聚焦核心素養(yǎng),凸顯過程方法
——以一道幾何綜合題為例

廣東省廣州市第一一三中學(510630) 余雪嬌

1 試題呈現(xiàn)(廣州中考第24題)

如圖1,等邊ΔABC中,AB=6,點D在BC上,BD=4.點E為邊AC上一動點(不與點C重合),ΔCDE關于DE的軸對稱圖形為ΔFDE.

圖1

(1)當點F在AC上時,求證:DF//AB;

(2)設ΔACD的面積為S1,ΔABF的面積為S2,記S=S1?S2,S是否存在最大值?若存在,求出S的最大值;若不存在,請說明理由;

(3)當B,F,E三點共線時,求AE的長.

2 核心素養(yǎng)視角下的特色解讀

2.1 層次分明,關注個體

本題圖形簡潔,等邊三角形加軸對稱,親和力強.問題設置3小問,起點低,入口寬,使不同層次學生展示不同的思維水平.第1問:直接利用“同位角相等”即可判斷兩直線平行,大部分學生可解.第2問:從條件DF=2發(fā)現(xiàn)隱形圓.把問題轉化成圓外點與圓上動點距離最值問題.思維含量大,能真正考察出學生分析問題,解決問題的能力.第3問:求線段長度,熟而不俗.考察構圖、設元;勾股定理、等面積法、相似等核心知識.綜合性強,計算量大,能考察優(yōu)秀學生綜合素養(yǎng).三個小問由基礎知識到核心知識、數(shù)學思想方法,再到思維內化遷移,拾級而上,層層推進,梯度明顯,有很好的區(qū)分度.體現(xiàn)數(shù)學課程應致力于實現(xiàn)義務教育階段的培養(yǎng)目標,要面向全體學生,適應學生個性發(fā)展的需要,使得人人都能獲得良好的數(shù)學教育,不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展.

2.2 解法多樣,凸顯通法

本題第(3)小問,目標明確:求線段AE的長.但解法多樣(據(jù)筆者所知,有7種解法)彰顯不同的思維層次.考察學生運用知識的靈活度和綜合能力;考察學生的幾何構圖能力和計算能力.

圖2

圖3

解法7以點B為坐標原點,BC所在的直線為x軸建立平面直角坐標系.求直線BE、AC的交點E坐標,再把坐標轉化為線段.

眾多的解法,均體現(xiàn)求線段的二大基本思路.思路一:幾何角度(用勾股、相似、面積法等求相關線段)思路二:函數(shù)角度(函數(shù)圖像交點坐標向線段轉化).其中解法6,7是高中階段的方法.正弦、余弦定理是高中解三角形的基本方法;建系在理論上可以解決所有的解析幾何問題,但運算量超大.所以高中的兩種方法并沒有優(yōu)勢,體現(xiàn)中考的公平性.其余的解法都圍繞60°構造直角三角形,通過設元,用勾股定理、相似、等面積法、三角函數(shù)為橋梁,建立方程求解.突出初中階段求線段的通性通法.關注數(shù)學內涵,壓軸題回歸數(shù)學本質,體現(xiàn)通性通法,力求考查學生數(shù)學思維的邏輯性、深刻性、慎密性.

3 教學導向分析

3.1 培養(yǎng)幾何直觀,提高解題能力

幾何直觀是初中生解決幾何問題的必備能力.現(xiàn)在的課堂,盛行學案卷,圖形已經(jīng)呈現(xiàn),學生無需畫圖.這削弱了學生畫圖能力以及對圖形整體把握的能力,無法快速捕捉隱含圖形中有價值信息.筆者認為幾何的教學中,首先讓學生有畫圖意識,培養(yǎng)畫圖習慣.對靜態(tài)題,在學卷不設置圖,要求學生根據(jù)題目正確畫出圖形,訓練文字語言向圖形語言轉換能力;或者圖形中留空,讓學生根據(jù)條件補全圖形.對幾何的動態(tài)題,引導學生在關鍵的位置或特殊位置畫出符合題意的圖,借助圖形直觀觀察分析歸納變中不變量,尋求突破.更多的關注畫圖探究過程,創(chuàng)設實驗或操作的機會,讓學生通過感官直接獲取解題經(jīng)驗.其次,課堂中注重圖形的組合與分拆的滲透.如全等三角形的學習,可以讓學生依托兩個全等的直角三角形.通過平移、軸對稱、旋轉進行組合,形成一些基本圖形;再適當添加線條,形成復雜圖形;最后在復雜圖形背景下抽離基本圖形,再分拆成獨立的兩個三角形.通過圖形的重組分拆,培養(yǎng)圖感.在繁與簡的變換過程,領悟圖形語言,提升幾何直觀想象,在圖形的生長過程中,自然煉就學生對圖形整體把控力、駕馭力.

3.2 夯實通性通法,內化數(shù)學思維

一題多解可以激發(fā)學生學習的興趣,開拓思路.但課堂上,并不是為方法的展示而展示.教師應當培養(yǎng)學生解題反思習慣,優(yōu)化解法.特別要“多法歸一”或“多題歸一”.哪些是針對某條件的技巧性解法;哪些是有共性,可以遷移的.適用解決普遍問題的方法要提煉;著重研究、剖析、形成解題策略.淡化技巧,重視通性通法的教學.因為通性通法往往承載著核心知識或者基本技能.對于通性通法的教學,可以采用“以退為進”模式.數(shù)學家華羅庚所言:善于退,足夠的退,退到最原始而不失重要性的地方.例如:割補法是解決直角坐標系下圖形面積問題的通法.為了讓學生更好的掌握割補法,可以先退為特殊的三角形——直角三角形,再變斜三角形,最終為任意放置的斜三角形(如圖4).在簡單圖形中,徹底掌握割補法,領悟化斜為直的思想.然后通過加線條或圖形、背景的變化;增加條件或弱化條件等,把“先行組織”改得“面目全非”,訓練學生對方法的遷移能力,這為進.通過退—進,學生達到基本技能嫻熟.化陌生為熟悉問題,提高在新情境下解決問題的能力.學生在題目表征變化中領悟不變的數(shù)學方法與思想,利于思維的靈活性,內化數(shù)學思維.

圖4

3.3 重概念輕模型,回歸數(shù)學本質

李邦河院士說,數(shù)學根本上玩概念,不是玩技巧,技巧不足道也.目前,很多老師不重視概念教學.“一個定義,三項注意”,以習題形式代替概念的探索.學生停留在機械的記憶層面,沒有徹底的理解概念本質.本題的第(2)小問,若學生有經(jīng)歷圓概念的形成,就明白圓的本質:到定點距離等于定長的點的集合,隱形圓就躍然紙上.教學過程中,概念教學不應該走過場.要借助具體實例,從數(shù)學概念體系發(fā)展過程或解決實際問題的需要引入概念,體現(xiàn)學習的意義.提供典型豐富的實例,讓學生展開觀察、分析各事例的屬性;比較、綜合、歸納共同特征,形成概念.要學生經(jīng)歷概念的形成,設計基本的活動經(jīng)驗,包括概念的辨析,更好地理解概念的內涵與外延,直抵本質.同樣,一些基本模型,不應該停留在記憶套用的層面.應該有系列活動,讓學生發(fā)現(xiàn)模型,回歸模型的本質,讓學生明白模型蘊含的知識內在關聯(lián).例如:共斜邊直角三角形(圖5,圖6)、旋轉會產(chǎn)生圓(圖7).這模型本質上是圓定義:到定點距離等于定長.一道高水平的題目,思維含量極高,無法簡單的去套,而是學會分析,轉化,最終回歸到數(shù)學本質.

圖5

圖6

圖7

4 結束語

《義務教育數(shù)學課程標準》提出:學生學習要獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必要的數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗.因此,教學過程中應回歸教材,注重概念教學;抓住數(shù)學本質,關注學生學習過程.讓學生充分經(jīng)歷知識形成的過程,促進學生對知識的深度理解.在真正的數(shù)學活動中積累學習和解題經(jīng)驗,發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).解題教學中關注解題通性通法的研究;滲透數(shù)學思想,訓練學生尋找解題切入點的技能,提升思維品質,提高解題能力.