解三角形、解析幾何、微積分、不等式四重奏
——兩邊定和圓內接三角形面積的取值范圍

四川省成都市第七中學(610041) 巢中俊 羅志英 張世永

1 研究的問題

帶單位外接圓約束且三邊之和為定值的三角形面積問題就是單位圓內接三角形的等周問題[1].自然會考慮兩邊之和為定值的情形,事實上這個問題已有結論:已知ΔABC的外接圓半徑為R,sinA+sinC=l(l＜2).則ΔABC面積S的取值范圍是

下面將結合解三角形、解析幾何、微積分、不等式給出一個有趣的新證明[3].

2 問題的轉化

不妨設ΔABC的外接圓半徑R=1,于是|BA|+|BC|=2l,則點B是ΔABC的外接圓與一橢圓的一個交點.以邊AC所在直線為x軸,邊AC的中垂線為y軸建立平面直角坐標系xOy.如圖1.

圖1

設ΔABC的外接圓圓心O1(0,h),則?1＜h＜1,點B(x,y)滿足的方程組是:

的值域問題.下面我們用導數和不等式工具求解這個函數值域問題.

3 轉化問題的求解

3.1 情形1

3.2 情形2

對(4)式使用不等式放縮得

3.3 情形3