慕虒W手段，來指導學生對相關的數(shù)學知識進行學習，以此來充分激發(fā)學生的學習興趣，發(fā)揮學生的主體地位，讓學生們積極主動地去思考問題，使學生對數(shù)學知識有著更為全面的認識。在具體的教學過程中，教師應注重學生的體驗，例如在對等差數(shù)列的教學時，要通過問題的設置，引導學生們積極地去思考和討論，并通過觀察、感知、演繹、概括等過程，留給學生足夠的獨立思考和小組討論的時間，讓學生們充分參與到課堂的內容當中，從而讓學生養(yǎng)成獨立思考的習慣。同時教師在教學時，應當注重變化教學形式，通過改變問題的非本質特征，或者是根據(jù)問題的前提條件、結論等內容來引導學生從“變”的現(xiàn)象中探索出“不變”的本質特征，從“不變”的本質中總結出“變”的基本規(guī)律。在具體的教學過程中可以先通過對問題的不同形式的變換來引導學生快速地進入學習狀態(tài)，教師可根據(jù)學生的反饋，來進行針對性的講解，同時還可以根據(jù)學生的答案來進行新的問題的設定，使學生能夠對這個問題進行全面的理解，還要在具體教學的過程中引導學生從多個角度來思考問題，讓學生面對一道題時可以有多種不同的解答思路，采用這種方式教學的優(yōu)勢在于能夠充分對學生的思路進行拓展和發(fā)散，激發(fā)學生的求知欲望，既培養(yǎng)了學生認真審題的良好習慣，又促進了學生的全面發(fā)展。

結束語

通過此次教學實踐和總結，既可以讓教師改進自己的教學模式，也可以讓同學們了解到數(shù)學的本質問題，并且在具體的教學過程中，教師應當發(fā)揮學生的主體地位，充分調動學生的積極性，讓學生不再是被動的知識接收者，而是讓學生主動思考，主動參與到課堂當中，從而達到培養(yǎng)學生的綜合學習能力的目的。

參考文獻

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[2]張馨文.數(shù)學文化在高中數(shù)學教學中的滲透研究[D].伊犁師范大學，2021.DOI：10.

[3]祝玲.關于“等差數(shù)列的前n項和”教學素材、設計案例的思考與研究[J].數(shù)理化解題研究，2021（04）：20-23.

[4]張雪.HPM視角下等差數(shù)列的教學設計研究[D].長春師范大學，2020.DOI：10.

作者簡介：聶亞芝（1979— ），女，漢族，天津武清人，天津市武清區(qū)楊村第一中學，高級教師，本科。研究方向：高中數(shù)學學習中深度學習的生成及進階探究。

崔立梅（1981— ），女，漢族，黑龍江綏化人，天津市武清區(qū)楊村第一中學，高級教師，本科。研究方向：數(shù)學教育。