單元整體教學(xué)促進(jìn)深度學(xué)習(xí)發(fā)生
——“全等三角形”單元教學(xué)思考與實(shí)踐

北京師范大學(xué)昌平附屬學(xué)校(102206) 秦虹柳

任何知識(shí)都不是孤立的,都屬于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中的局部,整體觀下的教學(xué)重視知識(shí)間的聯(lián)系,關(guān)注知識(shí)的形成過程,有助于學(xué)生了解問題的本質(zhì),對學(xué)習(xí)內(nèi)容形成系統(tǒng)化認(rèn)知.本文記錄的是筆者以學(xué)生的深度學(xué)習(xí)為追求,對“全等三角形”進(jìn)行的單元教學(xué)思考與實(shí)踐,在內(nèi)容上,整合教材安排,突出體現(xiàn)知識(shí)的整體性和系統(tǒng)性;在組織形式上,通過設(shè)計(jì)開放性問題和活動(dòng),給學(xué)生充足空間,使學(xué)生經(jīng)歷完整思維過程;在目標(biāo)導(dǎo)向上,以幾何直觀和空間觀念為導(dǎo)向,以促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展、實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)為目標(biāo).

“全等三角形”在各版本教材中的安排大致相同,第一課時(shí)是全等三角形的概念和性質(zhì),之后的幾個(gè)課時(shí)分別對全等三角形的不同判定方法進(jìn)行教學(xué),最后進(jìn)行綜合應(yīng)用.由于三角形全等的關(guān)系與三角形的位置無關(guān),所以,全等三角形的相對位置呈現(xiàn)多樣性,從圖形運(yùn)動(dòng)的角度理解全等三角形有助于辨識(shí)對應(yīng)邊和對應(yīng)角.對于全等三角形的判定方法,學(xué)生需要具備綜合運(yùn)用多種判定方法解決問題的能力.因此,我整合教材安排,從單元整體教學(xué)的角度出發(fā)進(jìn)行教學(xué)調(diào)整.第1課時(shí):全等三角形的概念和性質(zhì),提升學(xué)生的識(shí)圖能力,幫助學(xué)生從圖形運(yùn)動(dòng)的角度理解全等三角形.第2課時(shí):探索全等三角形的判定方法.第3課時(shí):全等三角形判定方法的理解與運(yùn)用.第4課時(shí)到第6課時(shí):綜合運(yùn)用多種全等三角形的判定方法解決問題.本文重點(diǎn)對前3個(gè)課時(shí)的設(shè)計(jì)進(jìn)行說明.

1 課時(shí)1——實(shí)踐中感悟圖形變換,發(fā)展空間觀念

三角形僅發(fā)生位置變化時(shí),與原三角形是全等的關(guān)系,對于兩個(gè)全等的三角形,其中一個(gè)三角形可以看成由另一個(gè)三角形經(jīng)過運(yùn)動(dòng)變換之后得到的,準(zhǔn)確辨識(shí)全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角不僅需要借助幾何直觀,更需要從運(yùn)動(dòng)變換的角度理解圖形,因此,在講完全等三角形的概念和性質(zhì)后,我設(shè)計(jì)兩個(gè)開放性活動(dòng)幫助學(xué)生發(fā)展空間觀念.

活動(dòng)1如圖1所示,已知ΔABC,將它運(yùn)動(dòng)至新的位置,是否存在與它全等的三角形?如果存在,請說明ΔABC是怎樣運(yùn)動(dòng)的,并找一找對應(yīng)邊、對應(yīng)角.(每個(gè)學(xué)生手中有兩個(gè)全等的三角形學(xué)具,學(xué)生可以借助手中的學(xué)具演示圖形變化過程)

圖1

學(xué)生首先需要借助圖形的直觀性進(jìn)行初步判斷,再借助手中的學(xué)具進(jìn)行操作驗(yàn)證,在這個(gè)活動(dòng)中,學(xué)生初步體會(huì)平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等圖形運(yùn)動(dòng)過程,對認(rèn)識(shí)幾何圖形的直觀性以及從圖形運(yùn)動(dòng)角度理解全等三角形有積極意義,由于整個(gè)活動(dòng)充分放手,對學(xué)生具有一定挑戰(zhàn)性,有助于學(xué)生經(jīng)歷完整的知識(shí)探究過程,學(xué)生的空間觀念得到發(fā)展.

活動(dòng)2借助手中兩個(gè)全等的三角形學(xué)具,讓一個(gè)ΔABC動(dòng)起來,可以運(yùn)動(dòng)到任意位置,互相說一說ΔABC是怎樣運(yùn)動(dòng)的.

這個(gè)開放性活動(dòng)給學(xué)生充足空間,打開學(xué)生思維,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力,學(xué)生對平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等圖形運(yùn)動(dòng)過程有進(jìn)一步認(rèn)識(shí);在復(fù)雜圖形中辨識(shí)全等三角形對應(yīng)邊和對應(yīng)角的能力得到提升;幾何直觀和空間觀念得到進(jìn)一步發(fā)展.

通過這樣的兩個(gè)活動(dòng),學(xué)生對全等三角形有較深刻的理解,雖然學(xué)生還沒有系統(tǒng)學(xué)習(xí)圖形變換的相關(guān)知識(shí),但是,對幾種基本圖形變換已經(jīng)有初步認(rèn)識(shí),這樣的安排不僅有助于學(xué)生對全等三角形的理解,也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)圖形變換相關(guān)知識(shí)做鋪墊.

2 課時(shí)2——經(jīng)歷探究判定方法全過程,促進(jìn)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

教材對全等三角形的判定方法是“分—總”的設(shè)計(jì),教師應(yīng)該帶著自己的理解使用教材.全等三角形的幾種判定方法是一個(gè)整體,學(xué)生應(yīng)該經(jīng)歷探究判定方法的過程;在解決問題時(shí),學(xué)生應(yīng)該對幾種判定方法有整體認(rèn)知,經(jīng)歷分析問題、方法選擇、解決問題的過程,因此,我對這部分知識(shí)進(jìn)行了“總—總—分—總”的設(shè)計(jì),本課體現(xiàn)第一個(gè)“總”,探究全等三角形的判定方法,下一課時(shí)體現(xiàn)第二個(gè)“總”,幾種判定方法的綜合理解與應(yīng)用,然后的幾個(gè)課時(shí)對幾種方法進(jìn)行鞏固強(qiáng)化和綜合應(yīng)用.

本課中,我設(shè)計(jì)了探索全等三角形的判定方法的綜合活動(dòng),雖然大多數(shù)學(xué)生知道應(yīng)該探索更簡單的方法判定三角形全等,但是學(xué)生的思維很凌亂,于是,我讓學(xué)生按照自己的思路設(shè)計(jì)研究方案,只要有條理就可以.我預(yù)設(shè)了幾種思路,(1)按照要素?cái)?shù)量從少到多;(2)按照要素?cái)?shù)量從多到少;(3)按照要素種類,比如先研究邊,再加入角.

本課承載了提升學(xué)生思維能力的任務(wù),如:在用六個(gè)要素可以判定三角形全等的前提下,需要探尋更為簡單的方法進(jìn)行判定,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡捷性;經(jīng)歷觀察圖形、分析圖形、畫圖等過程,得出判定三角形全等的三個(gè)基本事實(shí),體現(xiàn)了公理化思想和幾何直觀的重要意義;在探究全等三角形判定方法的過程中,涉及復(fù)雜的分類問題,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性;通過證明“角角邊”定理的過程,提升學(xué)生的幾何推理能力.以下展示兩種思路.

思路1按照要素從少到多的順序如圖2.

圖2

在探究過程中,要按照一定順序進(jìn)行分類,在確定要素時(shí),先確定數(shù)量,再確定種類,最后確定相對位置.要抓住變化因素和不變因素,不變因素是入手點(diǎn).通過這個(gè)環(huán)節(jié),學(xué)生對分類討論的認(rèn)識(shí)更加深入,學(xué)生的思維更加嚴(yán)謹(jǐn),充分體會(huì)研究問題的邏輯性.值得注意的是,探究“三個(gè)要素”時(shí),由于不是所有情況都能判定三角形全等,探究過程并沒有結(jié)束,應(yīng)該繼續(xù)添加條件,直到能夠判定三角形全等.在“三個(gè)角”確定的前提下,不能增加角的條件,增加一邊后,滿足“兩角和一邊”的條件,能夠判定三角形全等,但是顯然不夠簡捷.在“兩邊及一邊對角”的基礎(chǔ)上增加一邊,滿足“三條邊”的條件;增加一角,滿足“兩角一邊”的條件,都能判定三角形全等,但是不夠簡捷.顯然,增加任何條件后都可以用更簡單的方法判定全等,因此得出結(jié)論,判定三角形全等的方法有四種,分別是“兩邊及夾角”、“兩角及夾邊”、“兩角及一角對邊”、“三條邊”對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.具體思路如圖3:

圖3

這樣的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了研究問題的完整思維過程,有助于學(xué)生整體把握知識(shí)框架,不僅重視結(jié)果,更重視知識(shí)的形成過程.探究過程培養(yǎng)學(xué)生的理性思維,提升學(xué)生的思維邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性,對學(xué)生分類能力的培養(yǎng)有重要意義,有助于培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).

思路2按照邊、角分類思路.

圖4

學(xué)生容易想到三條邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等,因此,判定三角形全等的條件從六個(gè)要素減少到三個(gè)要素,在此基礎(chǔ)上,可以尋求更加簡單的方法,先研究減少一邊的情況,發(fā)現(xiàn)不能確定三角形時(shí),要研究增加一角的情況.然后研究減少兩邊的情況,需要增加兩個(gè)角的條件,最終探索出所有判定三角形全等的條件.

每個(gè)學(xué)生都有自己的思維特點(diǎn),教師應(yīng)該從學(xué)生的思維出發(fā),不能以教師的想法為中心,而是順應(yīng)學(xué)生思維,培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和考慮問題的全面性,在此過程中,學(xué)生探究問題的能力得到提升.

3 課時(shí)3——開放性活動(dòng)提升學(xué)生分析問題、解決問題的綜合能力

本課安排在探究全等三角形的判定方法之后,通過之前的學(xué)習(xí),學(xué)生初步了解全等三角形的四種判定方法,本課以開放性問題和活動(dòng)為載體,幫助學(xué)生深刻理解全等三角形的判定方法;提升學(xué)生在具體問題中分析條件,選擇恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒ㄟM(jìn)行證明的意識(shí)和能力.

活動(dòng)1如圖5,已知ΔABM和ΔDCM全等,請寫出適當(dāng)?shù)臈l件,可以依據(jù)以下不同的判定方法證明這兩個(gè)三角形全等.

圖5

(1)角邊角:____.

(2)邊角邊:____.

(3)邊邊邊:____.

(4)角角邊:____.

通過這個(gè)開放性活動(dòng),幫助學(xué)生回顧全等三角形的四種判定方法,培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力,強(qiáng)調(diào)書寫時(shí)的“對應(yīng)”關(guān)系,同時(shí),用“角邊角”、“邊角邊”和“角角邊”的方法進(jìn)行判定時(shí)可以有多種添加方法,有助于提升學(xué)生的幾何直觀意識(shí)和推理能力.經(jīng)歷這個(gè)開放的學(xué)習(xí)過程,有助于學(xué)生整體把握全等三角形的判定方法,提升學(xué)生分析問題的能力,發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力.

活動(dòng)2如圖6,AC與DB交于O,圖中有三對全等三角形,請你找一找,并選擇其中的一對全等三角形,添加可以證明它們?nèi)鹊臈l件.(添加條件盡量簡單)

圖6

全等三角形:____.

我的選擇是:____.

添加條件:____.

當(dāng)兩個(gè)三角形具有特殊位置關(guān)系時(shí),可能存在隱含的相等要素,比如常見的公共邊、公共角、對頂角,抓住這些條件能夠使問題簡化.在利用“角角邊”的方法判定全等時(shí),要注意邊可以是兩對等角中任意一對等角的對邊.

相對于活動(dòng)1,這個(gè)活動(dòng)對學(xué)生的思維能力要求更高,根據(jù)已知條件判定三角形全等時(shí),要綜合分析四種判定方法,充分利用已知條件并選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行判定.比如,對于ΔABO和ΔDCO,首先要拆解出圖形,根據(jù)已知的一對對頂角相等,在分析四種判定方法后,可以依據(jù)“角邊角”、“角角邊”、“邊角邊”等方法添加條件.通過本活動(dòng),提升學(xué)生辨識(shí)復(fù)雜圖形的能力,分析問題和解決問題的能力以及邏輯推理能力.

活動(dòng)3如圖7,已知OC平分∠AOB,P為OC上一點(diǎn).

圖7

問題1根據(jù)條件,你能想到什么?

問題2分別進(jìn)行如下操作,你能想到什么?(三個(gè)圖形分別出現(xiàn))

(1)如圖8,過點(diǎn)P向∠AOB兩邊作垂線,分別交OA、OB于M、N.

圖8

(2)如圖9,過點(diǎn)P作OC的垂線,分別交OA、OB于M、N.

圖9

(3)如圖10,點(diǎn)M、N分別在OA、OB邊上,滿足OM=ON.

圖10

借助角平分線模型構(gòu)造全等三角形,幫助學(xué)生學(xué)會(huì)分析已知條件,確定判定三角形全等的方法,分析思路如圖11所示.由于需要構(gòu)造圖形,學(xué)生需要根據(jù)不同的判定方法進(jìn)行思維的創(chuàng)造性活動(dòng),在學(xué)生思考問題的過程中,對全等三角形的幾種判定方法有整體認(rèn)識(shí),對圖形的理解也更加深刻,學(xué)生的分析問題、解決問題能力得到提升.

圖11

活動(dòng)4如圖12,在ΔABC中,∠BAC的平分線AD交BC于D,你能添加一條輔助線,構(gòu)造出全等三角形嗎?如果能,請?zhí)砑虞o助線,并說明理由.

圖12

本活動(dòng)是活動(dòng)3的延續(xù),需要學(xué)生對全等三角形的判定方法進(jìn)行整體把握,在觀察圖形特征和分析條件的基礎(chǔ)上,需要依據(jù)不同的判定方法添加輔助線,并通過邏輯推理判定兩三角形全等.在此過程中,學(xué)生需要經(jīng)歷完整的思維過程:分析已知條件確定判定方法確定相關(guān)條件加輔助線推理證明.由于判定方法不同,所以學(xué)生需要全面考慮問題,不斷嘗試,最終找到解決問題的方法.

由角平分線可得一對等角、一條公共邊,在此基礎(chǔ)上,需添加另一個(gè)相等的要素判定三角形全等,在AC邊上截取AE等于AB,從而根據(jù)“邊角邊”定理判定ΔADE與ΔADB全等;作線段DE交AC于E,使∠4=∠3,根據(jù)“角邊角”定理判定ΔABD和ΔAED全等;過點(diǎn)D向AB、AC邊做垂線,但是需要兩條輔助線,不符合條件;也能夠想到由點(diǎn)D做AD的垂線,但是需要延長線段AB,也不符合條件;在AC上取一點(diǎn)E,使得∠AED=∠B,但是,在操作上存在困難.幾種做法如下:

(1)如圖13,在AC上截取AE=AB,根據(jù)“邊角邊”定理判定ΔABDΔAED.

圖13

(2)如圖14,作線段DE交AC于E,使∠4=∠3,根據(jù)“角邊角”定理判定ΔABDΔAED.

圖14

(3)如圖15,過AD上一點(diǎn)P做MN⊥AD,分別交AB、AC于M、N,根據(jù)“角邊角”定理判定ΔAPMΔAPN.或在AB、AC上截取M、N使AM=AN,根據(jù)“邊角邊”定理判定ΔAPMΔAPN(多種方法).

圖15

學(xué)生很難想到第(3)種方法,教師需要幫助學(xué)生打開思維,根據(jù)條件創(chuàng)造性地思考解決問題的辦法.這個(gè)活動(dòng)能夠提升學(xué)生的幾何直觀能力、作圖能力、分析問題和解決問題的能力以及邏輯推理的能力.

以上是全等三角形單元教學(xué)的設(shè)計(jì)思路,通過實(shí)踐發(fā)現(xiàn),學(xué)生對全等三角形概念的理解以及全等三角形判定方法的整體認(rèn)識(shí)水平較好,學(xué)生思維的邏輯性和完整性不斷提升,分析問題和解決問題的能力得到發(fā)展.這樣的單元教學(xué)設(shè)計(jì)思路不僅在幾何學(xué)習(xí)中適用,在代數(shù)學(xué)習(xí)中依然適用,雖然知識(shí)載體不同,但是,學(xué)習(xí)的基本路徑和方法基本相同.在本單元的教學(xué)中,開放性的問題和活動(dòng)貫穿始終,這些有挑戰(zhàn)性的任務(wù)不斷激發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考,有價(jià)值的思維活動(dòng)一直活躍在課堂中,思維充滿創(chuàng)造性,深度學(xué)習(xí)在持續(xù)發(fā)生.